3.1 基本体及其表面上的点的投影

常见的基本几何体（简称基本体）有棱柱、棱锥（棱台）、圆柱、圆锥（圆台）、圆球和圆环。其中，棱柱和棱锥是平面立体，其表面均由平面构成，其余的是曲面立体，其表面由曲面构成，或者由曲面和平面构成。

由于平面立体的表面都是平面，而这些平面又是由直线（即平面立体的棱线）所围成的。因此，画平面立体的投影可归结为绘制组成平面立体的所有多边形平面的投影，即绘制这些多边形的边和顶点的投影。回转立体的表面是回转面或回转面和若干个平面。回转面是由直母线或曲母线绕一轴线旋转而形成的。在旋转过程中，母线上任一点均作圆周运动，该圆称为纬圆。母线运动过程中的任一位置，称为素线。转向轮廓线就是在某一投影方向上观察曲面立体（如回转体）时可见与不可见部分的分界线。在画回转体的投影图时，一般应画出各方向转向轮廓线的一个投影（其中与回转轴线的投影、对称中心线重合的两个投影，被省略不画）和回转轴线的三个投影。

一、棱柱

1.棱柱的投影

如图3-1所示是一个正六棱柱的立体图和投影图。其上、下底面都是水平面，上、下底面的水平投影重合并反映实形，正面投影和侧面投影积聚成平行于相应投影轴的直线。六棱柱有6个侧棱面，如图3-1（a）所示，前、后两个棱面为正平面，它们的正面投影重合并反映实形，水平投影和侧面投影积聚成一段平行相应投影轴的直线，其余4个棱面都是铅垂面，其水平投影分别积聚成倾斜直线，正面投影和侧面投影都是缩小的类似形。将其上、下底面及6个侧棱面的投影画出后即得正六棱柱的三面投影，如图3-1（b）所示。

画棱柱的投影时，一般先画上、下底面的3个投影，然后，将上、下底面对应顶点的同面投影连接起来即为该棱线的投影。最后，判别棱线的投影的可见性。如果棱线是两个不可见棱面的交线，则该棱线投影为不可见，画成虚线。

2.棱柱表面上的点和线

平面立体表面上取点、取线的方法与平面上取点、取线的方法是一样的，但在平面立体表面上取点、取线时首先必须确定该点、线在平面立体的哪一个棱面上。

例1：如图3-2（a）所示，已知六棱柱的正面投影、水平投影及其表面上的点I和点Ⅱ的正面投影1′、2′，求作六棱柱的侧面投影、点Ⅰ和点Ⅱ的水平投影和侧面投影，及1′2′连线的其他两投影。

分析：首先补画六棱柱的侧面投影图。分析点Ⅰ和点Ⅱ落在哪些棱面上以及1′2′连线所在的棱面和线段的组成形式。由正面投影判断点Ⅰ落在左前侧棱面上，点Ⅱ落在右前侧棱面上，1′2′连线由下往上，分别在前方3个不同棱面上，它是由3段折线组合而成，3段折线相交处就在前方的两条棱线上。

作图步骤如下：

①补画侧面投影，注意Y坐标要相等，如图3-2（b）所示。

②分别由点Ⅰ、点Ⅱ所在棱面，根据1′、2′作出其水平投影1、2（落在棱面的积聚投影上）和侧面投影1″、2″（由投影对应关系作出），如图3-2（c）所示。

③在前方两条棱线上，定出折线ⅠⅡ与该棱线的交点Ⅲ、Ⅳ及其投影点3′、3、3″和4′、4、4″，如图3-2（d）所示。

④连接同名投影点，即得Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅱ折线段的投影，如图3-2（d）所示。

