50．lsqr函数

在MATLAB中，提供了lsqr函数实现LSQR方法。函数的语法格式为：

x＝lsqr（A，b）：针对x对线性方程组A∗x＝b求解，否则将计算使得norm（b－A∗x）为x的最小二乘解。m×n系数矩阵A无须为方阵，但应为大型稀疏矩阵。列向量b必须具有长度m。可以将A指定为函数句柄afun，这样afun（x，'notransp'）将返回A∗x，afun（x，'transp'）将返回A'∗x。

如果lsqr收敛，则会显示一条有关该结果的消息。如果lsqr无法在达到最大迭代次数后收敛或出于任何原因暂停，则会输出一条显示相对残差norm（b－A∗x）/norm（b）以及该方法停止或失败时所达到的迭代数的警告消息。

lsqr（A，b，tol）：指定该方法的容差。如果tol为[]，lsqr使用默认值1e－6。

lsqr（A，b，tol，maxit）：指定最大迭代次数。

lsqr（A，b，tol，maxit，M）和lsqr（A，b，tol，maxit，M1，M2）：使用n×n预设子条件M或M＝M1∗M2，并高效求解关于y的方程组A∗inv（M）∗y＝b，其中y＝M∗x。如果M为[]，lsqr不会应用预设子条件。M可以是函数mfun，这样mfun（x，'notransp'）返回M\x，mfun（x，'transp'）返回M'\x。

lsqr（A，b，tol，maxit，M1，M2，x0）：指定n×1初始估计解。如果x0为[]，lsqr使用默认值（即全部为零的向量）。

[x，flag]＝lsqr（A，b，tol，maxit，M1，M2，x0）：也返回一个收敛标志，其取值及含义见表1-1。

如果flag不为0，返回的解x具有在所有迭代中最小的范数残差。如果指定flag输出，将不会显示任何消息。

[x，flag，relres]＝lsqr（A，b，tol，maxit，M1，M2，x0）：还返回相对残差norm（b－A∗x）/norm（b）的估计值。如果flag为0，relres≤tol。

[x，flag，relres，iter]＝lsqr（A，b，tol，maxit，M1，M2，x0）：还返回计算x时所达到的迭代数，其中0≤iter≤maxit。

[x，flag，relres，iter，resvec]＝lsqr（A，b，tol，maxit，M1，M2，x0）：还返回每次迭代中的残差范数估计值的向量（包括norm（b－A∗x0））。

[x，flag，relres，iter，resvec，lsvec]＝lsqr（A，b，tol，maxit，M1，M2，x0）：还返回每次迭代中的缩放标准方程残差的估计值向量：norm（（A∗inv（M））'∗（B－A∗X））/norm（A∗inv（M），'fro'）。请注意，norm（A∗inv（M），'fro'）的估计值在每次迭代中都会改变，可以进行改进。

【例1-51】本示例演示如何使用带有矩阵输入的lsqr。

运行程序，输出如下：

     lsqr在解的迭代11处收敛,并且相对残差为3e-09。