巴比伦：写在墙上的手迹

当时，忽然出现人的手指，在与灯台相对的宫墙上写字。……所写的文字是，弥尼，弥尼，提客勒，乌法珥新。讲解是这样：弥尼，就是神已经数算你国的年日到此完毕；提客勒，就是你被称在天平里，显出你的亏欠；毗勒斯（与乌法珥新同义），就是你的国分裂。10

——《圣经·但以理书》第5章

最早的苏美尔计数系统也在大约公元前 3000 年使用，它比古埃及人的计数系统复杂，并且似乎是独立发展起来的。后来苏美尔人的计数系统为巴比伦人所采用，因此这两个文明通常被视为同一种文化发展的不同部分。他们的书写和计数系统首先源自行政管理和经济上的需求。他们保存了交易、贮藏和工资的各种详细记录和账目，常常会在刻写板的一面写下一张详细的价目表，在反面写下总数。

早期苏美尔人的计数系统不完全是十进制的。它有效地使用基数 10 标记数量，但也引入 60 作为第二个基数。11

正是从这个古老的计数系统，我们继承了 60 秒为 1 分钟和 60 分钟为 1 小时的计时方式。把 10 小时 10 分 10 秒用秒数表示出来——这一道换算题展示了如何去阐明一个以 60 为基数的计数系统。我们这样得到总秒数：(10 × 60 × 60) + (10 × 60) + 10 = 36 000 + 600 + 10 = 36 610。

苏美尔人有了表示数量 1、60、60 × 60、60 × 60 × 60 等的数字。他们也有了表示 2、3、4、5、6、7、8、9 和 10，以及小于 60 且为 10 的倍数的数字。他们用了一个独特的字表示 20（与表示 2 和 10 的字无关），可是表示 30 的是一个复合词，其意为“3 个 10”，表示 40 的复合词的意思是“2 个 20”，而表示 50 的，其意为“40 加 10”。于是，表示基数 10 和基数 20 的单元被交替使用，以便很容易地从 1 计数到 60。

古埃及人把他们的符号用锤和凿子雕刻在石头上，或者用芦秆画在莎草纸上，而苏美尔人的记录却是通过在湿黏土制成的刻写板上做记号保存下来的。石头在苏美尔并不常见，纸莎草或木材等其他媒介物则会迅速枯萎或腐烂，倒是黏土容易得到。用形状像粗细不等的铅笔的两种芦秆或象牙制笔在湿黏土上铭刻，便做成了记录。它们那圆形、无尖锋的末端能刻出凹口或圆形，而尖端则能画出线条。尖端用于书写，而钝端用于表现数字。这些原始的符号如图 1-5 所示，被称为曲线符号。

图 1-5　黏土制刻写板上所刻的表示苏美尔数字的各种形状，令人印象深刻

数字符号12通常出现在被计数的事物的图像上方，这是一个在古埃及不存在的新特点。表示 600 的符号是把表示 60 的大凹口与表示 10 的小圆结合起来。同样，表示 36 000 的符号是把表示 3600 的大圆与表示 10 的小圆结合起来。这种节省的方案创造了一个乘法记号。要记住的符号更少，而且表示大数的符号具有一种内部逻辑，所以人们能用较小的数生成较大的数而不需要发明新符号。然而，要注意的是：每次想要读一个大数时，都必须做一点儿心算。这个系统是“加”性的，当符号被刻写在黏土制的刻写板上时，它们的位置没有意义。犹如在古埃及的情形一样，类似的符号聚集在一起只是为了保持体例和易于计算而已。早期的体例是把符号成对聚集。例如，十进制数 4980 被分解为：

于是它应写为图 1-6 所示，因为刻写板是从右到左和从上向下读的。

图 1-6　公元前 2700 年以前早期苏美尔人对数 4980 的表示

这个计数系统所具有的一个冗长乏味的特点是，为了表示不恰好是 60 的倍数的大数，必须使用大量的符号。为了克服这个问题，书写者通过引入一个起着如今的减号作用的“翼形”符号，发展了一个速记的减法符号，于是他们可用 3 个符号把 59 这样的一个数写为 60 - 1（图 1-73），以取代用别的方法原本所需要的 14 个符号。13

