引言
哲学被写在这部鸿篇巨制——我指的是宇宙——中，我们随时都能翻阅它。但如果不首先学着解读书中的语言和文字，就没有人能够读懂。这语言是数学，这文字则是三角形、圆及其他几何图形。若是没有它们，人们甚至不可能理解书中的一丝一毫；若是没有它们，读者将在幽暗的迷宫里一直徘徊。
——伽利略
他们都错过了它。古希腊人——诸如毕达哥拉斯、特埃特图斯、柏拉图、欧几里得和阿基米德这些痴迷于多面体的数学大家——错过了它。杰出的天文学家约翰内斯·开普勒对多面体的美如此敬畏，以至于基于它们构造了一个太阳系模型，但他也错过了它。数学家兼哲学家勒内·笛卡儿在研究多面体时只要从逻辑上再往前迈几步就能发现它了，可他也还是错过了它。上述数学家和他们的许多同行都错过了这个关系式。它简单到可以被解释给任何一个小学生听，但也重要到成为现代数学体系里的一部分。
伟大的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（1707—1783）——他的姓氏读音听起来像是“涂油工”——却没有错过它。1750年11月14日，在一封给自己的朋友——数论学家克里斯蒂安·哥德巴赫（1690—1764）——的信中，欧拉写道：“据我所知，这些立体测量学（立体几何）中的一般性质还没有被任何人注意到，这令我感到震惊。”欧拉在信中描述了他的观察结果，又在一年后给出了一个证明。这个结果是如此地基本和重要，以至于人们现在称它为“欧拉多面体公式”（简称欧拉公式）。
多面体是一种如图I.1所示的三维对象。它由一些平坦的多边形面构成。每一对相邻的面相交于一条叫作棱的线段，而每一组相邻的棱则交于一个拐角，或者说一个顶点。欧拉注意到顶点数、棱数和面数（分别用V、E和F表示）总是满足一个简单而优雅的算术关系（即欧拉公式）：
V-E+F=2
图I.1 立方体和足球（截角二十面体）都满足欧拉公式
立方体大概是最广为人知的多面体了。快速数一数，可以发现它有6个面：顶端的正方形、底部的正方形和侧面的4个正方形。这些正方形的边界构成了棱。我们总共能数出12条棱：顶端的4条、底部的4条和侧面沿垂直方向的4条。顶端的4个拐角和底部的4个拐角则是立方体的8个顶点。因此，立方体的V=8，E=12，F=6，并且显然有
8-12+6=2
对于图I.1中的足球状多面体来说，要数清这3个数值更困难一些，但我们还是可以得知它有32个面（12个正五边形和20个正六边形）、90条棱和60个顶点。同样，
60-90+32=2
除了研究多面体，欧拉还开创了“位置几何学”这一领域，也就是今天的拓扑学。几何学是对刚性对象的研究，着重测量面积、角度、体积和长度这样的量。拓扑学——俗称“橡皮膜几何学”——研究的则是可塑的形状。一位拓扑学家的研究对象不一定得是刚性的或几何的。拓扑学家的兴趣在于确定连通性、检测孔洞和调查扭曲程度。当狂欢节里的小丑把一个气球拧成小狗的形状时，气球仍然是原来的那个拓扑实体，但在几何学上它已经变得极为不同。然而，当一个孩子用铅笔扎破气球，在上面留下一个洞之后，气球从拓扑学上来讲就改变了。从图I.2中我们能看到三个拓扑曲面的例子——球面、甜甜圈状的环面和扭曲的默比乌斯带。
图I.2 拓扑曲面：球面、环面和默比乌斯带
在拓扑学这个年轻的领域中，学者们被欧拉公式所吸引，并且想把它应用到拓扑曲面上。一个明显的问题随之而来：拓扑曲面上的顶点、棱和面在哪里呢？为此，拓扑学家舍弃了几何学家所设的刚性规则，允许面和棱变得弯曲。在图I.3(a)中，我们看到一个球面被分成了“矩形”和“三角形”区域。这种划分是通过画出12条交汇于两极的经线和7条纬线来实现的。整个球体上有72个弯曲的矩形面和24个弯曲的三角形面（三角形面在北极和南极附近），共计96个面。与此同时，棱有180条，顶点有86个。因此，如同多面体的情形那样，我们发现
V-E+F=86-180+96=2
