*1.7 带符号二进制数的表示法

一个二进制数可以表示为正数或者负数，方法是在二进制数最高位之前加一个符号位，用0表示正数，1表示负数，通常用逗号将符号位隔开。

1.7.1 二进制正数表示法

正数的原码表示法、反码表示法和补码表示法相同，均为符号位0加二进制数本身（即原码）。例如，（+37）10=0，100101。

1.7.2 二进制负数表示法

二进制负数的三种表示方法各有不同，规则如下。

原码表示法：符号位1加原码。

反码表示法：符号位1加反码。

补码表示法：符号位1加补码。

例如，（37）10的二进制数为100101，（-37）10的三种二进制表示法分别如下。

原码表示法：1，100101

反码表示法：1，011010

补码表示法：1，011011

1.7.3 带符号二进制数的运算

在数字电路系统中，为了简化运算电路，减法运算用补码相加来完成，乘法运算用加法和移位来实现，除法运算用减法和移位来完成。因此，加法运算是数字电路的基本运算单元。例1.12～例1.14说明了如何利用补码运算将减法化为加法来完成计算。

【例1.12】用二进制补码运算求（1101）2-（1010）2。

解：采用补码运算，首先化为带符号数相加的形式

（1101）2-（1010）2=（0，1101）2+（1，1010）2

对两数求补

[（0，1101）2]补=0，1101 [（1，1010）2]补=1，0110

然后两个补码相加并舍去进位

0，1101+1，0110=（1） 0，0011=0，0011

这仍是计算结果的补码形式。对此结果再求一次补，得到计算结果的原码

（0，0011）补=0，0011

所以（1101）2-（1010）2=（0，0011）2。

【例1.13】用二进制补码运算求（13）10-（25）10。

解：（13）10表示成补码为（0，01101）2，（-25）10表示成补码为（1，00111）2。

将两个补码相加，（0，01101）2+（1，00111）2=（1，10100）2。

这仍是计算结果的补码形式。对此结果再求一次补，得到计算结果的原码

（1，10100）补=（1，01100）2=（-12）10

【例1.14】用二进制补码运算求（-13）10-（25）10。

解：（-13）10表示成补码为（1，10011）2，（-25）10表示成补码为（1，00111）2。

将两个补码相加，（1，10011）2+（1，00111）2=（10，11010）2。由于两个被加数都是6位的（包括符号位），运算结果也应该是6位的。所以，（10，11010）2的最高位溢出，运算结果为（0，11010）2。此数是一个正数，显然运算结果是错误的。

（-13）10-（25）10的运算结果应该是（-38）10。用二进制表示至少用7位数字（包括符号位）。可见，出错的原因是参与运算的字长不足。解决办法是增加字长，在两个被加数的原码最高位加一个0，再按相同方法继续运算，过程如下。

用7位数字表示（-13）10，原码为（1，001101）2，补码为（1，110011）2。同理，（-25）10的原码为（1，011001）2，补码为（1，100111）2。两个补码相加，（1，110011）2+（1，100111）2=（11，011010）2，高位溢出后为（1，011010）2。

这仍是计算结果的补码形式。对此结果再求一次补，得到计算结果的原码

[（1，011010）2]补=（1，100110）2=（-38）10