1.2　区间长度

例1　定义：区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2-x1，已知函数的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________。

【解析】

由y=0得1∈[a，b]，得或x=4。

当时，1≤b≤4；当b=4时，。

当时，区间长度最小为；当时，区间长度最大为。

故区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为。

简要评注

本题的实质是研究定义域与值域的关系：在值域一定的情况下，研究定义域的自由度。上述解答中，当时，1≤b≤4；当b=4时，，不易理解。若借助网络画板动态演示在[a，b]上的图像，更利于理解定义域与值域的关系。

动感体验

编号：174879

扫描二维码，打开课件，如图1.2.1、图1.2.2所示，红色、蓝色实线分别为函数在x∈[a，b]，x∈(0，+∞)的图像，黑色虚线为直线y=2，拖动变量a，b的滑杆或拖动x轴上的点a，b可以改变实数a，b的值，从而改变函数在[a，b]上的图像，探究红色实线上点的纵坐标在区间[0，2]上的条件。

例2　定义区间长度m为这样的一个量：m的大小为区间右端点的值减去区间左端点的值。若关于x的不等式x2-2ax-3a<0有解，且解集的区间长度不超过4个单位长，则a的取值范围是________。

【解析】

因为关于x的不等式x2-2ax-3a<0有解，所以Δ=4a2+12a>0，解得a>0或a<-3，由x2-2ax-3a=0解得，由x1<x2得不等式解集为(x1，x2)。

又解集的区间长度不超过4个单位长，则，解得-4≤a≤1。因为a>0或a<-3，所以-4≤a<-3或0<a≤1。

简要评注

方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标，方程的解区间长度是其图像与x轴两交点间的距离。若利用网络画板动态演示函数y=x2-2ax-3a的图像，能更直观地理解不等式x2-2ax-3a<0的解区间的意义。

动感体验

编号：176786

扫描二维码，打开课件，如图1.2.3、图1.2.4所示，黑色实线、蓝色虚线分别为函数y=x2-2ax-3a的图像及其对称轴，拖动变量a，b的滑杆或x轴上的红色点改变实数a的值，考察不等式x2-2ax-3a<0的解，理解解集的区间长度的含义。

不等式x2-2ax-3a<0解集的区间端点即为方程x2-2ax-3a=0的解x1，x2，则，解得-4≤a<-3或-0<a≤1。

例3　定义区间(m，n)，[m，n]，(m，n]，[m，n)的长度均为n-m，其中n>m，已知关于x的不等式，x∈[0，π]的解集构成的各区间的长度和大于，求实数b的取值范围。

【解析】

由题意可知。

设，原不等式等价于，x∈[0，π]，因为函数f(x)的周期为π，[0，π]的长度恰好为函数的一个正周期，由不等式解集构成的各区间的长度和大于，得，故实数b的取值范围为。

简要评注

本题为简单的三角不等式问题，上述解答看似简洁，但不等式难以理解，若能借助网络画板动态演示函数的图像与直线的关系，则更利于问题的解答。

动感体验

编号：176791

扫描二维码，打开课件，如图1.2.5、图1.2.6所示，黑色实线、蓝色实线分别为函数y=的图像，拖动变量b的滑杆或y轴上的蓝色点改变实数b的值，观察两函数图像交点的特征，探究两函数图像交点间距离大于的条件。

由图1.2.5、图1.2.6可知，当时，两交点关于直线对称，只需，即可满足题目条件，可得，即，解得。

又当时，由图像知满足条件，故实数b的取值范围为。

练习1　函数y=sinx的定义域为(a，b]，值域为，则b-a的最大值是（　　）。

A．π

B．2π

C．

D．

编号：174881

答案：C

练习2（2009江西）　若不等式的解集为区间[a，b]，且b-a=2，则k=________。

编号：175821

答案：

练习3　若关于x的不等式2ax2-12x-3>0的解集构成的区间的长度为，求实数a的值。

编号：176797

答案：-2

练习4　设函数f(x)=ax-(1+a2)x2(a>0)，区间I={x|f(x)>0}，定义区间(α，β)的长度为β-α。

（1）求区间I的长度H(a)（用a表示）；

（2）若a∈[3，4]，求H(a)的最大值。

编号：176800

答案：（1）；（2）