数学史讲义概要
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1.1 数学科学的历史性及其特征

1.1.1 数学科学的历史性

数学科学与其他知识门类相比是累积性较强的科学。重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的,它们不仅不会推翻原有理论,而且总是包容原有理论。例如,数系的建立表现出明显的累积性;非欧几何可看成是欧氏几何的拓广;抽象代数是在初等代数的基础上发展起来的;现代分析中诸如函数、导数和积分等概念的推广均包含了古典定义作为其特例。下面仅以数系的发展过程来体现数学科学的累积性。

(一)数系的发展与完善

数是数学的最基本元素,也是人类文明的伟大创造。没有数的世界是难以想象的,没有数既不能表达,也不能理解任何事物。随着人类历史的发展,数的概念随之也在不断扩展,一个时代对于数的认识与应用及数系理论的完善程度,反映了当时数学发展的水平。以集合论为基础的数集,从自然数集开始扩充,逐步建立起严密、科学的数系理论。从自然数到有理数、实数、复数、超复数等,数系的每一次扩充都标志着数学理论的一次飞跃。

人类对数的认识,是从人类对自然界认识的基础上抽象而来的。抽象数的概念是在摆脱物体的各种具体属性后产生的,故人类对于数的认识始于自然数。在中国的经典数学著作《九章算术》中记载有负数及其运算法则,但西方负数概念的建立和使用经历了一个曲折的过程,欧洲直到15世纪才在方程讨论中出现负数。在18世纪以前,欧洲数学家对负数概念大多持保留态度,他们被当时盛行的机械论框住了头脑,只看到负数与零在量值上的大小比较(认为零是最小的量,而比零还小是不可思议的),看不到正负数间的辩证关系。即使当时一些著名数学家也这样认识。甚至到1831年,英国代数学家德·摩根(Augustus De Morgan,1806—1871年)还强调负数与虚数一样都是虚构的。

无理数产生于公元前5世纪。据说在一次海上泛舟聚会时,毕达哥拉斯学派的成员希帕苏斯(Hippasus,公元前470年左右)在研究单位正方形对角线的数量表示时,发现这条对角线无论如何不能用他们所谓的数来表示。这个发现引起了学派成员的恐慌,为了使无理数的发现不被泄露,他们把希帕苏斯投进了大海。

18世纪,数学家在澄清无理数的逻辑基础方面几乎没有进展,但他们以相对平静的态度接受了一些数的无理性。欧拉(Leonard Euler,1707—1783年)于1737年证得e是无理数。1761年,兰伯特(J.G.Lambert,1728—1777年)用类似方法证明了圆周率π是无理数。后勒让德(A.M.Legendre,1752—1833年)甚至猜测π可能不是任何有理系数方程的根。这就促使数学家将无理数分为代数数和超越数。1873年和1882年,法国数学家埃尔米特(C.Hermite,1822—1901年)和德国数学家林德曼(Lindemann,1852—1939年)分别证明了e和 π的超越性。而无理数逻辑结构的真正解决是在19世纪,直至戴德金(R.Dedekind,1831—1916年)和康托尔(Georg Cantor,1845—1918年)建立实数理论后。

18世纪,数学家还谈不上有完整的数系概念和建立数系的企图。虽然在接受负数与复数方面还存在疑虑与争议,但在弄清楚复数的意义方面也有一些功绩。随着微积分的发展,复数几乎进入了所有的初等函数领域。达朗贝尔(Jean Le Rond d'Alembert,1717—1783年)在1747年关于一切复数均可表示成形式a+bi的断言开始被多数人所接受。1797年,韦塞尔(Wessel,1745—1818年)创造了复数的几何表示,并发展了复数的运算法则。到1806年瑞士人阿尔冈(Jean-Robert Argand,1768—1822年)、1831年高斯(Johann Carl Friedrich Gauss,1777—1855年)各自独立发表了关于复数的几何表示研究后,笼罩着虚数的疑云终于被逐渐驱散。

在数系的发展与完善的过程中,数学家总是把新东西作为理想元素添加进来,让这些新事物尽可能享有原来事物的性质。这种类似于形式主义的态度,可以说是对“异端”的一种最宽松态度。只要不产生矛盾即可推而广之。正是不断加进这种“理想元素”,使得对于数性质的研究越来越方便。

与数学科学累积性不同,在自然科学的其他领域都不乏新理论彻底推翻原理论的案例。

(二)“地心说”与“日心说”

四方上下曰宇,古往今来曰宙。人类对宇宙的认识经历了如下阶段:托勒密(PtolemyⅠSoter,约公元前367—前283年)的地心说;哥白尼(Nicolaus Copernicus,1473—1543年)的日心说;开普勒(Johannes Kepler,1571—1630年)的行星运行的三大定律;伽利略(Galileo Galilei,1564—1642年)和牛顿(Isaac Newton,1642—1727年)的力学体系及万有引力定律;康德-拉普拉斯的星云假说;爱因斯坦(Albert Einstein,1879—1955年)的广义相对论及关于膨胀宇宙的大爆炸理论。