(a) (b)
图I.3 球面的两种划分
类似地，2006年世界杯的用球由六块四条边的沙漏形球皮和八块畸形的六边形球皮组成，如图I.3(b)所示。它同样满足欧拉公式（V=24，E=36，F=14）。
现在，我们不禁会猜想欧拉公式适用于所有的拓扑曲面。然而，如图I.4所示，如果把一张环面分成弯曲的矩形面，我们会得到一个惊人的结果。这种划分方式是，绕着环面的中心空洞画2个圆，并绕着它的管状部分画4个圆。由此，我们有了8个4条边的面、16条棱和8个顶点。仿照欧拉公式，我们算出
V-E+F=8-16+8=0
图I.4 环面的划分
而不是等于预料中的2。
假如对环面做一种不同的划分，我们会发现上述交错和仍然等于0。这就给了我们一个环面版的新欧拉公式：
V-E+F=0
我们可以证明，每一种拓扑曲面都有它“自己的”欧拉公式。不管我们把一张球面分成6个面还是1006个面，只要运用欧拉公式，我们总会得到2。类似地，如果我们把欧拉公式应用到环面的任何一种划分上，我们就会得到0。这些特殊的数值可以用来区分不同的曲面，就像轮子的个数可以用来区分公路上的不同车辆一样。每一辆小轿车都有四个轮子，每一辆牵引挂车都有十八个轮子，而每一辆摩托车都有两个轮子。如果一辆车的车轮数不是四，那么它就不是小轿车；如果一辆车的车轮数不是二，那么它就不是摩托车。同样的道理，如果一张曲面的V-E+F不等于0，那么以拓扑学的观点来看，它就不是环面。
V-E+F这个量是形状的一个固有特征。用拓扑学家的语言来说，它是曲面的一个不变量。由于不变性是一个强大的性质，我们把V-E+F叫作曲面的欧拉数。球面的欧拉数是2，环面的欧拉数则是0。
此时看来，每张曲面都有自己的欧拉数这一事实似乎只是个数学奇闻而已。当你手拿足球或远眺短程线穹顶时，即使想到它也不会觉得有多么酷。但事情并非如此。我们将会看到，欧拉数在多面体的研究中是一种不可或缺的工具，更不用说对拓扑学、几何学、图论和动力系统而言了。而且，它还有一些非常优雅且出人意料的应用。
一个数学中的纽结看起来像是一根缠成一团的绳子，如图I.5所示。如果一个纽结能在不被切断或重新粘连的情况下变成另一个纽结，那它们本质上就是相同的。就像欧拉数可以用来分辨曲面那样，稍稍再调动一点聪明才智，我们就能用它来分辨纽结。利用欧拉数，我们可以证明图I.5中的两个纽结是不同的。
图I.5 这两个纽结相同吗
从图I.6中我们可以看到一张地球表面在某个时刻的风向模式图。在这个例子中，有一个离智利海岸不远的无风点。它位于那个沿顺时针旋转的风暴的中心平静处。我们可以证明，无论何时，地球表面总有至少一个点是无风的。这不是基于对气象学的理解，而是基于对拓扑学的理解。这个点的存在性是用一个被数学家们称为“毛球定理”的结果推导出来的。如果我们把风想象成地球表面的一缕缕毛发，那么地球表面总有一个点的头发是翘起来的。更通俗的说法是“你不能帮椰子梳好头”。到了第十九章，我们会看到欧拉数是怎样让我们建立起这个大胆的论断的。
图I.6 地球上总有一点无风吗
在图I.7中，我们看到一个点阵中的多边形。这个点阵中相邻两点的间距为单位长度，多边形的顶点则正好位于某些格点处。令人惊奇的是，我们可以通过数点来精确计算出这个多边形的面积。我们会在第十三章借助欧拉数推导出一个优雅的公式，它用多边形边界上的点数（B）和多边形内部的点数（I）算出了多边形的面积：
面积= I+B/2-1
利用这个公式，我们得知图中多边形的面积为5+10/2-1=9。
图I.7 可以用数点的方式计算阴影多边形的面积吗
