刘徽《九章算术注》原序

【题解】

刘徽是《九章算术》成书后第一个重要的注释者。魏晋之后，所有《九章算术》的版本，都采用了刘徽的注释。刘徽在《九章算术》之前写了本篇序言，后世的所有版本也都予以收录。

刘徽的序言首先说明了《九章算术》的版本来源。《九章算术》的基本框架，源于周公的“九数”。秦始皇焚书坑儒后，西周流传的《九章算术》经文散乱缺失。西汉时期，经过张苍与耿寿昌的编辑、校补，大体上形成了后世流传的《九章算术》的版本。

接着，刘徽陈述了他注释《九章算术》的两条主要原则。

其一，“事类相推，各有攸归”。《九章算术》是一部问题集，针对一些同类的问题，会设计一个算法，称之为“术”。这些“术”看起来似乎是孤立的，但是，就其数学本质而言，很多“术”的构造原理是相同的。例如，《九章算术》的很多算法，都是建立在“率”这个更基本的概念之下构造出来的。刘徽注的一个重要的贡献，是深刻地揭示了不同算法间所共同拥有的基本原理。

其二，“析理以辞，解体用图”。《九章算术》的所有“术”，基本上都是算法的陈述，没有给出这些“术”的构造原理或证明过程。刘徽针对几乎所有的重要的“术”，都采用逻辑语言与模型图解，补充给出了严格、清晰的推导或证明，如割圆术、开方术、阳马术等。

刘徽序言的最后一个部分，主要阐述了他自己在数学上的一个重要的创建，即“重差术”。为了说明“重差术”的应用，刘徽撰写了《重差》一卷，作为《九章算术》的第十卷，缀于“勾股”之后。唐代李淳风编辑《算经十书》时，将《重差》作为算经之一种独立成书，因《重差》的第一问是测算海岛的高远，因之命名为《海岛算经》。

昔在包牺氏始画八卦(1)，以通神明之德(2)，以类万物之情(3)，作九九之术(4)，以合六爻之变(5)。暨于黄帝神而化之(6)，引而伸之(7)，于是建历纪(8)，协律吕(9)，用稽道原(10)，然后两仪四象精微之气可得而效焉(11)。记称隶首作数(12)，其详未之闻也。按周公制礼而有九数(13)，九数之流，则《九章》是矣。

【注释】

(1)包（páo）牺氏：即伏羲氏，古代传说中的三皇之一，风姓。相传其始画八卦，又教民渔猎，取牺牲以供庖厨，因称庖牺。亦作“伏犠”“伏戏”。《周易·系辞下》：“古者包犠氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地……于是始作八卦。”包，通“庖”。八卦：《周易》中的八种具有象征意义的基本图形，每个图形用三个分别代表阳的“—”（阳爻）和代表阴的“--”（阴爻）符号组成。名称是：乾（☰）、坤（☷）、震（☳）、巽（☴）、坎（☵）、离（☲）、艮（☶）、兑（☱）。《易传》作者认为八卦主要象征天、地、雷、风、水、火、山、泽八种自然现象，并认为乾、坤两卦在八卦中占有特别重要的地位，是自然界和人类社会一切现象的最初根源。八卦中，乾与坤、震与巽、坎与离、艮与兑是四个矛盾对立的形态。传说周文王将八卦互相组合，又得六十四卦，用来象征自然现象和社会现象的发展变化。

(2)神明之德：即由神灵显示出的事物变化的规律或人应遵守的行为法则。神明，旧指神祇，也指人或物的精灵怪异。《左传·襄公十四年》：“爱之如父母，仰之如日月，敬之如神明，畏之如雷霆。”德，与道同为中国哲学的一对范畴。道，指事物运动变化所必须遵循的普遍规律或万物的本体；德，用作具体事物从“道”中所得的特殊规律或特殊性质。《礼记·曲礼上》：“道德仁义，非礼不成。”注：“道者通物之名，德者得理之称。”

(3)万物之情：指宇宙间一切事物的情状与势态。《周易·序》：“《易》之为书，卦爻彖象之义备而天地万物之情见。”万物，统指宇宙间的一切事物。《周易·乾》：“大哉乾元，万物资始。”情，情况，情态。

