三、均匀球体的引力结合能

如果把球体看作内半径等于零的球壳，那么借助均匀球壳的结果，我们立即就能得到均匀球体外部的引力势表达式。当质量为m的质点到球心的距离为r时，它的引力势能等于m与所处位置的引力势的乘积。容易知道，该质点的引力势能为负值，这说明将质点从无穷远处移到距离球心为r的位置后，球体引力对质点做正功，引力势能会转化成其他形式的能量。从这个角度来看，我们也能将质点引力势能的-1 倍称为它与球体的引力结合能。

同样，均匀球体的物质从无穷远处聚合在一起后也会释放能量，那么均匀球体的引力结合能等于多少呢？我们可以根据两个质点之间的引力势能公式得到均匀球体的引力结合能。任取球体中两个不同位置的质量微元dm1和dm2，设它们的距离为r12，那么它们之间的引力势能为，于是整个球体的引力结合能为

其中，1/2 因子是因为在积分过程中，每对质量微元dm1和dm2都被计算了两遍。

上式的积分直接计算起来会比较复杂。为了简化计算，我们可以考虑这样一个构成球体的过程：首先所有构成球体的质量微元都在无穷远处，然后将它们一个一个从无穷远处移动到它们在球体中所处的位置，移动的顺序由内到外。于是，球体是逐渐“长大”的，直到半径达到原来的球体半径R。所以，处在半径r处的质量微元在从无穷远处移到r处的过程中，它只感受到一个半径为r的球体的引力，而不是半径为R的完整球体的引力。根据前面的分析，半径为r、质量为M(r)的均匀球体，其表面引力势为−GM(r)/r，所以当半径r处的质量微元dm从无穷远处移到对应位置时，释放出来的引力势能为

由此可以得到球体的引力结合能表达式：

假设球体的密度为ρ，那么dm=ρdV，根据球的体积公式可以知道M(r)=4πr3ρ/3，将其代入上式，并使用球坐标可以得到

其中，最后一个等号使用了球体总质量公式M=4πr3ρ/3。上式表明，一个质量为M、半径为R的均匀球体，其引力结合能为3GM2/5R，换言之，组成这个均匀球体的所有物质从无穷远处聚合成为这个球体后，会释放出的引力势能为3GM2/5R。这个结论在天体物理学中有重要的应用，例如尘埃气体形成恒星时放出的引力结合能可以用来估算恒星形成所需的时间。

小结

Summary

在本节中，我们应用高斯定理求解了均匀球壳内部与外部的引力场，知道了均匀球壳内部引力场为零，外部引力场等效于一个同等质量并处于球壳中心的质点的引力场。我们曾经通过复杂的积分得到过这个结论，不过使用高斯定理的方法避免了烦琐的积分运算。当然，高斯定理仅在一些特殊情况才能起到简化计算的目的，对于一般的引力场，我们需要求解泊松方程才行。于是，我们以均匀球壳为例介绍了如何求解泊松方程，并得到了与使用高斯定理所得结果一致的引力场表达式。最后，我们利用所得结论求取了均匀球体的引力结合能。在天体物理中，均匀球体的引力结合能可以用来计算恒星在形成初期内部的温度，以及用于估算恒星形成所需的时间。

[1]整理自搜狐视频App“张朝阳”账号/作品/物理课栏目中的第68期视频，由涂凯勋、李松执笔。整理自搜狐视频App“张朝阳”账号/作品/物理课栏目中的第76期视频，由李松执笔。这里指的是低能电磁理论。在高能电磁理论中，电磁势反而是比电磁场更基本的量。整理自搜狐视频App“张朝阳”账号/作品/物理课栏目中的第108、109期视频，由李松、涂凯勋执笔。整理自搜狐视频App“张朝阳”账号/作品/物理课栏目中的第123期视频，由李松、涂凯勋执笔。