3 此图有误，左边的符号代表 10，应为代表 1 的小凹口符号。

图 1-7　数 59 写成 60 减 1

到了公元前 2600 年，在苏美尔，数字符号的书写方面发生了重大变化。这是因为出现了新技术——新的书写工具。人们引入了一种楔形尖笔，它能画出较窄的线条和不同大小的楔形。这些被称为“楔形”14（cuneiform）符号，它只使用了两个记号：一个垂直的楔表示 1，一个 V 形记号表示 10（图 1-8）。

图 1-8　用书写者的尖笔两端所刻写的表示 1 和 10 两个数的楔形笔迹

符号的联合又一次可用于由较小的数逐步建立大数。当表示 60 和 10 的两个符号靠在一起时，它们表示两个数值的乘积（600）；而当它们分开时，它们表示相加（70）。然而，必须小心，以保证这样的符号毗连不会引起混淆。由于每个记号是很不同的，所以苏美尔人的符号组合法避免了这个问题。

另一个问题是，表示 1 和表示 60 的两个符号之间的区别。它们的形状是完全相同的楔形，起先只是简单地把表示 60 的楔形刻写得大一些以区别它们，后来则把表示 60 的楔形同表示小于 9 的数的那些楔形写得分开一些。数 63 的写法如图 1-9 所示。

图 1-9　书写数 63 的两种方法：(a) 用一个较大的符号表示 60，用较小的符号表示 3；(b) 在表示 60 的符号和表示 3 的符号之间留下间隔

在古代的世界各处可发现许多其他的计数系统，它们使用与这些一样的一般原理。阿兹特克人4（公元 1200 年）曾有一个以 20 为基数的加法计数系统，它具有表示 1、20、400（= 20 × 20）以及 8000（= 20 × 20 × 20）的符号。希腊人（公元前 500 年）则使用一个以 10 为基数的计数系统，它具有表示 1、10、100、1000、10000 的不同符号，还有另外一个表示 5 的符号，用来对它们作补充，他们把这个符号加到其他的符号上，生成表示 50、500、5000 等的新符号（图 1-10）。

4 墨西哥的原始居民。

图 1-10　希腊数字，最初出现在公元前 500 年前后，使用符号的组合来生成大数。作为一个例子，我们写出了数 6668

如果想要做涉及乘法或除法的计算，那么所有这些数字书写系统用起来都是麻烦和费力的。符号并不能为你做任何工作，它完全就像数字的速记。下一步的改进在于引入一个位置或位值系统（positional or place value system），在该系统中符号的位置确定了它们的数值，而这一步最终引发了创造一个零符号的需求。人们这下只需使用更少的符号，因为相同符号在不同的位置或在不同的上下文里使用时，能具有不同的含义。

一个位置计数系统首先出现在公元前 2000 年前后的巴比伦。它只不过在楔形符号和以 60 为基数的旧加法计数系统的基础上，扩充了位置信息。由于旧系统使读者能更容易地看出数字的相对大小，所以这个位置计数系统更多地被数学家和天文学家使用，而不是用于日常的记账。许多书写者因此必须对这两种系统都加以练习。然而，新系统用于记载王室的法令，所以它必然要被巴比伦的广大民众所理解。这样，例如 10 292，在我们的符号中应表示为 [2; 51; 32]，即 (2 × 60 × 60) + (51 × 60) + 32，以楔形符号书写时，如图 1-11 所示。

图 1-11　以楔形符号书写的数 10 292

这正如我们把数 123 表示为 (1 × 10 × 10) + (2 × 10) + 3，按照我们的记数符号读出的便是这些表示基值的数乘以各自的 10 的幂所得的数。我们在量度时间上仍沿用巴比伦计数系统，7 小时 5 分 6 秒就是 (7 × 60 × 60) + (5 × 60) + 6 = 25 506 秒。

最早的像我们现在所用的十进制位置计数系统直到公元前 200 年前后才出现，当时中国人在其以 10 为基数的数符系统里引入了位值系统。他们的棒状数字符号5及位置符号的一个例子如图 1-12 所示。

5 在中国被称为“算筹”。

图 1-12　(a) 为中国的棒状数字符号。它们是竹制或骨制的计算棒。当这些符号用于十位或千位时，它们被旋转了，即如 (b) 所示，因此数 6666 便如 (c) 所示