第二节 函数的定义

一个变量代表一个可以用数字表示的现象，即现象的一个数量特征，例如温度、时间等.以圆的度量问题为例，圆的面积S和圆的半径r分别是圆的不同数量特征，为不同的变量，其中一个变量值的获取很容易，用皮尺就可以了，但另一个变量值的获取就很难.长期的科学探索告诉我们这两个变量之间有个关系S=πr2，想要知道圆的面积只需测量圆的半径即可.

探索变量间的关系是科学研究的基础，这也是现代信息技术的基本原理.函数按照自变量的多少可以分为一元函数和多元函数，本课程主要学习一元函数.

一、一元函数的定义

定义函数是数集与数集间特殊的关系，即两个数集A，B间的关系，它的特殊在于这个关系对于集合A中的每一个元素，在集合B中只能找到一个元素与之对应.

另一种方式的定义：x是一个在数集A中取值的变量，y是一个在数集B中取值的变量，函数是一个从变量x到变量y的对应法则ƒ，在这个对应法则下，对于变量x在数集A中取的每一个数，都可以找到变量y的唯一一个数与之对应，这个对应法则就称为一个函数.通常函数用ƒ来表示，即ƒ：x→y[y=ƒ（x）]，记作y=ƒ（x），读作“变量x在函数ƒ作用下的对应变量y”.其中变量x称为自变量，它的取值范围A称为函数ƒ的定义域，变量y称为因变量，它的取值范围B称为函数ƒ的值域，y₀=ƒ（x₀）称为x=x₀时的函数值.

（有些书中也考虑多值函数，为了运算方便，本书只考虑单值函数，大多数数学运算的结果是单值的）

例1 对应法则（加倍）：ƒ：x→2x表示为y=2x，是一个函数，函数的定义域是R，函数的值域也是R.当变量x在R中取一个数，例如x=2，在这个函数关系下，对应的是4，即4=2×2，4就是函数在x=2时的函数值.

例2 对应法则（平方）：ƒ：x→x2，是一个函数，因为对每一个x，对应的数只有一个y=x2.

例3 开方关系：是正实数集到实数集上的对应关系，这个关系就不是一个函数，因为与正实数对应的实数不是唯一的，在本书中不将其认定为一个函数关系.

例4 x=2就不是一个对应法则，习惯上把它看成是变量的一个取值，而不是一个对应关系，所以就不是一个函数.

例5 y=2可以看成是对应法则ƒ：x→2，是一个函数，函数的定义域是R，值域是只有一个数2的数集，它对于每个实数x的值都是2，即ƒ（x）=2.这个函数称为常值函数.

变量x是一个自主变化的变量，称为自变量，常用小写字母x，s，t等表示，变量y是在对应法则ƒ下随变量x变化的变量，称为因变量，有时会用对应关系ƒ（x）表示，符号ƒ指的是函数，为了区分不同的函数有时也会用其他符号表示，例如g（x），u（x），v（x）等，函数x2表示变量x在对应法则（　）2作用下对应的新变量.

由函数的定义可以看出，确定一个函数有两个因素：一个是变量x的变化范围，即定义域；一个是函数的对应关系.例如函数y=x2与函数y=t2表示的是同一个函数关系，即平方关系.

二、函数的表示方法

1.公式法（也称解析式，在数学和其他科学研究中常用的方法）

就是用在中学学习过的各种数学解析式来表示函数，如函数

通常用y=ƒ（x）来表示一个函数，并且将函数作为一个变量进行运算，初等运算的结果大多是单值的，所以函数的加减乘除会得到新的函数.

解析式中蕴含着函数关系、函数的定义域、值域等信息，在这门学科中主要使用公式法表示函数.

用y=ƒ（x）来表示的函数称为显函数，它的特点就是对应关系很明确，等式的左边就是因变量，等式的右边是一个关于自变量的运算公式；此外还可以根据方程F（x，y）=0得到函数，这种函数有时可以经过运算将y解出，例如圆的方程x2+y2=1可以解出一个函数，但是大多数情况下，根据函数定义，可以判断方程F（x，y）=0包含一个函数，但是解出y会遇到困难，这时不用解出y，而是将方程F（x，y）=0蕴含的函数称为隐函数，此时假设y=ƒ（x）是方程所表示的函数，将其代入方程，会得到一个恒等式F（x，ƒ（x））=0；这个恒等式在函数y=ƒ（x）的定义域中恒成立.

2.图像法

几何直观是理解数学思想的好方法，直观的理解函数就是平面上的一条曲线，也可以把它理解为动点的轨迹，函数y=ƒ（x）作为二维空间（平面）上的曲线就是平面上的点集（x，ƒ（x））（x∈D）其中D为函数的定义域.将函数绘制在平面直角坐标系上即为函数的图像法.

例如，对应法则（加倍）：ƒ：x→2x（y=2x），可以用平面直角坐标系表示这个函数{（x.2x）|x∈R}（如图1-1所示）.

函数的图像法可以直观地将函数关系表示在平面直角坐标系中，有时并不知道函数公式表达，但可以将在实践中获得的部分对应数据描绘在平面直角坐标系中，经济学的研究中经常使用这种方法.

例6 经济学中经常研究两种商品，比如黄油（单位：百万磅）和大炮（单位：千门），由于社会资源的有限性，不可能无限制地生产这两种产品，这就有能够生产这两种商品的可能性列表，如表1-1所示.

图1-1

表1-1

图1-2

将每个组合作为平面直角坐标系上的点，描在平面直角坐标系上，就可以获得一条曲线（如图1-2所示），叫生产可能性曲线，是一个函数，注意这条曲线是凸向原点的，这不是偶然的.

