导论
0.1 核心观点
新弗雷格主义是由克里斯平·莱特（Crispin Wright）和鲍勃·黑尔（Bob Hale）所提倡的一种柏拉图主义的算术哲学立场。柏拉图主义也被称为实在论。“数学对象实在论”“概念实在论”指的是承认数学对象或概念的实体地位的哲学立场，认为它们是客观的，不依赖于我们而存在。实在论或非实在论属于形而上学领域，其核心问题是何物存在。然而本体论和认识论是紧密联系的，数学实在论需要解释我们如何认识独立于我们的数学对象或数学概念。哥德尔也是数学实在论者，他认为数学对象是实在的，并且数学概念也是实在的。哥德尔的数学实在论的认识论的解释诉诸“直观”，在他看来，我们对日常的对象有感知，我们对于数学对象或数学概念也有类似于感知的功能，这种类似感知功能被哥德尔称为“直观”。和哥德尔的数学实在论不同，新弗雷格主义的认识论是从逻辑的角度来解释我们如何理解数学对象或数学概念。他们的理论尽可能地不诉诸“直观”。弗雷格认为“直观”属于个人，它不是公共的东西。而客观的东西，在弗雷格看来，是所有理性主体都能被理解的东西，是可以用语言表达的东西，是服从于规律的东西。无论是数学对象的实在论，还是数学概念的实在论，都与数学真理的实在论联系在一起。新弗雷格主义数学实在论的基础在于数学真理的实在论。我把这种实在论称为“基本实在论的真理观”。
这种实在论真理观的基本内容包括两方面的内容。一方面把人类放在谦卑的位置：世界中的事物是怎样的并不依赖于我们的研究和信念；另一方面也承认我们有认识世界的能力，我们的认知能力使我们可以获得正确的概念来探究大量的真理，并且我们相信我们有足够的理由保证获得真理。基本实在论的谦卑的态度使其和主观唯心主义的立场区分开来。简单地说，主观唯心主义者认为，在本体论上什么东西存在是因为主体的感知体验或认识。主观唯心主义对于世界如何的态度不是谦卑的，世界如何取决于我们的认识。在认识论上看，主观的认识论过于强调判断或理论的主观性而忽视了事实的客观性，这就会阻碍真理的获得。按照主观唯心论，我们很难从主观认识中剔除个人的偏见或集体的偏见，从而追求探寻真理的客观方法。基本实在论者承认世界独立于我们的认识，但是我们通过客观的理性方法，可以认识真理。基本实在论，在认识论上也区别于怀疑论。怀疑论者并不认为我们的理性能够保证我们认识客观的真理。新弗雷格主义者并不是要为基本实在论提供理论支持，相反，基本实在论是他们哲学理论的出发点。他们追求真理的客观的理性方法不是诉诸任何人的个人认知特征，而是更多地诉诸逻辑的分析。在某种程度上，这样的哲学理论也可以被称为方法论的哲学理论。和自然主义的方法论哲学不同，新弗雷格主义的哲学理论并不是把经验理论的方法作为其基本的方法。因为自然主义过多强调的是科学理论方法的经验性，而忽视了某些先天的方法，比如数学或逻辑的方法是先天的，而非经验的。
新弗雷格主义者继承了弗雷格本体论的研究方法，他们区分对象和概念。当问何物存在时，新弗雷格主义者和弗雷格一样，诉诸的是指称理论。指称理论是弗雷格和新弗雷格主义本体论理论的框架。这种指称理论所用的方法是逻辑的分析方法，或者说是客观理性的方法。正如我们上文所说，新弗雷格主义者认为，客观的理性方法是我们通向认识真理之路，它会使我们不带偏见地、中立地看待世界。新弗雷格主义者和弗雷格的指称理论都认为，句子的指称是真值（真、假是句子的语义值，也是句子的指称）。一个句子有指称，当且仅当这个句子中的每一个逻辑表达式都有指称。和弗雷格不同的是，新弗雷格主义者从原子句子的真来回答何物存在。当我们问数是否存在时，我们需要考虑的是某些包含数字的原子句子。