1.1.3 光学薄膜特性的理论计算

单层介质薄膜的反射率

在上一节中我们曾讨论了平面电磁波在单一界面上的反射和折射。在界面上应用边界条件可以写出

因为应用边界条件写出的p-分量和s-分量的等式形式是相同的，所以不再区分p-分量和s-分量的情形。同时除了另作说明外，E和H都是指电场或磁场的切向分量，不再指明下标t。

在光学上，处于两个均匀媒质之间的均匀介质膜的性质特别重要，因此我们将比较详细地来研究这一情况。假定所有媒质都是非磁性的（μ_r=1）。

如图1-4所示，单层薄膜的两个界面在数学上可以用一个等效的界面来表示。膜层和基底组合的导纳是Y，由式（1-54）和式（1-55），可以知道

式中，Y=H₀/E₀，。

于是如同单一界面的情形，单层膜的反射系数可表示为

只要确定了组合导纳Y，就可以方便地计算单层膜的反射和透射特性。因此，问题就归纳为求取入射界面上H₀和E₀的比值。对于组合导纳Y的表达式，推导过程如下：

如图1-5所示，薄膜上下界面上都有无数次反射，为便于处理，我们归并所有同方向的波，正方向取+号，负方向取-号。和是指在界面1和2上的，符号、、和等具有同样的意义。

现在界面1，应用E和H的切向分量界面两侧连续的边界条件写出：

对于另一界面2上具有相同坐标的点，只要改变波的位相因子，就可以确定它们在同一瞬时的状况。正向行进的波的位相因子应乘以，而负向行进的波的位相因子应乘以。其中

即

所以

这可用矩阵的形式写成

在基片中没有负向行进的波，于是在界面2应用边界条件可以写成

因此

写成矩阵形式为

将此式代入式（1-62），得

因为，E和H的切向分量在界面两侧是连续的，而且由于在基片中仅有一正向行进的波，所以式（1-65）就把入射界面的E和H的切向分量与透过最后界面的E和H的切向分量联系起来。又因为

于是式（1-66）可以写成

令

称为薄膜的特征矩阵。它包含了薄膜的全部有用的参数。其中δ₁=；对p-分量，η₁=n₁/cosθ₁，而对s-分量，η₁=n₁cosθ₁。后面将会看到，在分析薄膜特性时，这一矩阵式非常有用的。

矩阵定义为基片和薄膜组合的特征矩阵。显然，由

得

故振幅反射系数为

能量反射率为

由矩阵的表达式可以知道，当薄膜的有效光学厚度为1/4波长的整数倍时，即

或其位相厚度为的整数倍，即

在参考波长处会出现一系列的极值。

对于厚度为λ₀/4奇数倍，即m=1,3,5，…的情形，有

，这通常称为四分之一波长法则。

而对于厚度为λ₀/4偶数倍，即m=2,4,6，…的情形，有

在参考波长λ₀处，它对于膜系的反射或透射特性没有任何影响，因此被称为“虚设层”。当然在其他波长上，薄膜的特征矩阵不再是单位矩阵，对膜系的特性是具有影响的。因而，半波长厚度的虚设层通常用于平滑膜系的分光特性。当厚度为1/4波长的奇数倍时，反射率是极大还是极小，视薄膜的折射率是大于还是小于基片的折射率而定。当膜的光学厚度取λ₀/2的整数倍时，反射率也是极值，且视它们的折射率而定，只是情况恰巧相反。这些结果表示在图1-6上。

膜的折射率为n₁,n₀=1.0,n₂=1.5,入射角θ₀=0°。由于1/4波长厚度的薄膜在多层膜设计中用得非常广泛，因而有一些简便的速写符号。