2.1　球谐函数

利用球谐函数恢复地球重力场是目前最经常使用、发展较成熟的一项技术。球谐函数满足拉普拉斯方程，位理论上的许多边值问题都可以利用球谐函数进行解算。球谐函数具有最优的频率局部化特性，每个球谐阶次（n和m）都有单一的频率与之对应，尤其适合表示全球重力场。

地球外部引力位通常可以用球谐函数表示为傅里叶级数展开的形式：

式中，r、θ、λ为球面上或外部任意一点的球坐标，GM为地球引力常数和地球质量的乘积，RE为地球平均半径，n、m分别为球谐阶次，为球谐函数引力位系数，分别为余弦项和正弦项面谐函数，可表示为

式中，是完全正则化连带勒让德多项式。

球谐函数是全局化的调和函数，其空间表现情况与球谐阶次的取值有密切联系。图2-1展示了三个球谐函数和的空间分布情况。从图2-1可以看出，当时，球面被分成多个横向条带，此时的球谐函数为“带谐函数”；当时，球面表现为若干个田字格，且在格与格之间正值和负值交替变换，这样的函数为“田谐函数”；在更加特殊的情况下，例如，当时，球面被众多扇形区域均匀分割，形成类似西瓜瓣的形状，被称为“扇谐函数”。

图2-1　各种球谐函数

资料来源：Barthelmes F，2013。

由于全球紧支撑特性，球谐函数通常用于构建地球重力场模型。球谐函数可以方便地对重力场信号进行频谱分析和滤波，利用球谐函数的分析与合成，可以得到空间域下球面上任意一点的重力值。