如何利用方程来解各种问题

在求解某个问题时，首先假设解已经求得[7]，并给所有有助于求解的已知和未知线段命名[8]。接下来，在未区分已知还是未知线段的情况下，利用这些线段之间最自然的关系来解决问题，直到发现可以用两种方式来表示同一个量[9]。这将组成一个方程式，因为这两个表达式之一的各项之和，等于另一个表达式的各项之和。

我们必须找到与假定存在的未知线段数量相同的方程组[10]。但是，如果根据已知条件，无法找到这么多方程，那么显然该方程组的解无法确定。在这种情况下，对于没有对应方程的未知线段，我们可以任意确定一个长度[11]。

如果找到若干个方程，我们必须依次运用每一个方程，或单独考虑，或将其与其他方程做比较，以便得到每一条未知线段的值。我们必须将这些方程进行组合，直到只剩下一条未知线段[12]。这条未知线段等于某一已知线段；又或者，未知线段的平方、立方、四次方、五次方、六次方等之一，等于两个或两个以上量的和或差，其中一个量已知，而其他量是由单位线段与这些平方、立方、四次方等的比例中项乘以其他已知线段组成的。我可以用下列式子来表示

z=b

z2=-az+b2

z3=az2+b2z-c3

z4=az3-c3z+d4

…

即，取未知量z等于b；或，z2等于b2减去a乘以z；或，z3等于a乘以z2加b2乘以z再减c3；以此类推。

这样一来，无论问题是能用圆、直线或圆锥曲线，甚或是其他不高于三维数或四维数的曲线[13]作图的，所有的未知量均可用单一的量来表示。

但我在此并不打算作更为详细的解释，因为那样的话，我就剥夺了您通过自己的努力去解决问题的乐趣；而这个过程对于训练您的思维能力是大有助益的，在我看来，这正是这门科学之于人类的主要好处。再则，我发现这其中没有什么不可逾越的困难，因为任何熟悉初等几何和代数的人，只要仔细思考本论著中阐述的所有内容，一切都可以迎刃而解[14]。

因此，我非常赞同这样一种说法：如果一名学生能够充分利用除法来解这些方程，那他一定可以将问题化归为最简单的形式。