2.2.1　线性空间

线性空间也称为向量空间。这里空间的概念是用来限定所取数值的范围的。为了准确地理解线性空间，我们先来看数环与数域的概念。

2.2.1.1　数环与数域

下面是一些基本概念的非标准化定义。

●　封闭性：是指对集合中任意两个元素进行指定运算操作的结果仍属于该集合。

●　数环：满足加、减、乘法封闭性的数集。

●　数域：至少包含两个互异数，并且对于四则运算都封闭的数集。

常见的数环与数域如下：

●　全体整数组成一个数环。

●　全体有理数组成一个数域，并且是最小的数域，叫作有理数域，记为。

●　全体实数组成一个数域，叫作实数域，记为。

●　全体复数组成一个数域，叫作复数域，记为。

2.2.1.2　线性空间

线性空间是线性代数中n维向量空间概念的抽象和推广。

n维向量空间表示为：

其中，向量是有序数组。

我们知道n维向量空间对加法与数乘（数与向量的乘法）运算是封闭的，并且满足交换律、结合律、分配律、数因子分配律、数因子结合律、乘1不变，且存在零向量，存在负向量。

对于线性空间，我们要研究的集合已经远远超出n维向量空间的范围，集合中的元素不一定是有序数组，但集合中元素的加法以及数乘运算仍旧具有的性质。

定义　设V是一个非空集合，P是一个数域，如果V满足加法封闭性和数乘（P中的数与V中的元素相乘）封闭性，并且满足加法交换律、加法结合律、数乘分配率、数因子分配率、结合律、乘1不变、存在零元素、存在负元素这8条性质，1为数域P的单位数，我们就说V是数域P上的线性空间。

当P为实数域时，称V为实线性空间；当P为复数域时，称V为复线性空间。

通常，我们把V中满足8条性质且为封闭的加法及数乘两种运算，统称为线性运算。凡是定义了线性运算的集合，均称为线性空间。因此，线性运算是线性空间的本质，它反映了集合中元素之间的某种代数结构，当我们仅研究集合的代数结构时，便抽象出线性空间的概念。

例如，系数为实数，次数不超过n的一元多项式全体（含0）

是一个实数域上的线性空间。

例如，容易验证，所有n阶矩阵的集合也是实数域上的线性空间，称为矩阵空间。

例如，平面上全体向量组成的集合，定义通常意义下的向量加法和这种数乘，就不构成线性空间。因为不满足“乘1不变”性质。

一般来说，同一个集合若定义了两种不同的线性运算，就构成不同的线性空间；若定义的运算不是线性运算，就不能构成线性空间。所以，线性空间的概念是集合与运算两者的结合。

下面列出线性空间中常见基本概念的定义。

1．零空间　只含一个元素的线性空间。显然，我们很容易证明，这个元素便是零元素。

2．线性组合　V是数域P上的线性空间，为线性空间V中的一组向量，是数域P中的数，向量称为向量的一个线性组合，也称向量可用向量组线性表示。

3．线性相关　若不全为零，且使得，则称线性相关；否则，称其为线性无关。

4．基（基底）　向量线性无关，且V中的任意向量均可由线性表示，则称为V的一组基底，并称为基向量。

5．维数　线性空间V的基向量所含向量的个数n，记为dim V = n，称 V为n维线性空间，记。

（1）零空间的维数是0。

（2）若把复数域看成自身的线性空间，数1就是一组基，那么它是一维的。

（3）若把看作实数域，数1, i就是一组基，那么它是二维的。

6．无限维线性空间　在V中可以找到任意多个线性无关向量。

实系数多项式的集合（幂级数为向量）为：

7．的自然基　它们线性无关，且中的任意向量都可以由这组基表示。

8．坐标　是线性空间的一组基，对任一向量，有且仅有一组有序数使，这组有序数称为向量在这组基下的坐标，记或。

9．过渡矩阵　两组基底之间变换的乘积矩阵。

（1）假设及是中的两组基，且，则称为由基变换到基的过渡矩阵。

（2）由于线性无关，故过渡矩阵可逆。

10．坐标变换公式　不同基底下的坐标之间进行变换的乘积矩阵。

设在前述两组基下的坐标分别为，则公式称为在基变换式下向量的坐标变换公式。

11．线性子空间　是数域P上的线性空间V的一个子集，若对已有的加法及数乘运算也构成线性空间，则称其为线性子空间，简称子空间，记作当，记作。

（1）每个线性空间至少有两个子空间，一个是自身，另一个是由零向量构成的零子空间。以上两个子空间称为平凡子空间。其他子空间称为非平凡子空间（或真子空间）。

（2）因为线性子空间中的线性无关向量不可能比整体空间的更多，所以，任一线性子空间的维数都不会超过整体的维数，即。

（3）设，齐次线性方程组的全部解向量构成n维线性空间的一个子空间。这个子空间称为齐次线性方程组的解空间，记为或。因为解空间的基就是齐次线性方程组的基础解系，所以。

12．生成子空间　是线性空间V中的一组向量，则这组向量的线性组合的集合是非空的且对V的线性运算封闭，这个子空间称为由生成的子空间，记