导读

·Introduction to Chinese Version·

阿基米德具有良好的学术道德,从不贬低别人来夸大自己的成就,反而经常提到自己因前人的成果而得到启发。他也坦承有些问题的求解折磨他许久。凡是用到他人成果之处,阿基米德都明确指出。

一、阿基米德是谁?

一提起阿基米德,许多读者会立刻想到关于他的三个故事。

第一个故事,说的是阿基米德在澡盆里泡澡时,突然悟出了如何解决叙拉古国王希伦(Hieron)交给他的难题:在不损坏王冠的前提下,检验王冠是否为纯金。找到答案后,他激动不已,来不及穿上衣服就光着身子在大街上狂奔,边跑边喊:“尤里卡(Eureka) ! 尤里卡(Eureka) !”意思是“找到了! 找到了!”这个故事引出了我们现在熟知的“浮力定律”。

第二个故事,阿基米德声称:给我一个支点,我就能撬动地球。这也是出于希伦国王的要求,阿基米德向他演示如何用很小的力,移动很重的物体。在国王和众多市民的瞩目之下,阿基米德借助一套复杂的曲柄滑轮机械,以一己之力移动了一艘大船,然后就说出了“给我一个支点,我就能撬动地球”这句豪言壮语。这个故事引出了我们现在熟知的“杠杆原理”。

第三个故事,说的是阿基米德痴迷于几何学。痴迷到什么程度呢? 当叙拉古被罗马大军攻破时,他浑然不觉,仍专注于自己在地面上描画的几何图形。罗马士兵破门而入,他大声呵责:“不要碰坏我的图!”阿基米德因此激怒罗马士兵而被杀害。(关于阿基米德被杀害经过,有多种版本,但大同小异。)

这三个故事,给世人留下了深刻的印象。

阿基米德的一位朋友赫拉克利德斯(Heracleides),曾撰写过阿基米德的生平传记,但该传记未能存留至今。因此,我们对阿基米德的生活细节不甚清楚,例如,他是否结婚? 有无子嗣? 这些都不清楚。不过,比较确切知道的有以下事实:

第一,阿基米德在他的著作《数沙者》中提到,他父亲是一位天文学家,名为菲迪亚斯(Pheidias)。

第二,阿基米德与叙拉古国王希伦和王子革隆(Gelon)之间的关系十分密切,他们很可能是亲戚。

第三,亚历山大城是当时的希腊文化中心,有一座闻名于世的亚历山大图书馆,云集了各地慕名而来的学者。阿基米德曾在亚历山大城待过一段时间,在那里学习和做研究。这意味着,他曾与大数学家欧几里得的学生一起做过研究工作。在亚历山大城,阿基米德结识了当时的著名学者——来自萨摩斯的科农(Conon)和数学家厄拉多塞。阿基米德习惯于在发表新成果之前与科农沟通,也曾把“牛群问题”的要点寄给厄拉多塞。他还把自己的几部作品题献给另一位朋友,来自佩鲁西乌姆的多西休斯(Dositheus),他是科农的学生,也住在亚历山大。

第四,从繁华的亚历山大城回到故乡叙拉古以后,阿基米德再也没有离开过。他把全部精力用于研究几何学,顺便又发明了许多精巧的机械。但这些机械对他而言只是“几何之余的消遣”,他并不看重。

第五,阿基米德发明的一些机械,让攻打叙拉古的罗马士兵闻风丧胆,主帅不得不转而围城。三年后,叙拉古因为防务出现漏洞而被攻破。

第六,叙拉古陷落后,陷入一片混乱之中,但阿基米德仍全神贯注于他在沙地上绘制的几何图形。他被一名罗马士兵所杀,但那名士兵并不知道被杀者是谁。

第七,阿基米德曾请求他的朋友和亲戚,在他的墓上放置一个内部有相切圆球的圆柱体,并在其上镌刻圆柱体与圆球的体积之比及面积之比(均为3 ∶ 2)。可见,他把这个比值的发现,看作他一生最重要的成就。公元前75年,即他去世137年后,时任西西里岛财务官的罗马政治家、演说家西塞罗(Cicero),找到了被废弃的阿基米德墓,看到了墓碑上镌刻的铭文诗句。西塞罗随后对墓地进行了修缮。

