2.1.3　旋转的轴角表示/旋转向量表示

事实上，我们还可以使用一个旋转轴和旋转角度来描述空间旋转或姿态。若进一步使一个向量的朝向与这个旋转轴一致，并使这个向量的模长等于旋转角度，则可以得到描述空间旋转或姿态的旋转向量表示形式，一些学者也将其称为旋转的轴角表示形式。图2-8展示了空间中的一点绕单位长度的转轴旋转角度而得到点的过程，在此过程中，如果旋转是绕轴逆时针进行的，则角度为正。

图2-8　空间旋转的轴角表示示意图

可以看出，旋转向量使用了4个变量来描述3个自由度的旋转，与旋转矩阵相比，它是空间旋转的一种紧凑表达。法国数学家本杰明·奥伦德·罗德里格斯给出了由旋转向量到旋转矩阵的转换关系：

（2-22）

其中为向量的反对称阵，若，则为

（2-23）

式（2-22）即著名的罗德里格斯旋转公式，详细的推导证明这里不再给出，读者可以参考相关论文、博客。基于式（2-22），我们分别求等式两侧矩阵对角线元素之和，即对式（2-22）取迹，这可以进一步得到由旋转矩阵到旋转向量的转换关系：

（2-24）

当时，我们可以进一步得到单位转轴矢量：

（2-25）

其中表示旋转矩阵在第i行第j列的元素值。

然而，虽然旋转向量能够给出空间旋转的紧凑表达，但是其存在下列两个问题。

（1）不唯一性：我们可以看出，绕旋转角度和绕旋转角度是等效的，因此同一个旋转通常有多种旋转向量的表示形式。

（2）奇异性：当为单位阵且时，转轴可以随意选取。