1.2　经典控制系统的性能极限问题描述

系统性能极限分析是控制系统性能研究的一个重要方面。反馈控制系统的性能极限在经典和现代控制理论中一直是一个值得研究的课题。所谓控制系统性能极限，是指由被控系统的固有结构特征决定的控制系统所能达到的最优性能值。简单地说，就是不管我们采用什么样的线性控制器，系统的性能都不可能超越由系统结构本质特征决定的某个性能极限值，这一点，为控制系统的实际设计提供理论指导。系统的性能极限包括跟踪性能极限和调节性能极限。系统调节性能极限与跟踪性能极限问题类似，下面重点介绍系统的跟踪性能极限问题。

常见的跟踪信号类型包括确定型信号和随机信号，跟踪性能的优劣主要通过系统输出值是否能有效跟踪输入信号来衡量，系统的性能指标一般采用系统输出与输入信号的跟踪误差信号的能量来描述。

常用的控制结构包括单参数控制器结构和双参数控制器结构。

单参数（或称“单自由度”）控制系统结构具体形式如图1.1所示。其中，G为被控对象，K为单参数控制器，r、u和y分别为控制系统的参考输入信号、系统控制输入信号和系统输出信号。系统的跟踪误差信号则为e=r−y。

双参数（或称“双自由度”）控制系统结构如图1.2所示。其中，[K1,K2]，为相应的双参数控制器，其他系统变量的定义与图1.1中的类似。

对于连续系统，通常采用如下形式的性能指标：

来描述控制系统的跟踪性能，即用系统参考输入与系统输出的误差积分形式来量测。对于离散系统则采用如下形式来描述：

上面两种形式的性能指标对应的是多输入多输出系统的情形。当系统为单输入单输出的情形时，相应的系统跟踪性能指标可以定义如下：

和

传统反馈控制系统的灵敏度函数和补灵敏度函数可以分别写为

和

利用尤拉参数化方法对所有使系统稳定的控制器集合进行统一描述，在系统稳定的前提下，控制系统的跟踪性能极限的求解转化为下面的极限问题：

也就是说，在所有使得控制系统稳定的控制器集合中，存在某个控制器K，使得相应的性能指标J取得其下确界J*，J*表示控制系统的跟踪性能极限。

针对上述这样的跟踪问题，早在20世纪80年代，Francis[33]等人得到了单输入单输出反馈控制系统跟踪性能极限如下：

J*=F(zi,pi,τ),

这里zi、pi和τ分别表示给定被控对象的非最小相位零点、不稳定极点和给定对象的时延。研究表明了控制系统的最佳可达跟踪性能极限仅仅由系统的内部固有特征（非最小相位零点、不稳定极点和系统内部时延）决定，与选择何种控制器无关。

随后很多学者将上述研究结果推广到单输入多输出、多输入多输出等更为复杂的情形[34-41]，以陈杰[42]等人为代表得到了多输入多输出系统的最佳可达跟踪性能极限，其中性能极限值可描述为

其中

这里zi是给定被控对象的非最小相位零点，pi是给定被控对象的不稳定极点，ηi为非最小相位零点对应的方向向量，v为参考输入信号的方向向量。与之前的单输入单输出反馈控制系统研究结果相比，我们了解到，多输入多输出系统的最佳可达跟踪性能极限不仅与被控对象的非最小相位零点、不稳定极点有关，还与系统参考输入信号的方向向量和非最小相位零点方向向量有关。研究结果得到了系统的跟踪性能极限和被控对象的非最小相位零点、不稳定极点、系统输入信号及其方向夹角的关系。

除连续系统外，离散系统在实际中也随处可见。对离散系统的跟踪性能极限同样引起了大量学者的关注和研究，并取得一些重要结果。以Toker[76]等人为代表，研究了离散型线性时不变反馈控制系统的跟踪性能极限问题，考虑的系统模型是多入多出系统，同样是基于频域角度，应用频域分析技术，得到相应系统的跟踪性能极限的等式表达式，

其中，

从结果可以看出，对于离散反馈控制系统，系统跟踪性能值与连续系统的结果类似，被控对象的不稳定极点和非最小相位零点及他们的方向夹角都会恶化系统的跟踪性能。

由以往系统的跟踪性能问题研究可看出，系统的跟踪性能极限揭示了一个重要结论，就是对于反馈控制系统而言，其跟踪性能极限只跟被控对象的固有特性有关，包括其不稳定的零极点以及系统的参考输入信号。如果是多入多出系统，除不稳定的零极点以及系统的参考输入信号有关以外，还会与被控对象的零极点方向与输入信号的方向夹角有关。系统性能极限与我们选取的控制器无关，即无论人们选用何种被允许的控制器，系统的跟踪性能都没法超越所获得的跟踪性能极限值。这对实际控制系统的分析和设计提供了强有力的理论支持，也进一步说明了对系统跟踪性能研究的重要性。

以上问题的研究大都是基于频域角度进行的，而使用的最重要的方法为尤拉参数化方法，基于此方法设计出相应的控制器结构，构造出所有可允许的控制器集，控制集中所有控制器均可以保证控制系统的稳定性。在此基础上，运用频域分析方法，包括内外分解、互质分解、全通变换等方法，结合动力系统分析的一些传统数学工具，可求解出跟踪性能极限值。这类方法的好处是易于建立系统的频域指标表达式，再通过二范数求极限的形式给出系统的跟踪性能极限值。

然而，从频域角度研究的这类方法也存在一定的局限性，特别是控制器结构难以用尤拉参数化的形式给出时，则大大限止了频域优化分析方法的应用。针对这类系统，学者开始展开基于时域的分析方法，来研究控制系统的跟踪性能，从状态空间的角度出发，包括基于输出反馈的状态空间设计方法以及基于状态反馈的状态空间分析方法，在时域分析时通过代数黎卡迪方程的求解等方法得到系统的跟踪性能极限值。并取得一些比较有意义的研究结果，也揭示出跟踪性能与非最小相位环节的定量关系表达式。

以上这些研究均是针对传统控制系统的性能极限问题展开的，没有考虑网络因素。但是，随着当今网络化程度的不断深化，网络化控制系统在我们生活中随处可见，对于含网络约束的反馈控制系统的性能问题的研究变得十分重要。