(4)九九之术：指乘除算法或泛指一般算法。九九，乘法口诀。古代是从“九九八十一”开始，故称“九九”。其起源甚早，至迟于春秋齐桓公时已有。李籍《九章算术音义》：“术者，有所述也。《前汉·梅福传》：‘臣闻齐桓之时有以九九见者，桓公不逆欲以致大也。’师古曰：‘九九算术若今《九章》《五曹》之辈。’《隋书·经籍志》：‘《九九章术》二卷，杨淑撰。’”《周髀算经·卷上》注曰：“九九者，乘除之原。”

(5)六爻之变：指六爻之变化或变动。爻，《周易》卦之画曰爻。六十四卦中，每卦六画，故称“六爻”。如乾卦之，坤卦之。《周易·系辞上》：“变化者，进退之象也。刚柔者，昼夜之象也。六爻之动，三极之道也。”又云：“彖者，言乎象者也。爻者，言乎变者也。”

(6)神而化之：使之变化得高深莫测。神，奇异莫测；异乎寻常。《周易·系辞上》：“阴阳不测之谓神。”韩康伯注：“神也者，变化之极妙万物而为言，不可以形诘者也。”

(7)引而伸之：使之延展推广。引，开弓。伸，展开；伸直。《周易·系辞上》：“引而伸之，触类而长之。”许慎《说文解字·叙》：“引而申之，以究万原。”

(8)历纪：一说是指日月运行轨道的分纪。《黄帝内经·素问·三部九候论》：“上应天光星辰历纪，下副四时五行贵贱。”注曰：“历纪谓日月行历法天，二十八宿三百六十五度之分纪也。”二说是指历数纲纪。《汉书·律历志上》：“故自殷周皆创业改制，咸正历纪，服色从之。”历，历法；推算岁时节候的方法。《大戴礼记·曾子天圆》：“圣人慎守日月之数，以察星辰之行，以序四时之顺逆，谓之历。”

(9)律吕：音乐术语，“六律”“六吕”的合称，即十二律。《汉书·律历志上》：“律十有二，阳六为律，阴六为吕。律以统气类物，一曰黄钟，二曰太族，三曰姑洗，四曰蕤宾，五曰夷则，六曰亡射。吕以旅阳宣气，一曰林钟，二曰南吕，三曰应钟，四曰大吕，五曰夹钟，六曰中吕。”

(10)稽：考核、查考。原：本原，根本。

(11)两仪：指天、地或阴阳。《周易·系辞上》：“是故易有太极，是生两仪。”孔颖达疏：“不言天地而言两仪者，指其物体；下与四象（金、木、水、火）相对，故曰两仪，谓两体容仪也。”四象：一说指春、夏、秋、冬四时；二说指水、火、木、金布于四方；三说指太阴、太阳、少阴、少阳。其说法不一。《周易·系辞上》：“两仪生四象，四象生八卦。”精微之气：指作为世界本原的精气。精微，精细隐微。《礼记·中庸》：“故君子尊德性而道问学，致广大而尽精微，极高明而道中庸。”气，中国哲学概念。通常指一种极细微的物质，是构成世界万物的本原。东汉王充《论衡·自然》：“天地合气，万物自生。”精气，中国哲学术语。《周易·系辞上》：“精气为物，游魂为变。”孔颖达疏：“云精气为物者，谓阴阳精灵之气，氤氲积聚而为万物也。”精气（有时单称“精”）“下生五谷，上为列星”，被一些学者认为是世界的本原（见《管子·内业》等篇）。东汉王充《论衡·论死》：“人之所以生者，精气也。”认为精气是构成人体的物质。

(12)隶首：人名，相传为黄帝之臣。《史记·历书》：“盖黄帝考定星历。”唐司马贞《索隐》：“按《系本》及《律历志》黄帝使羲和占日，常仪占月，臾区占星气，伶伦造律品，大桡作甲子，隶首作算数，容成综此六术而著《调历》也。”《系本》即《世本》，为先秦史料丛编。记三皇五帝至春秋间事，为先秦史官记录和保存的部分历史档案资料。约写定于战国末年，经秦汉人整理，记事亦延至秦及汉初。宋时已佚。隶首作数源于此书记载而为许多文献、典籍所辗转传抄。