二、棱锥

1.棱锥的投影

如图3-3所示是一个三棱锥的立体图和投影图。其底面是水平面，水平投影反映实形，正面投影和侧面投影则积聚成平行于相应投影轴的直线。三棱锥有3个侧棱面，其摆放位置如图3-3（a）所示。左、右两个棱面为一般位置面，它们的3个投影为棱面图形的类似形；后方的棱面为侧垂面，侧面投影积聚成一段直线，水平投影和正面投影为该棱面图形的类似形。棱面与棱面、棱面与底面的交线为三棱锥的棱线。前方两棱面遮住后方棱面，因此正面投影的后方棱面为不可见。将其底面及3个侧棱面的投影画出后可得三棱锥的三面投影，如图3-3（b）所示。

画棱锥的投影图时，一般先画底面的3个投影；再画出锥顶点的3个投影；然后，将锥顶点与底面对应顶点的同面投影连接起来即为棱线的投影。

2.棱锥表面上的点和线

遵循平面立体表面取点、取线的方法，即先确定点、线所在的表面，再用面上取点、取线的方法来找点、找线。

例2：如图3-4（a）所示，已知三棱锥的两投影图，其表面上的点Ⅰ、点Ⅱ和点Ⅲ的正面投影1′、2′、3′。求三棱锥的侧面投影及三点对应的其余投影，并作1′2′连线的其余两投影。

分析：首先补画三棱锥的侧面投影图。分析点Ⅰ、点Ⅱ和点Ⅲ在哪些棱面上以及1′2′连线所在的棱面和线段的组成形式。由正面投影判断，点Ⅰ在左前侧棱面上，点Ⅱ在右前侧棱面上，1′2′连线由下往上，分别在前方两个不同的棱面上，它是由两段折线组合而成的，两段折线的相交处就在前方的棱线上。点Ⅲ正面投影不可见，表明该点在后方的棱面上，该棱面为侧垂面，可先在棱面的积聚投影上确定该点的投影。

作图步骤如下：

①作侧面投影，注意Y坐标要相等，如图3-4（b）所示。

②根据后方棱面为侧垂面的特点，由点Ⅲ的正面投影3′可直接在侧面投影上找出点Ⅲ的侧面投影3″，再由正面投影和侧面投影确定水平投影3，如图3-4（c）所示。

③由于点I、点Ⅱ所在棱面为一般位置面，根据1′、2′作出其水平投影1、2和侧面投影1″、2″（由面上作辅助线的方法找点），如图3-4（c）所示。

④在前方棱线上，定出折线ⅠⅡ与其交点Ⅳ及其投影点4′、4、4″，如图3-4（d）所示。

⑤连接同名投影点，即得Ⅰ、Ⅳ、Ⅱ折线段的投影。注意：判断可见性时，应该将不可见部分（2″）4″画成虚线，如图3-4（d）所示。

三、圆柱

圆柱表面由圆柱面和上、下底面组成，如图3-5所示。圆柱面是由一条与轴线平行的直母线绕轴线回转而成。圆柱可以看成是由线段L、L1、L2和L3组成的矩形平面绕边线L旋转一周形成，其中，L1旋转形成圆柱体的顶面，L2旋转形成圆柱体的圆柱面，L3旋转形成圆柱体的底面，L称为回转体的轴线。

1.圆柱的投影

如图3-6所示为圆柱体的三视图。按图中位置放置，圆柱上、下底面为水平面，其水平投影反映实形，正面投影和侧面投影积聚为直线。由于该圆柱轴线为铅垂线，因而圆柱面上的所有素线均为铅垂线。圆柱的主视图和左视图为全等的矩形线框。其中主视图左右两侧的轮廓线为圆柱面上最左和最右两条素线的投影，而左视图中的两侧轮廓线则是圆柱面上最前和最后两条素线的投影。上述4条线统称为轮廓素线。

画圆柱的三视图时，一般先画投影为积聚性的圆，再按其高度和投影规律完成另外两个视图。

2.圆柱表面上的点

例3：如图3-7（a）所示，已知圆柱表面上的点A、B及C的一个投影，求它们的另外两个投影。

分析：由于圆柱的轴线为铅垂线，圆柱体的柱表面在水平面上的投影具有积聚性，而上顶面和下底面的正面投影与侧面投影具有积聚性。在圆柱表面上取点时，可利用这些积聚性作图。

