1.2　圆的面积和阿基米德原理

阿基米德的方法基于一项更加古老的技术——“利用薄片法求面积和体积”. 阿基米德将这项技术归功于公元前 4 世纪的欧多克索斯 (Eudoxus of Cnidus), 后者生活在今天的土耳其西南海岸. 欧多克索斯用他的薄片法, 发现棱锥和圆锥的体积等于底面积乘以高的三分之一. 人们认为, 甚至早在欧多克索斯之前, 安提芬 (Antiphon of Athens, 公元前 5 世纪) 就发现了圆的面积等于一个三角形的面积, 其中三角形的高等于圆的半径, 底等于圆的周长.

用现代符号表述, 定义 为圆的周长与其直径之比3, 则圆的周长等于 乘以直径或 . 而上述三角形的面积是底乘以高的一半, 为

3第一次用 来表示圆的周长与直径之比是在 17 世纪或 18 世纪早期——可能是因为 是“perimeter”的希腊首字母——这个记号之后由欧拉推广使用.

这就是我们熟悉的圆的面积公式. 如果将圆看作由很多非常细的三角形组成 (图 1.6), 就会得到这个公式.

图 1.6　用很多细三角形逼近一个圆

事实上, 这些细三角形的高很接近于圆的半径, 而且随着三角形越变越细, 细三角形的高会越来越接近圆的半径. 所有细三角形的总面积等于各自的底乘以高的一半再求和, 也即等于先将底求和, 再乘以高的一半. 结果趋于周长 (底的和) 乘以半径的一半.

下面我给出的圆的面积公式的证明是对阿基米德的证明稍作加工而得到的. 证明依赖于欧几里得《几何原本》第十卷命题 1:

给定两个不等的量, 从较大量中减去一个大于它的一半的量, 再从余量中减去大于该余量一半的量, 这样继续下去, 则会得到某个小于较小量的余量.(Euclid, 1956, vol.3, p.14)

这个命题告诉我们, 若有两个正的量, 让其中一个量保持不变, 让另一个量不断减半, 那么最终 (在有限步内), 另一个量的余量会小于那个保持不变的量. 该命题如今被称为阿基米德原理, 虽然它至少可以追溯到欧几里得. 它看起来是如此显然, 似乎不值一提, 然而值得注意的是, 它明确否定了无穷小量的存在. 无穷小量是一个大于零却小于任何正数的量. 如果我们允许某个不变的量是无穷小量, 取另一个正实数, 则无论我们将该正实数减半多少次, 它会始终大于无穷小量, 这与阿基米德原理矛盾.

定理 1.1 (阿基米德, 来自《圆的度量》)　圆的面积等于一个直角三角形的面积, 其中直角三角形的一条直角边等于圆的半径, 另一条直角边等于圆的周长.

证明　遵循阿基米德的证明, 我们将表明圆的面积既不小于也不大于上述直角三角形的面积, 从而证明它恰好等于直角三角形的面积. 首先假设圆的面积 严格地大于直角三角形的面积 , 即 .

考虑圆的内接正多边形, 比如如图 1.7 所示的正八边形.

图 1.7　圆及其内接八边形. 虚线是其中一个三角形的高

记 为正多边形的面积. 因为正多边形内接于圆, 所以它的面积小于圆的面积, 即 . 正多边形的面积是若干三角形面积之和, 因为每个三角形的高都小于圆的半径, 且所有三角形的底边之和小于圆的周长, 所以正多边形的面积小于定理中直角三角形的面积, 即 .

在连接正多边形每一对相邻顶点的弧的正中间再插入一个顶点, 得到新的边数翻倍的正多边形. 记其面积为 . 我断言 小于 的一半. 为证明这一点, 考虑图 1.8. 很明显, 图中等腰三角形的面积占了圆与旧的正多边形之间所形成的弓形面积的一半以上. 以此方式, 不断地将正多边形的边数翻倍, 直到我们得到一个面积为 的内接正多边形, 使得 . 阿基米德原理确保这能够实现. 此时有 .

图 1.8　比较圆与第一个多边形之间的面积和圆与边数翻倍的多边形之间的面积

但是面积为 的多边形仍旧是圆的内接正多边形, 所以 , 与前文的结论矛盾. 故我们的假设 不可能是正确的.

如果圆的面积严格地小于 会怎样呢？我们有 . 令 为圆外切正多边形的面积 (图 1.9). 此时, 组成外切正多边形的每个三角形的高等于圆的半径, 且外切正多边形的周长严格地大于圆的周长4, 故 .

4“外切于圆的多边形的周长大于圆的周长”证明起来并不容易. 阿基米德在《论球与圆柱》中把它承认为公理.

图 1.9　圆及其外切八边形. 虚线是其中一个三角形的高

按照图 1.10 所示的作法, 将外切正多边形的顶点个数翻倍, 其中 是原来的顶点, 是新作出的一对顶点中的一个.5记新外切正多边形的面积为 . 图 1.10 显示了随着正多边形顶点数翻倍, 中有多少面积被移除了: 因为 , 所以 大于 的一半. 比较三角形 和三角形 的面积, 两个三角形的高相同 (都是点 到直线 的距离), 且三角形 的底边长大于三角形 底边长的两倍, 所以通过将外切正多边形的顶点数翻倍, 外切正多边形与圆之间的面积损失了一半以上, 即 .

5这里对圆的新外切正多边形作法补充描述如下: 如图 1.10 所示, 原来的外切正多边形把圆分成若干段小圆弧, 在每段小圆弧的中点处作圆的切线, 将切线与原外切正多边形的交点作为新正多边形的顶点, 从而得到顶点数和边数翻倍的新外切正多边形. ——译者注

图 1.10　比较圆与旧外切正多边形之间的面积和圆与顶点数翻倍的新外切正多边形之间的面积

以此方式不断地将圆外切正多边形的顶点数翻倍, 直到得到一个外切正多边形, 其面积为 , 且 , 从而有 , 这与每个外切正多边形的面积都大于 矛盾. 故我们的假设 也是错误的. 由于 既不严格大于 , 又不严格小于 , 因此它必定恰好等于 .　　　　　

我们刚才看到的证明可能显得烦琐而迂腐. 仅凭图 1.6 原本就能说服大部分人. 问题在于, 那样的论证依赖于把“无穷多”和“无穷小”看作有意义的量. 古希腊哲学家愿意把它们看作有用的虚拟量, 以帮助自己发现数学公式, 但不认为仅靠它们就足以说明数学结论的合理性.

17 世纪的哲学家们对无穷小量的合法性展开了激烈的辩论. 我们可以从牛顿和莱布尼茨的作品中看到, 他们既承认无穷小量方法所蕴含的强大力量, 同时又不愿放弃阿基米德所恪守的严格准则. 这种不情愿会在 18 世纪伯努利家族和欧拉的影响下消散. 但是由此产生的问题会在 19 世纪初以明显的矛盾和悖论的形式卷土重来. 在第四章, 我们将看到柯西如何将阿基米德和其他古希腊后继者的论证改写为精确的极限语言, 从而建立起微积分的现代基础.