除此之外,还有许多关于阿基米德的传说,如他会忘记食物和其他生活必需品,他会在炉灰或者在抹油的身上勾画几何图形;再如上面提到的测量王冠、杠杆拖动大船,以及后面将要讲到的用镜面和大吊车摧毁罗马战船,等等。虽然有的略显夸张,但很能体现这位伟大科学家的性格和智慧。

二、辉煌的古希腊文明

大家都知道,古代巴比伦、埃及、印度和中国,是四大古代文明区域,或者叫文明圈。比这四大文明圈晚一些,出现了爱琴海文明。爱琴海文明发源于克里特岛(也有说是希腊半岛和爱琴海诸岛),后来文明中心移至希腊半岛,出现了迈锡尼文明。对迈锡尼时期的了解,主要来自《荷马史诗》。公元前1100年至公元前1000年,由于战乱等原因, 迈锡尼文明被毁灭,希腊历史进入了所谓的“黑暗时期”。

后来,由于海上贸易再次兴盛,新的城邦国家纷纷建立,雅典和其他城邦国家的希腊人,开始向外殖民。有些殖民地由逃离本土的战败者或放逐者所建立,更多的是为了贸易需要而建立。因此,许多古希腊名人并不出生在希腊本土。比如,阿基米德便出生于现在意大利西西里岛的锡拉库萨(古名叙拉古)。

公元前490年,波斯大军渡海西侵,但在马拉松战役中被人数居于劣势的雅典重装步兵击败。希腊人赢得了第一次希波战争的胜利,希腊历史进入“古典时期”。

在古代希腊各城邦中,势力最大的是雅典和斯巴达。这两个城邦为了争霸,互相攻伐,进行了旷日持久的内战,给繁荣的古希腊带来了前所未有的破坏,导致其国力式微,整个希腊开始由盛转衰。

公元前338年,希腊被马其顿王国征服。公元前336年,年仅20岁的马其顿王子亚历山大继承王位。在继任马其顿国王后,亚历山大在短短的十几年时间内,东征西战,建立了一个横跨欧亚非的大帝国。于是,亚历山大国王就变成了亚历山大大帝。然而,不幸的是,公元前323年6月,亚历山大大帝突发疾病,仅几天时间,就匆匆离世,年仅33岁。尽管亚历山大像一颗短暂的流星划破天际,但他开创的希腊化时代,对世界文明产生了深远的影响。

古希腊文明在政治、经济、哲学、艺术、科学、数学等方面都有巨大成就。关于科学和数学,后面将详细介绍。

经济方面,希腊早就形成了古代世界堪称发达的外向型经济。当地适合种植葡萄和橄榄,制成的葡萄酒和橄榄油绝大部分用来出口。希腊人还用陶土生产上乘的陶器,将石头制成优质的建筑材料和雕塑材料,运销海外。

聪明睿智的希腊人,几乎创设了现代政治学研究的一切形式:僭主制、寡头制、贵族制、共和制、民主制、君主制等。在政治制度上,不采用代表制,更不采用世袭制,一切都以公民的意志为转移。这是一种直接的民主,在历史的发展中,它演化为一种精神,这就是民主精神。

在哲学王国里,从苏格拉底(Socrates)开始,经过柏拉图(Plato),再到亚里士多德(Aristotle),名师才高八斗,高徒学富五车,更形成了一道万世瞩目的风景。

在文学园地里,希腊神话最为引人瞩目,史诗也居于重要地位。《荷马史诗》既具有重大的文学价值,又蕴含着大量史学信息。

古希腊建筑开欧洲建筑的先河。古希腊建筑的结构属梁柱体系,早期主要建筑材料都用石头。石柱以鼓状砌块垒叠而成,砌块之间有榫卯或金属销子连接。墙体也用石砌块垒成,砌块平整精细,砌缝严密,不用胶结材料。古希腊建筑的一个重要特点是,必须遵循一定的数学比例,例如大量采用黄金分割比例——1∶0.618。