作图步骤如下：

①求a、a′

由a″的位置及其不可见性，可以判断点A在圆柱面的右前部位，其水平投影也必积聚在右前部的1/4圆周上，并根据宽相等的投影关系先求出a，然后根据高平齐、长对正的投影关系由a、a″求出a′，如图3-7（b）所示。

②求b、b″

由b′的位置及其不可见性，可以判断点B必在圆柱面的最后素线上。根据线上定点的作图方法即可得到b和b″，如图3-7（b）所示。

③求c′、c″

由c的位置可知，点C在圆柱的底面上。根据底面正面投影和侧面投影的积聚性，可以在正面、侧面投影上找到c′和c″，如图3-7（b）所示。

四、圆锥

如图3-8所示，圆锥可看成是由直线段L、L1和L2组成的三角形绕边线L旋转一周形成。其中，L1旋转形成圆锥面，L2旋转形成底面，直线L称为回转轴或轴线。

1.圆锥的投影

如图3-9（a）所示，当圆锥的轴线为铅垂线时，底面处于水平，底面水平投影反映底圆的实形，正面投影、侧面投影分别积聚成直线段，长度等于圆的直径。

在水平投影中，用点画线画出对称中心线。对称中心线的交点是轴线的水平投影，也是锥顶S的水平投影s。以对称中心线的交点为圆心，底圆半径长为半径画圆，即为圆锥的水平投影。

在正面投影中，用点画线画出轴线的正面投影，底面的投影积聚成垂直于轴线投影的直线段，其长度等于底圆的直径。根据圆锥高度在轴线上确定锥顶的正面投影s′，画出正面投影的转向轮廓线s′a′和s′b′，即最左、最右素线SA、SB的投影。最左、最右素线SA、SB把圆锥面分为前、后两部分；前半圆锥面在正面投影中为可见，后半圆锥面在正面投影中为不可见；它们的水平投影sa和sb与圆的水平方向的对称中心线重合，侧面投影s″a″和s″b″与轴线的侧面投影重合，由于它们的侧面投影不是转向轮廓线，因此，在侧面投影中不画出其投影。

同理，可以得到圆锥体的侧面投影，如图3-9所示。侧面投影中前、后两侧的s″c″和s″d″是圆锥面侧面投影的转向轮廓线，即最前、最后素线SC、SD的投影。最前、最后两条素线SC和SD把圆锥面分为左、右两部分，左半圆锥面在侧面投影中为可见，右半圆锥面在侧面投影中为不可见；它们的水平投影sc和sd与圆的竖直方向的对称中心线重合，正面投影s′c′和s′d′与轴线的正面投影重合，由于它们的正面投影不是转向轮廓线，因此在正面投影中不画出其投影。

2.圆锥表面上的点

从图3-9（b）分析锥顶的投影和底圆投影可知：圆锥面的水平投影和底面圆的水平投影重影，正面投影和侧面投影均为三角形，因此锥面的3个投影都没有积聚性。求作圆锥面上的点，需在圆锥面上通过点作辅助线或辅助面来解决问题。为了便于作图，应选圆锥面上的素线或垂直于轴线的纬圆作为辅助线，这种圆锥表面定点的方法称为素线法或纬圆法，如图3-10所示。

