描述数据

学习目标问题 1-12 我们如何使用三种集中量数来描述数据？两种差异量数的相对效用是什么？

研究人员采集完数据，可以采取描述性统计来对数据进行整理，将数据转换成简单的条形图正是这类方法之一。如图1.8所示，该图展示了十年后仍在道路上行驶的不同品牌卡车的数据分布情况。观察这样的统计图时，我们要格外注意。要设计一个令差异看起来明显（图1.8a）或不明显（图1.8b）的图表是很容易的，关键在于如何标注纵向刻度（Y轴）。

要记住的一点：我们要聪明地思考。在解释图表时，要考虑刻度标签，注意刻度范围。

集中量数

接下来则是通过集中趋势测量对数据进行概括，即用一个数值来代表整组数值。最简单的测量方法是众数（mode），即出现频率最高的一个或多个数值。我们最熟悉的方法是平均数（mean，或算术平均数），即所有数值的总和除以数值的个数。而中位数（median）则是位于中点（第50个百分位）的那个数值。在分隔的高速公路上，中央隔离带处于中间位置，对数据而言也是如此。如果将所有数值从高到低进行排列，一半数值会在中位数之上，另一半数值会在中位数之下。

集中量数简明地概括了数据。但是，分布不平衡时（因为几个异常数值而产生偏态），平均数会发生什么变化？以收入数据为例，众数、中位数和平均数往往讲述了截然不同的故事（图1.9），这是因为平均数会受到少数极端收入的影响而发生偏差。当亚马逊创始人杰夫·贝佐斯（Jeff Bezos）进入一家小咖啡馆时，其他顾客立刻成了（平均数意义上的）亿万富翁，但顾客们财富的中位数并没有变化。

理解了这一点，你就能明白为什么2010年美国人口普查时近65%的美国家庭的收入“低于平均水平”，处于底层的一半挣钱者的收入远低于全国总收入的一半。因此，大部分美国人的收入低于平均水平（平均数）。平均数和中位数反映的真实故事截然不同。

要记住的一点：一定要注意报告的是哪种集中量数。如果是平均数，请考虑一些非典型的数值是否会令其产生偏差。

差异量数

一个恰当的集中量数可以告诉我们很多东西，但这个单一的数字也会忽略许多其他信息。而了解数据的变异性（数据的相似性或差异性）则会有所帮助。由低变异性数据得出的平均值比基于高变异性数据的平均值更可靠。假如在本赛季的前10场比赛中，某篮球运动员每场比赛的得分都在13到17分之间。了解这一点后，我们更相信该运动员下一场比赛中的得分会在15分左右，而非5分到25分不等。

数值的全距（range，最小值和最大值之间的差距）只是对变化的粗略估计。在其他类似群体中，如果有几个极端数值，如图1.9中的950 000美元和1 420 000美元的收入，就会令数值范围出奇地大。

测量数值之间偏离（差异）程度的更有效标准是标准差（standard deviation），它会使用所有数值的信息，能够更好地测量数值是集中还是分散。该计算公式[1]收集了有关单个数值与平均数的差异程度的信息，可以很好地说明问题。比如，A班和B班考试成绩的平均数相同（75分），标准差却迥然不同（A班为5.0，B班为15.0）。你是否有过这样的考试经历，一门课程有三分之二的同学成绩在70分至80分之间，而另一门课程的成绩则更加分散（三分之二的同学成绩在60分至90分之间）？标准差和平均成绩会准确地告诉我们每个班级的实际情况。

思考数值的自然分布趋势，你就会理解标准差的含义。数量较大的数据，如身高、智力分数或预期寿命等，通常会呈对称的钟形分布：大部分数值都落在平均数附近，只有较少数值落在两个极端附近。这种钟形分布非常典型，我们将其形成的曲线称为正态曲线（normal curve）。

如图1.10所示，正态曲线一个有用的属性在于，大约68%的个案都落在平均数两侧一个标准差的范围内，大约95%的个案落在两个标准差的范围内。因此，正如本书第10章显示的，大约68%的人的智力测验分数在100±15分的范围内，大约95%的人的测验分数在100±30分的范围内。