比如“2小于3”如果是真的，那么“2”和“3”的指称存在。因为2和3都是数，所以数存在。如果“宙斯生活在奥林匹克山上”是真的，那么“宙斯”的指称存在。但是没有任何包含“宙斯”的原子句子是真的，因此“宙斯”的指称不存在。或许有人会反驳说，一些相信希腊神话的人会认为“宙斯生活在奥林匹克山上”是真的，那么按照指称理论，“宙斯”这个单称词项有指称。确实，按照指称理论，如果一个原子句是真的，那么这个原子句中所出现的单称词项就有指称。然而，我们不能随意指定一个原子句子是真的。真是客观的，我们只有通过理性的方法才能获得真理。相信神话故事并不是探索世界事实的可靠方法，而这个判断的真是依据神话故事，所以我们并不会承认“宙斯生活在奥林匹克山上”是一个真句子。无论是经验科学，还是数学或逻辑学，都需要遵循理性的规范，这种理性的规范是通达真理之路。这是弗雷格和新弗雷格主义者的哲学理论的基本出发点。他们的哲学理论无须解释物理学或化学等具体学科的理性规范是什么，我们需要承认的是理性的规范无关任何个人的认知特征，它并不服从权威或者民主评议或者文化心理等，而是真理的客观要求。
我们的宇宙观是变化的。从亚里士多德、托勒密、哥白尼、开普勒、伽利略、牛顿，再到爱因斯坦、薛定谔等，这些伟大的思想家和科学家的工作使我们关于宇宙的观念发生了很大的变化。今天的物理理论仍然在向前发展，没有任何的理由相信物理理论会停滞不前。我们相信理性探寻的方法可以让我们不断地接近认识的无限性。
对于伽利略来说，认识的无限性曾是活生生的和愉快的乐观主义的源泉。他写道，从广博上看即就知识的容量而言，我们已掌握的知识永远无法同我们将要掌握的知识相比，但从精深上看，我们认识的自然界是绝对可靠的。忽视知识精深的可靠性，确实可能引起，并且已经引起了许多人对科学的悲观主义态度，进而否定科学的价值；这也就为以各种方式反对理性和科学敞开了大门……
在爱因斯坦看来，世界的可知性甚至是一种奇迹；世界不可穷尽，但在每一个给定时刻关于它的知识又是有限的，尽管如此，世界还是可知的。[1]
那些探寻宇宙奥秘的科学家持有理性的乐观主义，在哲学上他们持有基本实在论的真理观。一方面，他们认为真理独立于我们；另一方面，他们又相信理性会指引我们认识真理。弗雷格或新弗雷格主义者的哲学理论并不是要给出我们发现真理的原则或解释发现真理是如何发生的，他们的认识论关注的是真理之间的证成关系。对于新弗雷格主义者，除了关注真理之间的证成关系，他们还关注定义作为一种客观方法，如何让服从理性的主体理解新概念。关于认识论的问题，我们后文会继续介绍。现在让我们转到本体论的问题上来。
指称理论本身并不告诉我们句子的真假，它实际上是本体论的元理论，其回答的问题是：我们的本体论问题究竟是什么？我们该如何回答本体论的问题？弗雷格和新弗雷格主义者认为，问何物存在，实际上是一个关于语句表达式是否有指称的问题，我们应该从指称的角度回答这个问题。蒯因的本体论的承诺也是一种本体论的元理论。二者不同的地方在于：当问及什么对象存在，指称理论需要从原子句的真来给出回答；蒯因的本体论承诺考虑的问题局限于一个理论承诺什么对象存在，这个理论考虑的是理论一阶化后量词的取值范围。二者并不矛盾。因为从逻辑的推理看，一个原子句的真能够推出一个存在量词语句的真，即ϕ（t）是一个原子式，其中t是一个单称词项，可以推出∃xϕ（x）。比如从“这朵花是红色的”可以推出“存在一个对象，它是红色的”。新弗雷格主义者关注的不是理论承诺了什么对象的存在，他们阐释的是当人们说某个对象存在时，实际上是某个原子句的单称词项有指称。