(13)九数：西周国子学习的“六艺”之一。《周礼·地官司徒》：“保氏掌谏王恶。而养国子以道。乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五驭，五曰六书，六曰九数。”郑玄注引郑众云：“九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要。”即是说“六艺”中之“九数”，包括九个细目，与后来《九章》的九个章名相类。

【译文】

上古有包牺氏最早画八卦，用来通解神灵的道德，用来类推万物的情状，创作九九之术，用来符合六爻的变化。到了黄帝之时便神化之，引伸之，于是创建历纪，协调律吕，用以考核道之本原，然后两仪四象、精微之气可以取得证验。有记载说隶首作数，但它的详情却不得而知。按照周公创作《周礼》而有“九数”，这“九数”之流传，即是现今的《九章》。

往者暴秦焚书(1)，经术散坏(2)。自时厥后，汉北平侯张苍(3)、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世(4)。苍等因旧文之遗残，各称删补(5)。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。

【注释】

(1)暴秦焚书：秦始皇三十四年（前213），博士淳于越反对封建主义中央集权的郡县制，要求根据古制，分封子弟。丞相李斯加以驳斥，主张禁止儒生以古非今，以私学诽谤朝政。秦始皇采纳李斯的建议，下令：焚烧《秦记》以外的列国史记；对不属于博士官的私藏《诗》《书》和诸子百家书（除医药、卜筮、种树之书外）等一律限期烧毁；谈论《诗》《书》的处死；以古非今的灭族；禁止私学，欲学法令的以吏为师。这便是史称的“焚书”。

(2)经术：经学、儒术。《后汉书·儒林列传》：“及光武中兴，爱好经术，未及下车，而先访儒雅，采求阙文，补缀漏逸。”

(3)北平侯张苍：据《史记·张丞相列传》记载，张苍（？—前152），经历了秦汉两个朝代。“（苍）阳武人也，好书律历，秦时为御史，主柱下方书。”“明习天下图书计籍；又善用算律。”西汉王朝建立后，在汉高帝主持下，由萧何定律令，张苍定历法及度量衡程式。据《汉书》记载，张苍于汉高祖六年（前201）封北平侯，迁为计相。吕后八年（前180）为御史大夫，文帝四年（前176）为丞相。

(4)大司农中丞耿寿昌：耿寿昌在汉宣帝时期（前73—前49）为大司农。曾向宣帝提出“近籴漕关内之谷”的建议，并下令在边郡设立“常平仓”，宣帝下诏“赐爵关内侯”。他在天文学上主张浑天说，甘露二年（前52）他奏“以圆仪度日月行，考验天运状”。著有《月行帛图》二百三十二卷，《月行度》二卷，他精通数学，特别擅长关于工程方面的计算。曾主持建造杜陵。

(5)因旧文之遗残，各称（chèn）删补：根据遗留下来残缺的旧文，各自做适当的删补。因，依据。《商君书·更法》：“各当时而立法，因事而制礼。”称，适合；相符。

【译文】

往昔残暴的秦王朝焚书，致使经学著作散失、损坏。从此之后，汉代北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌都以擅长算术而闻名于世。张苍等人依据旧文的遗漏残缺的情况，各自适当地进行删补。所以校对其细目则与古代或许有不同之处，而所讲述的内容大多还是接近当时的用语。

徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂(1)，总算术之根源，探赜之暇(2)，遂悟其意。是以敢竭顽鲁(3)，采其所见，为之作注。事类相推，各有攸归；故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已(4)。又所析理以辞(5)，解体用图(6)，庶亦约而能周(7)，通而不黩(8)，览之者思过半矣(9)。且算在六艺，古者以宾兴贤能(10)，教习国子(11)。虽曰九数，其能穷纤入微(12)，探测无方(13)。至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共(14)，非特难为也。当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未必能综于此耳。

【注释】

(1)观阴阳之割裂：观察事物分裂成阴阳相对立的两个方面。阴阳，中国哲学的一对范畴。阴阳之原意指日光的向背，引申为气候的冷暖。古代思想家看到一切现象都有正反两方面，就用阴阳这个概念来解释自然界两种对立和相互消长的势力。《周易·系辞上》：“一阴一阳之谓道。”把阴阳交替看做宇宙的根本规律。割裂，割开；从整体中分割出若干部分。三国魏曹冏《六代论》：“割裂州国，分王子弟。”