函数的几何表示可以让我们对函数有一个直观地认识，对基本概念的理解更深刻，希望读者记住基本函数关系的曲线.

一些函数可以在平面直角坐标系上描出一条曲线（有些函数在平面直角坐标系上描不出曲线），但并不是每条曲线都可以用一个函数表示.还有一个唯一性的限制，直观地，用一条平行于y轴的直线，如果它与曲线最多只有一个交点，就可以断定这个曲线代表一个函数，只是这个函数的解析式未知.

3.表格法

最初获得数据的方法都是通过观察和测量，这样得到的数据是零散和不连续的，将这些零散的数据按照一定的顺序（最早大多是时间顺序）排列成表，就是表格法.表格法就是将在实践中获得的数据罗列在一个表格中，这种表示方法不是很直观，不利于分析，通常将它与图像法配合使用.

例7 经济学中常用的两个函数供给函数和需求函数.

表1-2 小麦的需求表

表1-3 小麦的供给表

图1-3

图1-4

曲线的变化指的是函数的变化，例如需求变化了（收入增多了），需求曲线会向右边移动（需求的变化是曲线的移动）.

将两条曲线叠加在一起（如图1-5所示），就可以解决一个经济学中的问题——供给与需求的均衡问题，此时有一个均衡价格，在此价格水平上厂商愿意供给的商品数量和居民愿意消费的商品数量正好相等.在函数的认识过程中，最初获得的实验数据，往往是离散的，我们把这种数据描绘在平面直角坐标系上，可以看出变量间的函数关系，进一步模拟出函数解析式.

一元微积分学习的是在已知函数解析式的基础上，处理和分析函数运动变化的方法.

图1-5

三、函数的定义域

可以用公式表示的函数大多来自于中学学习的数学运算，函数的定义域是函数自变量允许变化的数的范围，在数学中我们是根据数学运算所允许的数来确定的.

数学运算中变量允许变化的四种情况如下：

①分母不能为零：

②负数不能开偶次方根：

③对数的真数为正数：log_aP（x），a＞0且a≠1，P（x）＞0；

④正弦函数和余弦函数的反函数，其自变量在[-1，1]之间取值：

arcsin U（x），arccos V（x）；-1≤U（x）≤1，-1≤V（x）≤1.

函数定义域的确定只需按照以上规则即可.

例8 函数，数的运算中不允许分母为零，所以这个函数的定义域是所有-2的实数组成的集合；

函数，数的运算不允许负数开根号，所以这个函数的定义域是所有x≥-1的实数组成的集合；

函数，数的运算不允许负数开根号且数的运算中也不允许分母为零，所以这个函数的定义域是所有x＞-1的实数组成的集合；

函数，定义域为R.

在社会科学领域通常得到的数据大多为离散型（变量），在研究问题时会把它们连续化，例如例7的需求和供给两个变量，而且这些变量会有实际的意义，在考虑函数的定义域时是以变量的实际变化范围确定的.

例9 厂商每日的总成本C为其日产出Q的函数：C=150+7Q.该厂商日最大产出为100单位，成本函数的定义域和值域分别是什么？

解：因为产量只能在0到100之间变化，所以定义域为{Q|0≤Q≤100}.

当产量为零时，工厂仍然有成本150；当产量为100单位时，有最大成本850；所以成本函数的值域为{C|150≤C≤850}.

四、值域、函数值

函数的值域是函数所有可能取值的全体，同样在数学这门学科中值域是因变量y的所有取值的全体.在经济学中值域是因变量y的所有有意义的数的全体，例如上面的例9.

函数值是自变量具体取到某一个数时所对应的因变量值.

例如，当价格是2时，小麦的需求量是15，那么15就是需求函数在价格为2时的函数值.

对用解析式表示的函数y=ƒ（x），可以根据自变量的取值计算出隐变量的值：当x=x₀时，y₀=ƒ（x₀）.

函数是一个对应关系ƒ，在ƒ的作用下，它可以把一个变量对应为另一个变量；

例如函数

那么

在后边复合函数再讨论.

五、函数模型的建立与分段函数

寻求函数的解析式可以使我们充分利用数学的思想和方法去处理变量与变量间的关系，但是函数的解析式的获得并不容易，凝结了科学家们多年辛苦劳动的结果，例如牛顿定律F=ma.自由落体运动等.以个人所得税为例，建立一个函数关系，假设个人的劳动所得为变量x，应纳税额为变量y，“十一届全国人大常委会第二十次会议20日审议个人所得税法修正案草案.草案拟将现行工薪所得9级超额累进税率修改为7级，取消15%和40%两档税率，扩大5%和10%两个低档税率的适用范围.”

调整后的7级超额累进税率如下：

1.全月应纳税额不超过1 500元的，税率为5%；

2.全月应纳税额超过1 500元至4 500元的部分，税率为10%；

3.全月应纳税额超过4 500元至9 000元的部分，税率为20%；

4.全月应纳税额超过9 000元至35 000元的部分，税率为25%；

5.全月应纳税额超过35 000元至55 000元的部分，税率为30%；

6.全月应纳税额超过55 000元至80 000元的部分，税率为35%；

7.全月应纳税额超过80 000元的部分，税率为45%.

假设免税额为3 000元，那么按照以上调整后的税率，函数关系如下：

可以看出，我国的个税制度比较复杂，采用了累进制，如果某人月收入为10 000元，那么他的应纳税额ƒ（10 000）=875（元）.

这个函数采用了分段的方式来表示一个函数，分段的标准是函数的定义域.因此，要计算函数值，只需在函数的定义域中查出函数自变量变化的范围，依照定义的公式，就可以算出相应的函数值.