36．eig函数

假设A是一个n×n的矩阵，A的特征值问题就是找到下面方程组的解：

A·V＝λ·V

其中，λ为标量，V为向量，如果把矩阵A的n个特征值放在矩阵P的对角线上，相应的特征向量按照与特征值对应的顺序排列，作为矩阵V的列，特征值问题可以改为：

A·V＝V·D

如果V为非奇异的，该问题可以认为是一个特征值分解的问题。此时关系如下：

A＝V·D·V－1

广义特征值问题是指方程A·x＝λ·B·x的非平凡解，其中A、B都是n×n的矩阵，λ为标量。满足此方程的λ为广义特征值，对应的向量x为广义特征向量。

如果X是一个列向量为a的特征向量的矩阵，并且它的秩为n，那么特征向量线性无关。如果不是这样，则称矩阵为缺陷矩阵。如果X·X′＝I，则特征向量正交，这对于对称矩阵是成立的。

在MATLAB中，利用eig函数可求矩阵特征值与特征向量。函数的语法格式为：

e＝eig（A）：返回一个列向量，其中包含方阵A的特征值。

[V，D]＝eig（A）：返回特征值的对角矩阵D和矩阵V，其列是对应的右特征向量，使得A∗V＝V∗D。

[V，D，W]＝eig（A）：还返回满矩阵W，其列是对应的左特征向量，使得W'∗A＝D∗W'。

特征值问题是用来确定方程Av＝λv的解，其中，A是n×n矩阵，v是长度为n的列向量，λ是标量。满足方程的λ的值即特征值。满足方程的v的对应值即右特征向量。左特征向量w满足方程w'A＝λw'。

e＝eig（A，B）：返回一个列向量，其中包含方阵A和B的广义特征值。

[V，D]＝eig（A，B）：返回广义特征值的对角矩阵D和满矩阵V，其列是对应的右特征向量，使得A∗V＝B∗V∗D。

[V，D，W]＝eig（A，B）：还返回满矩阵W，其列是对应的左特征向量，使得W'∗A＝D∗W'∗B。

广义特征值问题是用来确定方程Av＝λBv的解，其中，A和B是n×n矩阵，v是长度为n的列向量，λ是标量。满足方程的λ值即广义特征值。对应的v值即广义右特征向量。左特征向量w满足方程w'A＝λw'B。

[___]＝eig（A，balanceOption）：其中，balanceOption为'nobalance'表示禁用该算法中的初始均衡步骤。balanceOption的默认值是'balance'，表示启用均衡步骤。eig函数可以返回先前语法中的任何输出参数。

[___]＝eig（A，B，algorithm）：其中，algorithm为'chol'表示使用B的Cholesky分解计算广义特征值。algorithm的默认值取决于A和B的属性，但通常是'qz'，表示使用QZ算法。

如果A为Hermitian并且B为Hermitian正定矩阵，则algorithm的默认值为'chol'。

[___]＝eig（____，eigvalOption）：使用先前语法中的任何输入或输出以eigvalOption指定的形式返回特征值。将eigvalOption指定为'vector'可返回列向量中的特征值，指定为'matrix'可返回对角矩阵中的特征值。

【例1-39】求矩阵排序的特征值和特征向量。

默认情况下，eig并不总是返回已排序的特征值和特征向量。可以使用sort函数将特征值按升序排序，并重新排序相应的特征向量。

A的特征值位于D的对角线上。但是，特征值并未排序。使用diag（D）从D的对角线上提取特征值，然后按升序对得到的向量进行排序。sort的第二个输出返回索引的置换向量。

使用ind对D的对角线元素进行重新排序。由于D中的特征值对应于V的各列中的特征向量，因此还必须使用相同的索引对V的列进行重新排序。

（V，D）和（Vs，Ds）都会生成A的特征值分解。A∗V－V∗D和A∗Vs－Vs∗Ds的结果一致（基于舍入误差）。