“地心说”由古希腊哲学家亚里士多德(Aristotle,公元前384—前322年)提出,他认为地球居于宇宙的中心静止不动,月球、行星、太阳及其他恒星均围绕地球做完美的圆周运动。

公元2世纪托勒密发展了亚里士多德的“地心说”理论,总结了希腊天文学的优秀成果,写成了流传千古的名著《天文学大成》。这部13卷的著作被阿拉伯人推为“伟大之至”,结果书名就成了《至大论》 (Almagest)。在该书中托勒密提出了地心体系的基本构造。托勒密的本轮-均轮宇宙体系,由于具有极强的扩展能力,能够较好地容纳望远镜发明前不断出现的新天文观测,合理地解释行星的逆行、亮度的变化及行星运动速度的不均匀性等现象,故一直被作为最好的天文学体系,统治了西方天文学界一千余年。

托勒密全面继承了亚里士多德的地心说,并利用前人积累和自己长期观测得到的数据,写成了《伟大论》。其中他把亚里士多德的9层天扩大为11层,把原动力天改为晶莹天,又往外添加了最高天和净火天。托勒密设想,各行星都绕着一个较小的圆周上运动,而每个圆的圆心则在以地球为中心的圆周上运动。他把绕地球的那个圆叫“均轮”,每个小圆叫“本轮”。同时假设地球并不恰好在均轮的中心,而偏开一定的距离,均轮是一些偏心圆;日月行星除作上述轨道运行外,还与众恒星一起,每天绕地球转动一周。托勒密这个不反映宇宙实际结构的数学图景,却较为完满的解释了当时观测到的行星运动情况,并取得了航海上的实用价值,从而被人们广为信奉。

随着天文观测材料的不断增多,要合理地解释这些现象所需要的本轮也不断增多。至哥白尼时代,本轮数已增加到80多个,使得托勒密体系极为复杂。同时随着航海业的发展,对精确天文历表的需要变得日益迫切。但用于编制力表的托勒密理论越来越烦琐,人们开始关注天文学理论的变革,而哥白尼正是在此时提出了革命性理论。

哥白尼18岁时被送进波兰旧都的克拉科夫大学学习教会法律,在那里产生了对天文学的浓厚兴趣。1496年,23岁的哥白尼来到了文艺复兴的策源地意大利,先后在波仑亚大学和帕多瓦大学攻读教会法律和医学,同时发展其在天文学方面的兴趣。他学习了天文观测技术及希腊的天文学理论。对希腊自然哲学著作的系统钻研,使他开始怀疑托勒密理论。1506年,他回到波兰后开始构建新宇宙体系。

1539年,哥白尼写出了天文学史上的伟大著作《天体运行论》,系统论述了其日心说理论。哥白尼深知这一理论太富于革命性,有悖于传统天文学观点,所以迟迟没有出版。当年哥白尼的学生,德国威丁堡大学的数学教师——雷提卡斯(Rheticus,1514—1564年)专程拜访哥白尼,劝他立即出版该书。哥白尼只同意由雷提卡斯发表关于他著作的《简报》。随后几年又出现了该《简报》的简编本,并没有引起争论,于是哥白尼决定由雷提卡斯负责《天体运行论》的出版事宜。

雷提卡斯无法照顾印刷过程的每一环节,出版工作由路德教会教师安德里亚·奥西安德(Andreas Osiander,1498—1552年)具体负责。出于保护作者免遭教会迫害的好意,奥西安德擅自在著作前面加了一个没有署名的序言,宣称作者并不认为地球是围绕太阳旋转的,这样做只是一个方便的假设,以便在此基础上建立更有效的行星运动的数学模型。直到1609年,开普勒才发现哥白尼根本不知道这篇序言,而且他本人绝不同意序言中的观点。

1543年5月24日,刚刚印好的《天体运行论》送到病入膏肓的哥白尼面前。据说,他只用颤抖的手抚摸了一下这本书,就与世长辞了。

哥白尼日心说体系与占统治地位的宗教思想相抵触,一开始就遭到了各方面的反对。直到牛顿发现万有引力定律之后,才彻底推翻托勒密地心说体系,并为天文学家所公认。哥白尼革命成为近代科学革命的第一阶段。

1.1.2 数学科学的特征

(一)数学的抽象性

数学的抽象性就是暂时撇开事物的具体内容,仅从抽象的数方面进行研究。如在简单计算中,2+3既可理解成两只羊加三只羊,也可理解成两部机床加三部机床。掌握了2+3的运算规律,那就不论是羊、机床,还是汽车或者其他事物都可按加法的运算规律进行计算。