(2)赜（zé）：幽深玄妙。《周易·系辞上》：“探赜索隐，钩深致远。”探赜索隐，探索幽深莫测，隐秘难见的道理。暇：空闲。此为余暇之意。

(3)敢竭顽鲁：刘徽的自谦之词，意即“勇于竭尽聪明才智”。竭，尽，用完。顽鲁，愚昧鲁钝。汉王符《潜夫论·考绩》：“群僚举士者，或以顽鲁应茂才，以桀逆应至孝……名实不相副，求贡不相称。”

(4)发其一端：发生于同一根源。端，开头，《孟子·公孙丑上》：“恻隐之心，仁之端也。”引申为缘由。又通耑。耑，发端。《说文解字》：“耑，物初生之题也。上象生形，下象其根也。”段玉裁注：“题者，额也。人体额为最上，物之初见，即其额也。古发端字作此，今则端行而耑废，乃多用耑为专矣。”

(5)析理以辞：用逻辑的判断来剖析算理。辞，我国古代逻辑名词，指命题（判断）。战国时后期墨家提出了“以辞抒意”的论点。荀子也提出了“辞也者，兼异实之名以论一意也”的说法，认为辞（判断）是结合两个不同的“实”的名（概念）来论断一个意义。

(6)解体用图：用图形来分解几何体。刘徽提出用逻辑推理与图形解析来阐明算法原理。图，用线条、颜色描绘的事物形象。体，几何学上具有长阔厚三度的形体。

(7)庶：幸而，希冀之词。亦：助词。约：简单，简略。周：周到，周密。

(8)黩：轻慢。

(9)思过半：大部分已领悟。《周易·系辞下》：“知者观其彖辞，则思过半矣。”

(10)宾兴：周代的举贤之法。乡大夫自乡小学荐举贤能而宾礼之，以升入国学。

(11)国子：公卿士大夫的子弟。

(12)纤：细小。微：细小，幽深。《周易·系辞下》：“君子知微知彰。”

(13)无方：犹无常，谓没有固定的方向、处所或范围。《周礼·春官·男巫》：“冬堂赠，无方无筭。”《注》曰：“无方，四方为可见。”《礼记·檀弓上》：“左右就养无方。”又《礼记·内则》：“博学无方。”

(14)规：校正圆形的用具。《诗经·小雅·沔水序》郑玄笺：“规者，正圆之器也。”引申指画圆。甲骨文中，规字写作，象征一手执规作画图的姿式。矩：古代画方形的用具，就是现在的曲尺。《周髀算经·卷上》：“圆出于方，方出于矩。”甲骨文矩写作匚，征象曲尺。度：计量长短的标准。《汉书·律历志上》：“度者，分、寸、尺、丈、引也。”量：计量多少的器具。《汉书·律历志上》：“量者，龠、合、升、斗、斛也，所以量多少也。”

【译文】

刘徽自幼学习《九章》，年长以后又仔细研读。观察阴阳的区分，概括算术的本源，在探讨幽深与玄妙之余，于是领悟其真谛。因此敢于竭尽愚昧鲁钝，搜集所见，为之作注解。事物按其类别相互推求，便各有所归属；所以枝条虽分而本干相同的，可知它们发生于同一根源。进而用文辞来分析其原理，用图形来解剖其结构，希望做到虽简约而能周全，既全面又不浮泛，使阅读者能领悟其大半。算术作为“六艺”之一，在古代以宾兴之法选拔贤才能人，教导贵族子弟。虽然称之为“九数”，它却既能穷尽纤毫之细微，又能探测无边无涯之辽阔。至于以现成的算法相传授，也就犹如规、矩、度、量众人都可以得到一样，并非特别难办的事。当今喜好算术的人太少，所以世上虽有很多通才达学之士，但未必能够治理于此道啊！

《周官》大司徒职(1)，夏至日中立八尺之表，其景尺有五寸，谓之地中(2)。说云：“南戴日下万五千里(3)。”夫云尔者，以术推之。

【注释】

(1)《周官》：又称《周官经》，即《周礼》。儒家经典。经古文学家认为周公所作，后人有所附会；经今文学家认为成书于战国，或以为西汉末刘歆所伪造；近参以周秦铜器铭文定为战国作品。其是搜集周王室官制和战国时代各国制度，添附儒家政治思想，增减排比而成的汇编。全书共有《天官冢宰》《地官司徒》《春官宗伯》《夏官司马》《秋官司寇》《冬官司空》等六篇。《冬官司空》早佚，汉时补以《考工记》。有东汉郑玄《周礼注》等。大司徒：官名。《周礼·地官》大司徒，主管教化的官，为六卿之一。职：执掌，主管。

