一、散度定理：化面积分为体积分

在介绍并证明散度定理之前，我们先来介绍矢量微积分的一些基本概念。首先，我们要明白什么是场。简单来说，给空间某个区域内的每一点赋予同类型的量，就会得到这个区域上的一个场。如果区域内每个空间点上的量只用一个数就能描述，并且这个数的值不依赖于坐标系的选取，那么这种场称为标量场；如果区域内每个空间点上的量不是单个数而是一个矢量，则称这种场为矢量场。

在这本书里，我们将会遇到引力势场、温度场，这些都是标量场，比如对温度场来说，就是物体内部每个点上对应一个温度；我们还会遇到流体力学中的速度场、电磁学中的电场、磁场，以及接下来介绍的引力场，这些都是矢量场，都属于空间上的点对应一个矢量的情况。需要注意的是，如果只考虑矢量场的x轴分量，那么它属于“空间点上的量只用一个数就能描述”这种情况，它是标量场吗？我们要知道，这一个数的值不依赖于坐标系的选取，才能被称为标量，而矢量的x轴分量依赖于坐标轴的方向，因此不是标量，所以矢量场的x轴分量不是标量场。

我们来了解一下在数学上怎么描述矢量场。设矢量、、分别是与直角坐标系中x、y、z轴对应的单位矢量。在这组单位矢量作为基矢的情况下，一般的矢量场可具体表示为

矢量场除了可以进行一般的矢量运算，还可以进行导数运算，其中最常用的是算子（数学符号一般读作nabla['næblə]）。在直角坐标系下，算子为

在矢量微积分的运算中，算子具有微分和矢量双重属性，这样的算子被称为矢量微分算子。将算子作用在一个标量场u(x,y,z)上，得到的结果称为标量场u的梯度：

标量场的梯度是一个矢量场，它的方向一般都与原来标量场增长最快的方向相同，而梯度的大小则衡量了原标量场在梯度方向上的增长速度。

将算子点乘地作用在矢量场上，所得结果被称为矢量场的散度：

从数学上可以证明，矢量场的散度是一个不依赖于坐标系选取的量，因此是标量。从标量场的梯度，再到矢量场的散度，我们可以看到，算子除了会对所作用的场进行偏导数操作，它在其他方面与普通的矢量无异。敏锐的读者此时应该想到了，算子可以叉乘地作用在矢量场上，这样会得到另一个矢量场——这其实就是矢量场的旋度。感兴趣的读者可以尝试写出旋度的具体表达式。

算子也能与自己点乘，从而得到大名鼎鼎的拉普拉斯算子：

由于矢量点乘会得到标量，因此拉普拉斯算子是一个标量算子。有时也会记作∆。

介绍完所需要的工具，我们终于可以开始讨论散度定理了。由于散度定理是关于闭合曲面上的矢量积分的，因此我们需要从面积微元开始讲起。对于一个有向曲面S，选取曲面上的一个微元，设该微元的面积大小为dS，微元的单位法向量为，我们可以定义一个矢量型的面积微元为。假设该有向曲面所在区域有一个矢量场，我们将曲面上的面积微元与面积微元所在位置的矢量点乘后全部相加起来，就会得到矢量场在有向曲面S上的积分：

其实，根据点乘的意义我们可以知道，上述面积分就是矢量场在有向曲面S上的通量。

我们在前面提到的散度定理指的是什么定理呢？事实上，散度定理说的是，对于方向向外的有向闭曲面S及S所包围的区域V，任意光滑向量场在S上的通量都等于在V上的体积分：

现在我们利用简单的几何知识来证明这个定理。将矢量按直角坐标系的基矢展开为

那么通量可以写为

参考图1，选取一个细小的平行于z轴的柱体，不失一般性地，我们设它在封闭曲面上截取了两个面积微元，分别为和。同样，它在xy平面上截取了大小为dxdy的面积微元。根据几何关系可以知道，和在z轴上的投影大小正好等于dxdy。于是，考虑了矢量方向之后可以得知

dS1z=-dS2z=dxdy

设对应的z坐标为z1，对应的z坐标为z2，整个闭合曲面S在xy平面上的投影区域为A，那么有

同理，对Fx与Fy的积分也可以用同样的方法来处理并得到类似的结果：

最终，将三个分量的等式加起来，可以得到

至此，我们完成了散度定理的证明。