曾有一个古老而有趣的问题，问的是用多少种颜色来给地图上色才能使每一对共享边界的相邻区域有不同的颜色。让我们拿一张无色的地图，然后用尽可能少的蜡笔给它涂色。你很快就会发现，其中大多数区域都可以只用三种颜色的蜡笔就涂好色，但要真正地完成任务还是需要第四种颜色。例如，由于内华达州被奇数个州所环绕，你需要三种颜色的蜡笔来给后者上色——接着你会需要第四种颜色来给内华达州本身上色（见图I.8）。如果我们够聪明，那我们就不需要第五种颜色——四种颜色就足以给整个地图上色了。长久以来，人们一直猜测所有的地图都可以用四种或更少的颜色涂好色。这个“臭名昭著”又异常棘手的问题如今以“四色问题”的名字被人们所熟知。我们将在第十四章中回顾它的迷人历史，并看看它最后是如何在1976年被人们用一种有争议的方式证明的——欧拉数在其中发挥了重要作用。
图I.8 我们能只用四种颜色给地图上色吗
石墨和钻石是两种完全由碳原子构成的物质。1985年，三位科学家——罗伯特·柯尔，理查德·斯莫利和哈罗德·克罗托——震惊了科学界，因为他们发现了一类新的全碳分子。他们把这些新分子称为富勒烯，借用了设计出短程线穹顶的建筑师巴克敏斯特·富勒的名字。之所以这样命名，是因为富勒烯是一种结构类似于短程线穹顶的多面体状分子。凭借对富勒烯的发现，他们三人被授予了1996年的诺贝尔化学奖。在一个富勒烯中，每个碳原子恰好和三个碳原子相邻，而碳原子的环则构成了五边形和六边形。一开始，柯尔、斯莫利和克罗托只找到了由60个和70个碳原子构成的富勒烯，但其他富勒烯也在后来被发现。最常见的富勒烯是被他们称作“巴克敏斯特·富勒烯”的足球形分子C60（见图I.9）。出人意料的是，就算不懂任何化学知识，只掌握了欧拉公式，我们也能断言某些构型在富勒烯中绝对不可能存在。例如，不管分子大小如何，每个富勒烯一定恰好包含12个五边形的碳原子环，虽然六边形碳环的个数可以有所不同。
图I.9 C60，即巴克敏斯特·富勒烯
数千年来，人们一直被美丽而诱人的正多面体所吸引——它们的每个面都是完全相同的正多边形（见图I.10）。古希腊人发现了这些对象，柏拉图把它们吸收进了自己的原子论，而开普勒则基于它们构造了一个太阳系模型。这些多面体的一个神秘之处是它们的种类太少了——除了图中的五种外，再没有别的多面体满足正则性的严格限制了。欧拉公式最优雅的应用之一便是可以快速证明有且仅有五种正多面体。
图I.10 五种正多面体
尽管欧拉公式既重要又优美，它却基本上不被普通大众所知。学校的标准课程中没有它。一些高中生也许知道欧拉公式，但很多学数学的学生直到本科阶段才会遇到它。
数学声誉是一种奇特的东西。有些数学成果之所以著名是因为它们被刻进了年轻学生的脑海中：毕达哥拉斯定理（即勾股定理）、一元二次方程求根公式、微积分基本定理。另外一些数学成果出现在聚光灯下是因为它们解决了一个悬而未决的著名问题。费马大定理困扰了人们三百多年，直到安德鲁·怀尔斯1993年用他的证明震惊世界。四色问题在1852年被提出，但到1976年才被肯尼思·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯证明。大名鼎鼎的庞加莱猜想于1904年被提出，是克莱数学研究所的千禧年大奖难题之一——那七个问题是如此重要，以至于任何能解决其中之一的数学家都将获得一百万美元。格里沙·佩雷尔曼在2002年给出了一个庞加莱猜想的证明，因此他可能会被授予这笔奖金。除此之外，还有一些数学事实是由于它们的跨学科魅力（例如自然界中的斐波那契数列）或历史重要性（例如素数有无穷多个，π是无理数）而被人们所熟知的。
欧拉公式也应该像上述数学成果一样声名远扬。它有缤纷多彩的历史，它的相关理论也凝聚了众多世界上最伟大的数学家的贡献。它是一个深刻的定理。一个人的数学素养越高，他就越能领略到欧拉公式的深刻之处。
这是欧拉的美丽定理的故事。我们将追溯它的历史，展示它是如何在古希腊人的多面体和现代的拓扑学之间架起一座桥梁的。我们会罗列它在几何学、拓扑学和动力系统中的许多惊人而有欺骗性的形式。我们也会给出一些需要用欧拉公式来证明的定理。我们将会明白，这个长期不被关注的公式为何能成为数学中最受喜爱的定理之一。