(2)夏至日中立八尺之表，其景尺有五寸，谓之地中：夏至日正午立八尺标竿，其影长为一尺五寸，称为“地中”。夏至，二十四节气之一。每年6月22日前后太阳到达黄经90°（夏至点）开始。崔灵恩《三礼义宗》：“夏至为中者，至有三义：一以明阳气之至极，二以明阴气之始至，三以明日行之北至。故谓之至。”此日阳光几乎直射北回归线，北半球白昼最长。日中，正午。表，测量日影的标竿。景，影的本字。地中，大地的正中。孙诒让《周礼正义》：“地中者，为四方九服之中也。”

(3)说云：指郑玄《周礼注》中文字。南戴日下万五千里：南戴日下距离地中一万五千里。南戴日下，地面中央之南正值日下之处，即指太阳在地平面上的垂直投影点。戴日，值日之下。《尔雅·释地》：“岠齐州以南，戴日为丹穴。”

【译文】

《周官》大司徒之职记载，夏至日正午立8尺长的标竿，它的影长1尺5寸，称之为“地中”。其注称：“南戴日下距离地中一万五千里。”其所以这样说，是用算法推求的。

按《九章》立四表望远及因木望山之术(1)，皆端旁互见(2)，无有超邈若斯之类。然则苍等为术犹未足以博尽群数也。徽寻九数有重差之名(3)，原其指趣乃所以施于此也。凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差(4)，勾股则必以重差为率，故曰重差也(5)。立两表于洛阳之城，令高八尺。南北各尽平地，同日度其正中之景(6)。以景差为法，表高乘表间为实，实如法而一，所得加表高，即日去地也(7)。以南表之景乘表间为实，实如法而一，即为从南表至南戴日下也(8)。以南戴日下及日去地为勾、股，为之求弦，即日去人也。以径寸之筒南望日，日满筒空，则定筒之长短以为股率，以筒径为勾率，日去人之数为大股，大股之勾即日径也(9)。

【注释】

(1)立四表望远：指《九章算术》卷九勾股第[9-22]题立四表测量木之远近的算法。因木望山：指卷九勾股第[9-23]题依靠大树测量山高的算法。

(2)端：正。旁：偏，邪。端与旁相对，表示地面上位于高处之观测目标的正下方和邪下方的两点，它们分别是目标在地面上之正投影和观测点。如因木望山中的“山脚”即是所谓的“端”；而“树根”处即是所谓的“旁”。互见，互相遇见。此作互相连通解，即可以测量距离。如因木望山题可测得山去木53里。

(3)九数：古算法名。汉郑玄《周礼·地官司徒·保氏》九数注引汉郑众《周礼注》：“九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要；今有重差、夕桀、钩股。”重差：重测取差之意，即重复地进行勾股测量，取两次观测对应之差为比率来进行推算。详见下文刘徽对重差的解释。

(4)望：向远处看。此作观测解。极高：高之至极。绝深：深之至极。此种高度或深度的测量，无法直接度量观测目标在地面上的投影至观测点的水平距离。换句话说，在观测中推算高或深的同时，还要推求目标的远近。故云“而兼知其远者”。知，使人知道的意思。对于这类端旁不能互见，在求高深的同时兼求远近的问题，就必须使用重差术。

(5)勾股则必以重差为率，故曰重差也：其勾股则必取重差作为比率，所以称之为“重差”。重差术是由简单勾股测量的旁要术发展而来的。如因木望山，即旁要的典型，其推算之理论根据是，

勾∶股=勾率∶股率

而重差则不同，代替勾或股而考虑其前后观测之差，即依据

前后勾之差：股=勾差率∶股率

(6)正中之景：即表在正午之日影。正中，谓日当天之中，指正午时分。《淮南子·天文训》：“（日）至于昆吾，是谓正中……至于悲谷，是谓餔时。”