弗雷格是从语言的逻辑分析上区分了单称词项和谓词，这样的方法使弗雷格可以区分对象和概念。弗雷格认为对象是单称词项的指称，概念是谓词的指称。因为单称词项不可能是谓词，所以从语言的逻辑形式看，它们是不同类型的逻辑表达式。弗雷格继而提出对象和概念作为这两种类型的表达式的指称也是两类实体。弗雷格本体论的理论还有许多不完善的地方，比如单称词项如何判定、“马概念悖论”问题的解决，等等。新弗雷格主义者继承了弗雷格探索哲学问题的逻辑分析方式，他们赞赏“对象+概念”的思想结构，而非康德式的“直观+概念”的思想结构，但是摆在他们面前的问题是，如何改进弗雷格本体论的理论。改进工作包括如何解释单称词项、如何保留对象和概念区分又能够解决“马概念悖论”，等等。
新弗雷格主义者和弗雷格一样，在认识论方面关注的是我们如何证明一个句子的真。一般来说，经验科学的理论需要诉诸我们的经验观察，经验科学的知识是后天的。而算术真理是先天的，因为算术真理的证成不需要经验，只需要逻辑和定义。新弗雷格主义者继承了弗雷格的观点，认为一个公理系统本身并不是系统初始符号的定义。如果我们不知道这些符号的涵义，我们就不会理解公理的涵义，更遑论知道公理的真值了。和弗雷格不同的是，新弗雷格主义者认为抽象原则，比如休谟原则可以作为隐定义来解释“数”的本质。虽然弗雷格在《算术的基本规律》中也有专门对定义的阐述，但是弗雷格和新弗雷格主义者的定义观有明显不同。
新弗雷格主义者继承了弗雷格的涵义与指称理论，他们力图从表达式的涵义上阐释我们如何理解新种类对象。新弗雷格主义者并不认为只有算术的定义才是先天的定义，经验科学理论中的有些定义也是先天定义。先天定义仅以理解语言的方式就可理解被定义项的涵义。我们通过理解语词的涵义，进而理解表达式的指称。黑尔（2013，6.4.1，6.4.2，11.2.1）认为，定义的目的在于解释事物的本质，同时他也认为，有些定义确实既是语词定义，又是事物定义，比如“正方形是边长相等的四边形”；但并不是所有的定义都是语词定义。比如逻辑联结词“且”的定义就不是一个语词定义，因为我们在给出这个逻辑联结词的定义之前，就理解了这个语词的意义。逻辑联结词“且”的定义实际上是一个真值函数。如果对一个定义的理解仅仅诉诸我们的语言知识，那么这样的定义就是先天定义。逻辑联结词“且”虽然不是语词定义，但是我们可以通过“A且B”这个语句的真值条件来理解“且”作为真值函数的涵义。一个表达式的涵义需要放在句子的语境之中考虑。一个表达式s在一个句子ϕ中出现，它的涵义就是这个句子的真值条件。并非所有的定义都是先天定义，比如“水是H2O”就不是一个先天定义，因为从这个定义语句，仅通过语言机制，我们并不能理解这个定义的真值条件，所以这样的定义就是后天定义。“正方形是边长相等的四边形”是一个先天定义，因为这个定义仅诉诸语言机制，就可以理解这个定义的真值条件。简单来说，这个定义可以表述为：∀x（x是正方形，当且仅当x是边长相等的四边形）。我们理解a是正方形的真值条件是因为这个句子的真值条件和a是边长相等的四边形的真值条件相同。因为我们理解后者的真值条件，因此就能理解a是正方形的真值条件。从这个定义，我们就理解了“正方形”这个概念。但是“水是H2O”的真值条件实际上无法通过这样的方式获得。进一步，“x是水”实际上并不是一个一阶逻辑形式上的谓词，因为这里的“x”不能用单称词项填充，从而形成一个合适的句子。我们只能说一些对象的聚合，比如这个容器里的液体是水，而不能说一个对象是水。简单说，如果定义的是概念P，仅从定义就可以理解x是P的真值条件，那么我们就可以说这个定义是先天定义。