数学中的许多概念都是从现实世界抽象而来的。如几何学中的“直线”概念,并非指现实世界中拉紧的线,而是把现实线的质量、弹性、粗细等性质都抛弃掉,只保留属性“向两方无限伸长”,但现实世界中没有向两方无限伸长的线。几何图形的概念、函数概念都是比较抽象的。抽象并不是数学科学的独有属性,它是任何一门科学乃至全部人类思维都具有的特性,只是数学的抽象性不同于其他学科的抽象性而已。

数学的抽象性具有三个特征:①保留了数量关系或空间形式。②数学抽象经过一系列阶段而形成,达到的抽象程度超过了自然科学中的一般抽象。从最原始的概念一直到像函数、复数、微分、积分、泛函、n维甚至无限维空间等抽象的概念都是从简单到复杂,从具体到抽象这样不断深化的过程。当然,形式是抽象的,但是内容却是非常现实的。正如列宁(V.I.Lenin,1870—1924年)所说,“一切科学的(正确的、郑重的、不是荒唐的)抽象,都更深刻、更正确、更完全地反映着自然。”③不仅数学概念是抽象的,而数学方法本身也是抽象的。物理或化学家为了证明自己的理论,总是通过实验方法;而数学家证明定理却不能用实验的方法,必须用推理和计算,如我们虽千百次地精确测量等腰三角形的两底角都是相等的,但还不能说已经证明了等腰三角形的底角相等,而必须用逻辑推理的方法严格地给予证明。在数学里证明一个定理,必须利用已学过或已证明的概念和定理,用逻辑推理的方法导出新定理。数学归纳法就是一种比较抽象的数学证明方法,其原理是把研究元素排成一个序列,某种性质对于这个序列的首项是成立的,假设当第k项成立,如果能证明第k+1项也能成立,则该性质对这序列的任何一项都成立。

(二)数学的精确性

数学的第二个特点是精确性,或者说逻辑的严密性,结论的确定性。

数学推理和结论是无可争辩、毋庸置疑的。在数学中严谨的推理和一丝不苟的计算,使得每个结论都是牢固的、不可动摇的,这种思想方法不仅培养了科学家,也有助于提高人类的科学文化素质,这是全人类共同的精神财富。

数学证明的精确性、确定性早就充分显示出来。最早出现于古希腊的数学向演绎证明的变革,这也许是人类文明史上最伟大的变革。欧几里得(Euclid,约公元前330—前275年)的几何经典著作《原本》是典型事例。该书从少数定义、公理出发,利用逻辑推理的方法,推演出整个几何体系,把丰富而零散的几何材料整理成了系统严明的整体,成为人类历史上的数学杰作之一,一直被后世推崇。两千多年来,所有初等几何教科书及19世纪前一切有关初等几何的论著都以《原本》作为依据。

关于欧几里得几何的严密体系,爱因斯坦曾评价道,“世界第一次目睹逻辑体系的奇迹,这个逻辑体系如此精密地推进,以致其每个命题都是绝对不容置疑的。推理的这种可赞叹胜利,使人类理智获得了为取得以后成就所必须的信心。”

数学科学的严密性不是绝对的,数学的原则也不是一成不变的,也在不断发展中。例如,《原本》也有不完美的地方,某些概念不明确,基本命题中还缺乏严密的逻辑根据。因此,后来又逐步建立了更严密的希尔伯特(David Hilbert,1862—1943年)公理体系。然而,歌德尔(Kurt Gödel,1906—1978年)不完全性定理打碎了希尔伯特建立公理化体系的梦想。

(三)数学的广泛应用性

没有数学科学的发展,现代科学技术的进步也是不可能的,从简单的技术革新到复杂的人造卫星发射乃至“神七”上天都离不开数学。而几乎所有的精密科学甚至化学通常都是以一些数学公式来表达相关定律,并在发展自己的相关理论时,广泛地应用数学工具。当然,力学、天文学和物理学对数学的需要也促进了数学科学的发展,如正是对力学的研究促使了微积分的建立和发展。

数学的抽象性和其应用的广泛性紧密相连,某个数量关系代表一切具有这样数量关系的实际问题,如力学系统的振动和电路的振荡等可用同一个微分方程来描述。抛开具体物理现象的意义来研究这一公式,所得的结果又可用于类似的物理现象中,这样掌握了一种方法就能解决许多类似问题。不同性质的现象具有相同的数学形式,反映了物质世界的统一性,因为量的关系不只是存在于某特定的物质形态或其特定的运动形式中,而是普遍存在于各种物质形态和各种运动形式中,故数学科学的应用很广泛。