(7)以景差为法，表高乘表间为实，实如法而一，所得加表高，即日去地：如图0-1所示，在水平地面上立南北两表，以观测正午之日影。景差，即南北表影之差。法，除数。表间，南北两表之间隔（距离）。实，被除数。实如法而一，用除数去除被除数。日去地，即太阳到地面之距离。此即给出计算日去地的公式：

其中，以（日去地-表高）为股，以表高为股率。以日下至南表为前勾，则南表景为前勾率；以日下至北表为后勾，则北表景为后勾率。于是表间即为前后勾之差，而景差即为勾差率。于是

前后勾之差∶股=勾差率∶股率

即是

表间∶（日去地-表高）=（北表景-南表景）∶表高

它表明日高公式的“重差”之涵义：“则勾股必以重差为率。”

(8)以南表之景乘表间为实，实如法而一，即为从南表至南戴日下也：此给出南表至南戴日下计算公式：

(9)以径寸之筒南望日，日满筒空，则定筒之长短以为股率，以筒径为勾率，日去人之数为大股，大股之勾即日径也：由重差术得日高及南戴日下，据勾股定理，可得人去日

再用竹筒观日，便可计算日径，如图0-2所示

【译文】

按《九章算术》中的“立四表望远”及“因木望山”之类的算法，都是端旁之点可以直接测量的情形，而没有像测量日之高远这样超远而渺茫的一类测算方法，如此看来张苍等人的造术也未能广博到包罗无遗的程度。刘徽探求“九数”中有重差的名目，推究其宗旨乃是为了应用于此。凡是观测极高、测量绝深而兼求其远的，必用“重差”算法，其勾股则必取重差作为比率，所以称之为“重差”。在洛阳城立南北二标竿，其高皆为8尺。假设南北二标竿在同一地平面上，在同一天日中正午时度量日影。取影差作为除数，表高乘表间作为被除数，所得之商加表高，即是“日去地”之数。若用南表的影长乘表间作为被除数（除数同上），用除数去除被除数，即是从南表到南戴日下的距离。以南戴日下及日去地分别作为勾、股两边，而求对应的弦，即得“日去人”之数。取直径为一寸的竹筒向南观测太阳，筒孔正好被太阳所充满，则规定筒之长度为股率，取筒的直径为勾率，日去人之数作为大股，而大股所对应的勾就是太阳的直径。

虽夫圆穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉！徽以为今之史籍且略举天地之物，考论厥数，载之于志，以阐世术之美。辄造《重差》，并为注解，以究古人之意，缀于勾股之下(1)。度高者重表；测深者累矩；孤离者三望；离而又旁求者四望(2)。触类而长之(3)，则虽幽遐诡伏，靡所不入。博物君子，详而览焉。

【注释】

(1)辄造《重差》，并为注解，以究古人之意，缀于勾股之下：即刘徽编撰《重差》一卷，并附有注释，阐述古人之原意，列于《九章算术》末卷勾股章之后，以弥补《九章算术》之不足。唐初将《重差》另本单行，遂称《海岛算经》。辄，即。

(2)度高者重表；测深者累矩；孤离者三望；离而又旁求者四望：刘徽将《海岛》九问概括为四种类型。测“无远之高”用重表法，如望海岛；测“无广之深”用累矩法，如望深谷。重表与累矩皆只需测望两次。如果观测目标无所依傍，孤离无着，就必须观测三次，如望松生山上；要是观测目标不仅孤离无着，而且需旁求他处，就必须观测四次，如岸望清渊。

(3)触类而长之：触类旁通，引而申之。语出《周易·系辞上》：“引而申之，触类而长之。”触类，触逢同类。长之，使之增长、推广之意。

【译文】

天之圆穹尚且说可以度量，又何况泰山之高及江河之广呢！刘徽依据现今的史籍并略举天地间之实物为例，考证与辨析其数理，而述诸于文字，以阐发世人所造算法之美妙。于是创作《重差》，并作注解，以探讨古人之原意，补充在勾股章之下。欲度量高度者用重表法；测量深度者用累矩法；被观测物“孤离”无着者须观测三次；孤离而又旁求者须观测四次。触类旁通，引而申之，那么即使幽深遥远而又奇异隐蔽的目标，也没有不能测算的。博学多识之士，当详加审读。