三、古希腊数学与科学

表1列出了400多年间,古希腊20位大数学家及其主要成就。

在这些数学家中,最重要的当推欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。对阿基米德影响较大的有泰勒斯、毕达哥拉斯、欧多克斯、欧几里得等。阿利斯塔克和厄拉多塞是阿基米德同时代的人,后者是阿基米德的好友。许多数学家同时也是物理学家、天文学家、工程师等。下面,我们对几位最重要的数学家略作介绍。

泰勒斯出生于今土耳其境内米利都,曾去埃及学习,带来了一条几何定理:圆周上任一点到直径两端连线的夹角为直角。一般把他看作希腊几何学始祖。他因预测公元前585年的日食而出名,又曾提出“万物本原为水”和“万物有灵”,创建米利都学派。在柏拉图时代,他被誉为“希腊七贤”之一。

毕达哥拉斯出生于今土耳其境内爱奥尼亚,后移居意大利南部,曾游历巴比伦和印度,可能还有埃及。他认为“万物皆数”,并以此为宗旨,建立了一个集宗教、政治、学术于一体的团体——毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯痴迷于数学,引入黄金分割、勾股定理和无理数。他还把音乐纳入他的世界——以数为中心的理论之中。他对弦长比例与音乐和谐关系的研究,在乐器的制造上具有重要的实用价值,他还试图把音程的和谐与宇宙星际的和谐秩序相对应。毕达哥拉斯也是最早指出地球是球体的人。

欧多克斯生于小亚细亚。他采用穷举法测量面积和体积,创立了几何学中重要的比例理论,对可通约数和不可通约数都可应用。此外,他还提出了行星轨道同心球理论。欧多克斯可能是对阿基米德影响最大的先驱。他开馆执教,培养了许多学生。

欧几里得曾在雅典柏拉图学园求学,后来前往亚历山大城游学。在总结前人成果的基础上又有所发展,写出了传世名作《几何原本》。这本巨著给几何学建立了严谨的公理系统,一直沿用至今。此外,他还著有《论数字》《图形分割》《镜面成像》《球面天文学》和《透视光学》等著作,还有一些著作已经遗失了。

阿波罗尼奥斯出生于今土耳其佩尔格,曾在亚历山大城学习。著有《圆锥曲线论》七卷,全面地讨论了圆锥曲线的性质。阿波罗尼奥斯被称为形式与状态几何学始祖。

由上可知,古希腊在算术和几何学方面取得了高度的成就。但古希腊人不知道零和负数,在他们的数学著作中也没有代数学。零是印度人发明的,代数是从阿拉伯人那里引入的。

古希腊的科学也相当发达。物理学起源于古希腊学者(如泰勒斯、亚里士多德和柏拉图)对物质起源和运动的思考。在天文学方面,古希腊人对历法,地球、月球、太阳的大小,地月距,日地距以及行星轨道均有研究。喜帕恰斯(Hippar-chus)创建了西方最早的星图。

在希腊化时期,实用科学和工程得到了极大的发展,如克特西比乌斯(Ktesibios)发明真空泵、菲洛的军事工程等。然而希腊化时期,最重要的科学家和工程师,无疑当首推阿基米德。他发现的流体静力学原理、杠杆原理及其在曲柄滑轮机械中的应用、重心定理等,至今仍是静力学的基本定理,有着十分广泛的应用。

四、阿基米德的重要成就

阿基米德在很多方面都做出了杰出的成就,主要表现在以下几个方面。

(一) 对几何学的贡献

第一,关于π的计算。阿基米德由圆的外切96边形算出π＜3.1428,又由圆的内接 96 边形算出 π＞3.1408。注意,我们现在计算的 π 的准确值是3.1415926535……

第二,关于圆柱及其内切球之体积与表面积之间的关系。阿基米德要求后人在他的墓碑上刻一个圆柱及其内切球,注明两者的体积与表面积之比(圆柱表面积包括两底面)均为3 ∶ 2,这是他认为自己最重要的成就。