例4：如图3-11（a）所示，已知圆锥面上点K的正面投影k′，试画出其另外两面投影。

分析：由于圆锥面的3个投影都没有积聚性，所以需要在圆锥面上通过点K作一条辅助线或面：素线或纬圆，然后利用点在线上的作图特点求点的投影。

作图步骤如下：

素线法：参见图3-11（b），连点S和K，并延长使之交底圆于点E，因k′为可见，故SE位于圆锥面前半部，点E也在底圆的前半圆周上。

①过k′作直线s′e′（即圆锥面上辅助素线SE的正面投影），如图3-11（b）所示。

②作出SE的水平投影se和侧面投影s″e″。

③点K在SE上，故k和k″必分别在se和s″e″上。

纬圆法：参见图3-11（c），通过点K在圆锥面上作垂直于轴线的水平纬圆，这个圆实际上就是点K绕轴线旋转所形成的。

①过k′作直线与轴线垂直（纬圆的正面投影），与正面投影的转向轮廓线相交，两交点间的长度即为纬圆的直径，如图3-11（c）所示。

②作出反映纬圆实形的水平投影。

③因点K在圆锥面的前半部上，故由k′向水平投影作投影连线交前半部纬圆于k，再由k′、k求出k″。

五、球

球只有一个表面即球面，球面是由圆绕其直径旋转形成的回转面。

1.球的投影

如图3-12所示，球在3个投影面上的投影都是与球直径相等的圆。虽然3个投影的形状与大小都一样，但实际意义不同。它们分别是球面在3个投影面上的转向轮廓线。正面投影的转向轮廓线是前后半球面的分界圆A的投影，圆A也是球面上平行于正面投影面的最大圆；水平投影的转向轮廓线是上下半球面的分界圆C的投影，圆C也是球面上平行于水平投影面的最大圆；侧面投影的转向轮廓线是左右半球面的分界圆B的投影，圆B也是球面上平行于侧面投影面的最大圆。

2.球表面上的点

由于球表面没有积聚性，因此，求作球表面上的点，需在球表面上通过点作辅助纬圆的方法来解决问题。为了便于作图，在球表面上取与某一投影面平行的圆作为辅助圆。

例5：如图3-13（a）所示，已知球表面上点k的水平投影，试求其另外两个投影。

分析：由于点k的水平投影可见，故点k处于球的上表面。

作图步骤如下：

①在水平投影上过点k作一个水平圆，如图3-13（b）所示。

②求出该圆的正面投影和侧面投影，并根据投影关系确定k′和k″。

本题也可以作一个与V面或W面平行的圆，如图3-14所示。

六、圆环

如图3-15所示，圆环可以看成是由一个圆绕圆外轴线L（L与圆在一个平面上）旋转一周形成。其中，远离轴线的半圆形成外环面，距轴线比较近的半圆形成内环面。

1.圆环的投影

图3-15为圆环的形成及投影图。在正面投影中，左、右两圆及与之相切的两段直线是圆环面的正面投影的转向轮廓线。其中两圆是圆环面上最左、最右两素线的投影，实线半圆在外环面上，虚线半圆在内环面上（被前半外环面挡住，故画成虚线）。上、下两段直线是内、外环面的两个分界圆的投影。在正面投影图中，外环面的前半部可见，后半部不可见，而内环面均为不可见。

在水平投影中，圆环水平投影的转向轮廓线为两个圆，这两个圆是圆环面上、下表面分界线的投影，上表面在水平投影中可见，下表面不可见。点画线圆为母线圆中心轨迹的投影。

2.圆环上的点

同球表面一样，圆环面的投影没有积聚性。因此，在圆环表面上求作点，需通过在圆环表面上作与轴线垂直的纬圆，然后利用纬圆法求作圆环表面上点的投影。

例6：如图3-16（a）所示，已知圆环面上点A的一个投影，试求它的另一个投影，并讨论有几个解。

解：由点A的正面投影a′可知，点A在上半圆环面上。因a′不可见，所以，点A只能在内环面及外环面的后半部。

作图步骤如下：

①如图3-16（b）所示，过a′作轴线的垂线，与投影转向轮廓圆的实线部分相交，交点间的长度为外环面上纬圆的直径；与投影转向轮廓圆的虚线部分相交，交点间的长度为内环面上纬圆的直径。

②根据这两个直径，在水平投影中作出内环面上纬圆1、外环面上纬圆2。过点a′的投影连线与纬圆1的两个交点及与纬圆2的后半部分的交点都有可能是点A的水平投影a。因此，投影a共有3种可能。