从先天定义的角度，新弗雷格主义者希望能给出我们认识必然真理的解释途径。弗雷格把必然真理和先天真理的外延看作是同一的；一个判断是先天真理当且仅当这个判断是必然真理。克里普克认为，先天真理和必然真理不同，前者是认识论领域的术语，后者是形而上学领域的术语。新弗雷格主义者认同克里普克的论断，他们承认先天性和必然性是不同的。康德有句名言：从经验我们可以习得什么是实然的，但是不能习得什么是必然的。如何解释算术真理的必然性也是新弗雷格主义者所面对的认识论问题。黑尔认为，一个句子是必然真的是因为一些事物的本质，比如“A或非A”（其中A是有真值的句子）是一个必然真理，是因为“或”和“非”这些联结词的本质。黑尔想从定义的角度给出我们如何习得必然真理的认识途径，他认为，所有的定义都是解释事物的本质，因此定义提供了我们认识事物本质的途径。而一个句子如果表达的是事物的本质，并且是真的，那么这样的句子就是必然真理。所以新弗雷格主义者认为，从定义的角度，我们可以回答一类必然真理的认识论的问题，即回答如何从先天定义来理解事物的本质，但是这样的回答并不适合后天定义。
表达式的涵义不是神秘之物。新弗雷格主义者是从语言的使用上去解释表达式的涵义的。在什么意义上，可以说我们理解了一个表达式的涵义？这是一个操作性的问题。新弗雷格主义者从操作性的角度，在理论上给出我们理解一个表达式涵义的标准。这样的理论是实践的、开放的。涵义的客观性体现于语言使用的规范性上。他们的理论并不诉诸一个神秘的涵义世界，定义并不是要从这个神秘的涵义世界中找到一个匹配的涵义赋予被定义项。他们的定义理论是要探寻有效力的定义需要满足什么条件。或许这些条件并不是完备的定义条件，甚至我们将来或许发现这些条件并不合适。他们采用的是一种探索式的方式，类似于科学理论的一些预设。但是成功定义的条件是某种先天知识，因为它们并不是来源于感知经验。先天知识并不一定是确定的、不可错的知识。弗雷格认为，公理V是先天真理。但是后来发现，这个公理和二阶逻辑不一致。所以公理V虽然是先天判断，却是先天错误的判断。
新弗雷格主义者希望从理解一个语句的真值条件（涵义）来解释这个语句中所出现的词项的涵义，他们试图从语句的涵义，通过句子表达式涵义的连接方式，切分出隐定义中被定义项的涵义。新弗雷格主义者必须解释不同的语句具有相同的真值条件的标准是什么。关于如何构建定义理论，新弗雷格主义者除了给出真值条件同一的标准，还需要解决“凯撒问题”。在弗雷格看来，休谟原则之所以不能作为数的定义，是因为从这个定义我们无法得出“3不等于凯撒”。和弗雷格不同，新弗雷格主义者认为休谟原则可以作为数的隐定义，因此新弗雷格主义者的定义理论需要解决“凯撒问题”。
在技术上，逻辑学家们已经证明从二阶逻辑系统加休谟原则可以推出戴德金—皮阿诺算术公理系统中的公理，这个结论被称为弗雷格定理。这个技术性的结果是否具有新弗雷格主义者宣称的认识论的意义，是我们关注的问题。休谟原则作为隐定义，如何理解新种类对象将是新弗雷格主义定义理论的核心内容。
本书主要阐述的是新弗雷格主义的算术哲学理论。我试图从新弗雷格主义者的诸多论文和著作中重构和解释新弗雷格主义算术哲学理论。在我看来，他们的基本实在论的立场是他们哲学理论的灵魂。一方面，算术真理独立于我们的认识、数是独立持存的、数学概念是客观的，这些构成了新弗雷格主义的柏拉图主义算术哲学观的内容；另一方面，新弗雷格主义者试图解释客观理性的方法是我们认识抽象对象和认识算术真理的途径。他们是理性乐观主义者！在本书中，我重点阐释了新弗雷格主义的客观理性方法：逻辑方法！这里的逻辑方法包括语言的逻辑分析、定义以及演绎的逻辑推理。