第三,算出球的表面积是大圆面积的4倍。

第四,求出抛物线弓形的面积,为同底等高三角形的4/3。

第五,给出三次方程的解及其应用。

第六,对阿基米德螺线(见图1)的研究和应用。为解决用尼罗河水灌溉土地的问题,阿基米德发明了圆筒状的螺旋扬水器,后面还要提到。

(二) 对力学的贡献

第一,提出了杠杆原理。原理本身十分简单,如图2所示,DW=dw,其中D为阻力臂,W为阻力,d为动力臂,w为动力,即阻力臂×阻力=动力臂×动力。阿基米德根据这个公式声称,“给我一个支点,我就能撬动地球”。我们来算一下, 要撬动地球,这根杠杆需要多长。已知地球的重量约为6×1024 千克,设阿基米德施加的向下压力为60千克,又设支点离杠杆与地球的接触点(重力臂)为10m,则撬动地球杠杆的动力臂为1021 千米。11光年=1016 米,即杠杆的另一端在10万光年以外,约等于银河系的直径。至于杠杆原理的应用,那就不胜枚举了。

第二,研究了多种图形的重心。阿基米德得到的主要结果是:

相同重量组合的重心位于二者连线的中点,不同重量组合的重心到二者的距离与相应的重量成反比;三角形的重心位于两条中线的交点;抛物线弓形的重心位于其轴(顶点与底边中点的连线)上距底边2/5处;旋转抛物体正截段的重心位于其轴(顶点与底面中点的连线)上距底面3/5处。

(三) 对机械学的贡献

第一,设计并制造螺旋扬水器(见图3)。阿基米德在亚历山大求学期间发明了螺旋扬水器。操作方法是,用手柄转动螺旋扬水器,随着扬水器的转动,就可以把水从尼罗河提升到河岸上。后人称这种机械为“阿基米德螺旋”。类似的装置以后沿用了很多年。这个发明有两个要素:一是转动螺杆使水克服重力沿着轴线向斜上方推进,从河流进入农田;二是用曲柄转动螺杆,曲柄离轴线越远,产生同样力矩所需的力便越小,当然经过的距离越长。

现在,阿基米德螺旋原理具有十分广泛的应用。例如,轮船的螺旋桨,只不过被推进的不是水,而是轮船本身。飞机的螺旋桨也类似。此外,该原理还被应用于钻头和螺钉等。

第二,对滑轮的研究。滑轮有三种类型:定滑轮、动滑轮和滑轮组(见图4)。定滑轮用于改变力的方向;动滑轮以增加作用距离为代价,可以用较小的力拖动或提升重物;若用一个定滑轮和一个动滑轮构成复合滑轮,则既能改变力的方向,又能省力;还可以把几个复合滑轮组成滑轮组,省更多的力。

阿基米德曾凭一己之力拖动一艘大船。他使用了曲柄、螺杆、滑轮等机构,甚至还可能有齿轮。滑轮在阿基米德前几百年便为人所知,但他十分熟练地应用于实践中,并对其运动学原理做出了说明。

(四) 对流体静力学的贡献

第一,提出浮力定律。物体受到的浮力等于它排开液体的重量。因此船浮在水面,且有一定吃水深度。同一物体在比重大的液体中浮起较多。

第二,证明了海平面形状与地球表面吻合而成球形。

第三,研究了旋转抛物体截段浮在液体中的稳定平衡位置。

(五) 对数字研究的贡献

第一,对开平方的研究。

第二,发明了大数的表示方法。

第三,提出了所谓的“牛群问题”。

(六) 对天文学的贡献

第一,发明了测量太阳视角的工具。阿基米德在一根长杆的一端固定一个小圆柱或圆盘,日出时(便于直接观察)指向太阳升起的方向,然后移动圆柱到某个距离,使它恰好覆盖太阳。他测得的太阳直径的视角与现代数据相当接近。

第二,推测了地球、月球和太阳的直径,但不太准确。

第三,制作了天象仪。阿基米德制作了一个精巧的多层天象仪。为西塞罗亲眼所见并予以描述,说它表示了月球的周期和太阳的视运动。该天象仪模拟太阳、月球和五颗行星在天空中的运动,精确到甚至可预测短期月食和日食,它很可能是由水力驱动的。阿基米德的著作《球的制作》对这台天象仪做了描述,可惜这本书也失传了。

