章末习题

习题1-1 在公牛对湖人的篮球决赛前夕，马可押注10000美元赌湖人赢，当时的赔率为1：1。马可的总财富为80000美元，他的效用函数是财富的对数函数。这样下注表明他相信湖人赢的概率至少有多大？

习题1-2 假设f（x）是定义在区间［a，b］上的非负函数（概率密度），u（x）是定义在（-∞，+∞）上的严格凹函数（效用函数）。证明Jensen不等式：

∫b_au（x）f（x）dx＜u（∫b_axf（x）dx）

习题1-3 娜拉打算花10000美元做环球旅行。旅游的效用函数是花费的对数函数。如果在旅游途中她有25%的可能性被偷走3600美元；而一家保险公司承诺向娜拉提供公平的旅游财产损失保险（保险金是900美元，保额是3600美元）。试证明娜拉买旅游保险会提高旅游得到的期望效用。另外，请计算倘若保险计划是不公平的，娜拉愿意支付的最高保险金是多少？

习题1-4 一个农场主认为下个种植季节有可能是个多雨季节，也可能是个正常季节。假设农场主的期望效用是U=ln（Y_NR）+ln（Y_R），其中Y_NR、Y_R分别是他在正常季节与多雨季节的农产品收入。

（1）假定农场主只能种植小麦或玉米两种之一，相应的收入由表1-1给出：

表1-1 农场主种植不同作物相应的收入 （单位：美元）

他应该如何决策？

（2）如果农场主可以一半耕地种小麦，另一半种玉米。他会那样做吗？

（3）如何划分耕地种两种作物可以让农场主的期望效用最大化？

（4）如果保险公司愿意对只种小麦的农场提供收成保险，保险金是4000美元，保额是8000美元。农场主会全部种小麦吗？