从语言的逻辑分析，我们可以区分单称词项和谓词。语义理论如何保证在区分对象和概念的前提下避免“马概念悖论”？作为逻辑方法的定义该满足什么条件？从二阶逻辑和休谟原则如何推出基本的算术规律？诸如这些问题都是有关逻辑学的问题，是客观的问题。本书试图表明，新弗雷格主义的算术哲学在探寻这些问题的答案时注重实践的实用主义精神。他们的哲学理论提出了关于定义的先天知识，但是这并不意味着这些先天知识是不可错的。当我们的认识深入，会发现一些观念性的知识并不合适，甚至可能发现知识体系的不一致。但是和经验理论不同的是，这些观念性知识的修正并不是因为感知经验，认识这些判断的错误并不源自经验。就如同我们在证明一个算术命题时所犯的错误一样，我们给出的错误证明并不是经验判断的错误，而是先天判断的错误。就如同我们说“这是一个蓝色的思想”一样，它是一个先天错误判断。我们完全可能会修正一些观念性的知识。新弗雷格主义者对于他们提出的定义理论采取开放态度，这些理论同所有的理论一样，都会接受理性的检验。唯有理性是我们通达真理之路！
0.2 本书的构架
本书共分为三个部分。第一部分阐述弗雷格的算术哲学的遗产，这是留给新弗雷格主义者的遗产。新弗雷格主义者与弗雷格一样，区分了对象与概念，但是弗雷格的柏拉图主义的算术哲学理论还存在有待完善和发展的地方。比如，如何解释单称词项，以及如何解决马概念悖论等。弗雷格的认识论主要包括定义和普遍的逻辑观，但是定义的先天性中还有许多问题有待新弗雷格主义者回答。
第二部分阐述新弗雷格主义者如何完善弗雷格的本体论。这部分将阐释新弗雷格主义的本体论，新弗雷格主义者如何消解“马概念悖论”，以及他们的基本实在论的立场。虽然“凯撒问题”的解决也和认识论相关，但“凯撒问题”之所以重要是和柏拉图主义的算术观紧密相关，所以在章节安排上我们把它放在了本体论部分。单称词项的判定问题作为资助项目研究内容的阶段性成果已经发表。为了避免重复，单称词项的判定问题没有放入本书。
第三部分阐述新弗雷格主义的认识论。第8章给出了弗雷格定理的证明。其基本证明思路来自布鲁斯（Boolos）的工作。[2]其中有些证明为了叙述的方便，做了简单的修改。第9章阐释了休谟原则的认识论意义。这一章主要介绍休谟原则作为隐定义所遭受的质疑，以及新弗雷格主义者如何应对这些质疑。第10章阐释了隐定义的理论基础。在这一章，我们将回答不同语句的真值条件的同一性标准究竟是什么。第11章解释定义的先天性。在这一章我们将阐释新弗雷格主义者的操作性的定义观，回答成功的定义需要满足的条件，阐释一些经验科学的定义何以也是先天的定义。即使经验科学的理论会变迁，但是经验科学理论中的一些定义却可以保留下来。第12章我们将从定义的角度，给出解释事物本质的认识论的途径。如果从经验我们只能获得实然的真理，那么算术真理的必然性该如何解释？新弗雷格主义者认为，一个句子是必然为真的，在于这个句子的真是缘于一些事物的本质。而我们如何理解事物的本质？这一章将会从定义的角度给出理解事物本质的认识论的途径。并不是所有的先天真理都可以从定义的角度获得解释，这里只提供了一些先天必然真理的认识论的解释。第13章解释高阶逻辑也是逻辑。这一章主要是针对高阶逻辑不是逻辑的观点，阐释新弗雷格主义者为高阶逻辑的辩护策略。新弗雷格主义者认为概念并不是集合或者类，对于逻辑的语义模型也不必采用今天所流行的集合论模型。
[1] [苏]库兹涅佐夫：《爱因斯坦传》，刘盛际译，商务印书馆1992年版，第398页。
[2] “The Standard of Equality of Numbers”，in Boolos，Logic，Logic and Logic，Harvatd University Press，1998，pp.202-219.