(七) 在其他方面的贡献

第一,战争机械。最令人感兴趣的传说是,阿基米德用大凹面镜焚毁罗马战船,但推测更可能是用许多平面镜。近年来对此有若干模仿例:1973年,希腊科学家萨卡斯(Sakkas)用60面平面镜在50米外引燃了木船;2009年,MIT学生用100面平面镜在40米外经十分钟引燃木头;2010年,在一个电视秀中用500面平面镜聚光,但只达到约105°C,不足以引燃木头。

有人认为,阿基米德可能用蒸汽炮摧毁了罗马战船。又有人说他设计了投石机,通过城墙上的孔洒下碎石雨,打击敌人。还有人说他设计了配备有可移动长杆的大吊车,超越城墙,或是投射重物于敌人的战船,或是用抓斗型的东西抓住战船,将船首高高举起、狠狠摇晃,随后或是撞击巨石,或是放开战船重重落下而摧毁之。

第二,阿基米德盒子(见图5)。这是一种拼图智力游戏,用14块象牙可以拼成小狗、人像、大象等,长期以来都被学者认为只是借用阿基米德的名字来表示它很困难。但1906年发现的君士坦丁堡抄件,证实了它确系阿基米德的原创。近来的研究表明,拼成方形的不同方式有536 种,若象牙块可以翻转,则多达17152种,也许这才是阿基米德发明这个拼图的目的。

五、对阿基米德著作的保存、传播和研究

希腊学者的书最初写在纸草上,不易保存,传世很少。约公元前170年,人们发明了羊皮纸,公元3世纪起,羊皮纸在欧洲广泛应用,直到14世纪被中国纸替代。

迄今为止,尚未发现阿基米德本人的手稿。

公元5世纪,西罗马帝国灭亡后,西欧进入黑暗时期,懂希腊语的人寥寥无几。6世纪时常见的阿基米德著作,不过两三种而已。那时有少量拉丁语译本,保存于修道院图书馆中。6世纪阿拉伯人崛起后,不少希腊语著作被译为阿拉伯语。10世纪中叶开始,大量希腊语著作被翻译为拉丁语,首先便是借助已有的阿拉伯语译本。

阿基米德著作的希腊语原本被不断转抄,但它们都源自9—10世纪的所谓瓦拉手抄本,遗憾的是它已无迹可寻。瓦拉(Georga Valla)于1486至1499年间执教于威尼斯;他本人翻译了阿基米德和尤托西乌斯的部分著作。我们只知道,瓦拉的阿基米德原本,看起来是根据属于一位精通数学人士的原稿,细心抄写而成的。但原稿从何而来,又是如何编辑而成的,便不得而知了。瓦拉的阿基米德原本,收集了十余本专著,远多于几个世纪前可以找到的,真是十分幸运,但其来源不详,令人猜测。

此外,阿基米德著作拉丁语译本的印刷,始于1544年巴塞尔首印版。

丹麦学者海贝格(Johan Heiberg,1854—1928),在1879年的博士论文《解读阿基米德》中,探讨了阿基米德著作的各种版本。此后不久,他推出一个令人满意、至今沿用的希腊语版本。1906年,海贝格又在君士坦丁堡发现了抄写在阿基米德的书上的一本祈祷书。幸运的是,抄写者未能把原文完全抹去,原来的文字仍然或多或少可以辨认。特别是,书中包含了一直以为佚失的《方法》,还有被称为阿基米德盒子的拼图智力游戏。

读者现在看到的这本《阿基米德经典著作集》,包括了阿基米德所有的存世著作。这些著作包括:

《论球与圆柱》《圆的度量》《论拟圆锥与旋转椭球》《论螺线》《论平面图形的平衡或平面图形的重心》《数沙者》《抛物线弓形求积》《论浮体》《引理汇编》《牛群问题》《阿基米德的方法》。

