1.1.3　哥德尔在各领域的贡献

哥德尔的成果不仅影响了数学、逻辑学、计算机科学、物理学，而且改变了整个科学世界和构建于此定理之上的哲学，还波及了语言学、宇宙学，甚至包括法律上的“无罪推定”。对于人类来说，不了解哥德尔就不了解人类已达到的智力水平与人类智力奋斗的历程，也就无法了解我们这个世界在思想观念上已经发生或正在发生的深刻变化。

人们对于爱因斯坦并不陌生，但对于被他视为知己的普林斯顿高等研究院的同事哥德尔却不甚了解。哥德尔无疑是一位巨人，美国《时代》杂志评选出对20世纪思想产生重大影响的100人中，哥德尔位列第四。哥德尔被认为是自亚里士多德以来最伟大的逻辑学家，他提出的“哥德尔完全性定理”和“哥德尔不完全性定理”远远不止影响了逻辑学。

1．哥德尔定理对现代逻辑学的影响

（1）哥德尔完全性定理表明一阶逻辑是完全的，一阶逻辑的语法刻画和语义刻画是重合的，这标志着一阶逻辑是成熟的逻辑理论。哥德尔完全性定理表明，一阶逻辑的永真公式（有效式）集合和可证公式（定理）集合是重合的，从而“有效性”这个语义概念和（一阶逻辑中）“可证”这个语法概念是一致的。由于证明是公式的有限序列，可证公式集是可数的，而确定公式是否有效，要检查无穷多可能的模型，因此，哥德尔完全性定理在不可数的东西和可数的东西之间架起了一座联系的桥梁。

（2）哥德尔完全性定理的进一步研究结果揭示了一阶语言的局限性。完全性定理有一个重要性推论—紧致性定理：一个公式集T是和谐的，当且仅当T的每一个有穷子集都是和谐的。应用紧致性定理，可以证明“有限”“秩序”等性质不能在一阶语言中表达，使人们认识到一阶语言的表达能力的局限性。

（3）哥德尔完全性定理促进了模型论的发展，虽然模型论的第一个重要勒文海姆定理是于1915年出现的，它的一个基本概念由希尔伯特模糊地提出，但模型论的许多重要成果要归功于哥德尔完全性定理。哥德尔不完全性定理隐含着关于结构的重要结果—紧致性定理，是模型论开始发展成它的现代形式。紧致性定理表明，一个公式T有模型，当且仅当T的每一个有穷子集都有模型。因此，只要证明了T的每一个有穷子集都有模型，就能证明T有模型，而证明有穷子集有模型相对比较容易，这就使紧致性定理在模型讨论中得到广泛应用。

哥德尔不完全性定理引进的定义促使了递归论的产生，第一次给出原始递归函数精确定义的学者是哥德尔，哥德尔在证明不完全性定理的过程中引进了原始递归函数的严格定义，并建立了有关递归函数的重要定理。1931年，艾尔伯朗致信哥德尔，提议引进一般递归函数概念。1936年，克林在《自然数的一般递归函数》一文中，改进了艾尔伯朗和哥德尔的相关工作，给出一般递归函数的精确定义，并取得了递归论发展史上具有奠基性的一批成果，克林也成为递归论的创始人之一。克林在文章中使用了哥德尔不完全性定理中的元数学算术化方法，把递归函数形式系统算数化。

2．哥德尔理论对计算机科学的影响

冯·诺依曼用哥德尔编码的思想设计了第一台现代计算机。1931年9月7日，当哥德尔在柯尼斯堡会议当众宣布第一不完全性定理时，冯·诺依曼立即表示关注，他后来还致信哥德尔胜赞不完全性定理是划时代的贡献。而图灵也通过冯·诺依曼接触到了哥德尔不完全性定理，并沿着哥德尔的推理路线前行，最终取得了极大成功。图录的关于可判定性和可计算性的证明工作也让哥德尔甚感欣慰，他说图灵的工作巩固了他的两个不完全性定理。

3．哥德尔定理对物理学的影响

物理学家也在关注哥德尔定理，英国《卫报》等媒体曾报道，著名英国物理学家斯蒂芬·霍金教授发表了题为《哥德尔与物理学的终结》的演讲，宣布他放弃对“万有理论”的追求。霍金认为，根据哥德尔不完全性定理，物理学家不可能以有限数目原理构建描述整个宇宙的“万有理论”，因为物理理论乃是通过数学模型来阐述的。能否建立物理学的哥德尔定理呢？人们经常对这个问题进行讨论，其中，戴森和斯特劳斯的观点较具代表性，戴森希望能够证明物理学的哥德尔定理，希望物理也是不可穷尽的，斯特劳森认为哥德尔定理“宰杀”了爱因斯坦建立终极理论的理想。王浩认为，根据经验证据很难说追求终极理论是“一种合乎理性的谋划”。

4．哥德尔定理对哲学的影响

哥德尔在20世纪20年代虽曾参加石里克小组的讨论，但他并不赞成逻辑实证主义观点，只是对用数理逻辑分析哲学问题感兴趣。他后期致力于哲学研究后，并未发表过系统的哲学论著，其哲学观点都散见于讨论数学或物理的哲学论文或讲演之中。他认为，健全的哲学思想和成功的科学研究密切相关。在他看来，一般数学和元数学，特别是关于超穷思想方法的客观主义观点，对于他的逻辑研究是根本的。他在其文章中指出，数学对象，如集论里的超穷集，是独立于人们所构造的“客观实在”，而不是像康德所断定的那样，是“纯主观”的。他认为，正如感性知觉对于物理对象一样，人们通过数学直观所得到的知觉也可以提供代表客观实在的材料，但他对此没有再进一步说明。哥德尔自称其哲学观点为“客观主义”，这比称之为“新柏拉图主义”更为恰当。

哥德尔定理不仅对各个科学学科产生极大影响，对我们的生活也产生了影响，甚至与人类社会息息相关的法律学也深受哥德尔定理的影响。对于人类来说，在学习知识的路上，无论是哪一个专业，都必定受到数学和哲学的影响，而哥德尔定理对这两门学科的发展提供了极大的动力，可以说哥德尔定理就是学习的必经之路。