还有一些阿基米德的著作在文献中有比较确凿的记载,但已佚失。帕普斯(Pappus,约290—约350)描述了阿基米德发现的13种半正多面体,由等边、等角但不相似的多边形面构成;《论平衡或杠杆》;一本内容与算术有关的书,标题为《原理》;一部光学方面的著作;《论球的制作》,描述了如何制作水力驱动的天象仪;《论重心》《论曲面轨迹》。又根据喜帕恰斯所述,阿基米德一定写过关于日历或年的长度的书。

一些阿拉伯学者认为,阿基米德还写了以下几本书,但除了第一个主题的内容见于文献外,其他并无确证。这些书是: 《论圆周上的七边形》《论相切的圆》《论平行线》《论三角形》《论直角三角形的性质》以及关于数的书。

在保存、传播和研究阿基米德著作方面有重大贡献的学者中,除了海贝格之外,首推本书英文原版的编写者,英国学者希思(T. L. Heath,1861—1940)。他是20世纪最负盛名的古希腊数学史研究者,自1885年开始写了十余本书,涵盖了所有主要的古希腊数学家,包括欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。本书的英语原版于1897年出版,包括了当时已知的13篇阿基米德著作,1912年第二版又补充了新发现的一篇。

英语原版不是简单的翻译,而是在忠于原著的基础上重新编写,还加入了一些历史资料,并采用现代记法,以便于阅读。该书还有一篇详尽的引言,篇幅约为正文的四分之一,除了介绍书中的内容,也补充了不少其他资料,更有编者本人和其他学者多年来对阿基米德工作的研究和分析。这些使该书成为当今数学界应用最广的阿基米德著作英文版本。

另外还要提到罗马帝国晚期的数学家和数学史家,亚历山大的帕普斯,他的著作《数学汇编》记录了包括阿基米德在内的许多重要的古希腊数学成果,在数学史上十分重要。

如果您想要对阿基米德进行深入研究,除了细读本书,还可以参考戴克斯泰赫伊斯关于阿基米德的专著(E. J. Dijksterhuis, Archimedes,Princeton University Press, 1987),其中克诺尔(Wilbur R. Knorr)的一篇综述值得关注,它列出了250余篇较近的相关文献。

六、阿基米德的治学态度和治学方法

阿基米德具有良好的学术道德,从不贬低别人来夸大自己的成就,反而经常提到自己因前人的成果而得到启发。他也坦承有些问题的求解折磨他许久。凡是用到他人成果之处,阿基米德都明确指出。这为历史学家的研究提供了极大方便。阿基米德与其同时代的学者保持良好的互动关系,毫不吝啬对他们的赞扬。

希腊学者通常只给出结论而不告知该结论如何得到。阿基米德的专论《方法》是一个难得的例外。这篇专论清楚地展示了作者的思路,先利用力学模型得出一个合理的结论,然后用数学方法(通常是穷举法和反证法)严格证明。由此途径所得到的结果有抛物线图形面积、旋转抛物体体积和重心、球的体积和半球的重心等。

值得指出的是,阿基米德的思维十分缜密。像欧几里得一样,他从非常基本的定义出发,加上一些公设和假设,并应用若干已知的相关结果,开始于证明非常简单的命题,每次前进一小步,最后所得到的常常是一开始难以想象的结果,关键的数学证明步骤以使用穷举法为主。例如在《论球与圆柱》卷Ⅰ中,他先定义了弯折线、曲面、凹向同一侧的线和面、球扇形和立体菱形等概念,然后提出了最短线段、最小面积及不等图形可以通过自我相加而反超等假设,再经过几十条命题和引理,最终在命题34的推论中给出了他最引以为傲的结果:底面为球的大圆、高为球的直径的圆柱的体积和表面积都是相应的球的105倍。

在另一些专著中,阿基米德利用已有的结果,对一些专题进行了透彻的讨论。例如在《论球与圆柱》卷Ⅱ中,阿基米德对球、球缺、圆锥等的体积与表面积之间的关系进行了详细的讨论。

在关于其他对象(圆、抛物线、重心、螺线、旋转体、浮体)的专著中,也可以观察到上述阿基米德纵深推进和横向扩展的思维方法。