正因为数学来自现实世界,正确地反映了客观世界联系形式的一部分,所以才能被应用于现实世界和指导实践,才表现出数学科学的预见性。例如,在火箭、导弹发射前,可通过精密的计算,预测其飞行轨道和着陆点;在天体中的未知行星未被直接观察到以前,就从天文计算上预测其存在。

下面举几个应用数学科学的典型实例。

(1)海王星的发现

太阳系中的海王星是1846年在数学计算基础上发现的。自1781年天王星被发现后,天文学家观察其运行轨道总是和预测结果有相当程度的差异,是万有引力定律不正确,还是其他原因?亚当斯(J.C.Adams,1819—1892年)怀疑在其周围有另一颗行星存在,影响了其运行轨道。1844年,亚当斯利用引力定律和对天王星的观察资料,推算这颗未知行星的轨道。他花了很长的时间计算出这颗未知行星的位置,以及其出现在天空中的方位。亚当斯于1845年9~10月,把计算结果分别寄给了剑桥大学天文台台长查理士和英国格林尼治天文台台长艾里,但二人都迷信权威,将之束之高阁。

1845年,法国天文学家、数学家勒维烈(U.J.J.Le Verrier,1811—1877年)经过一年多的计算,于1846年9月写信告知德国柏林天文台助理员加勒(J.G.Galle,1812—1910年),“请把望远镜对准黄道上的宝瓶星座,即经度326 °的地方,那时你将在1 °之内,见到一颗九等亮度的星。”按勒维烈所指出的方位进行观察,加勒果然在离所指位置相差不到1°的地方找到了一颗在星图上没有的星——海王星。海王星的发现不仅是力学和天文学,特别是哥白尼日心学说的伟大胜利,也是数学计算的伟大胜利。

(2)谷神星的发现

1801年元旦,意大利天文学家皮亚齐(Giuseppe Piazzi,1746—1826年)发现了谷神星。不过它很快又躲藏起来,皮亚齐只记下了这颗小行星是沿着9°的弧而运动,对于其整个轨道,皮亚齐和其他天文学家都没有办法求得。24岁的高斯根据观察的结果进行了计算,求得了这颗小行星的轨道。天文学家于同年的12月7日在高斯预先指出的方位又重新发现了谷神星。

(3)电磁波的发现

英国物理学家麦克斯韦(C.Maxwell,1831—1879年)概括了由实验建立起来的电磁现象,呈现为二阶微分方程的形式。他用纯数学的观点,从这些方程推导出电磁波的存在,这种波以光速传播着。据此他提出了光的电磁理论,该理论后来被全面发展和论证了。麦克斯韦的结论还推动了人们寻找纯电起源的电磁波,如由振动放电所发射的电磁波。这种电磁波后来果然被德国物理学家赫兹(Heinrich Rudolf Hertz,1857—1894年)发现了。这就是现代无线电技术的起源。

(4)数学和音乐

数学和音乐常以某种形式的默契向人们昭示世界的对称,宇宙的神秘与魅力所在。近年来,科学家研究发现,音乐也具有令人惊讶的几何结构。佛罗里达州立大学音乐教授考兰德,耶鲁大学的兰丘教授和普林斯顿大学的德米特里教授,以“音乐天体理论为基础”,利用数学模型设计了出一种新的方式,对音乐进行分析归类。提出了所谓的“几何音乐理论”,把音乐语言转换为几何图形。他们把音符元素,像“和音”、“旋律”等进行分类。采取序列的注释,加以分类,相同的类型归为“同类家族”,同类的家族元素再用复杂的几何结构来表示。不同类型的分类,产生了不同的几何空间。

这是一种全新的量化音乐方法。该方法可分析和比较很多种西方音乐(或一些非西方音乐),因该方法侧重于西方风格的音乐概念,像“和音”等音乐元素,并不是所有的音乐中都存在。这种方法可对过去的音乐理论进行合并,使音乐融为数学的形式。研究者声称,音乐的空间形式是清晰的,这种几何学的空间形式将帮助人们更好地理解音乐,概念化的音乐可让人们能够完成之前无法完成的事情。依靠这种看得见的音乐空间结构,可创造出新的音乐手法和手段,可用直观的理念来改变传统的音乐授课方式。而且,不同的音乐理念可用逻辑的结构联系起来,音乐的历史变成了探索不同对称性和几何形状的过程。用这种方法,音乐家可把其手头的工作转换成了数学上的数学本质问题。用几何模型来定位音乐元素的方法,将帮忙音乐家查找并发现更多未知的音乐元素。用数学模型来分析音乐也为不同音乐风格之间的融合提供了一种可能性。

(5)数学与诗歌

最高的诗是数学。数学家的工作是发现,而诗人的工作是创造。最高的数学和最高的诗一样,都充满了想象,充满了智慧,充满了创造,充满了和谐,也充满了挑战。诗和数学又都充满灵感,充满激情,充满人类的精神力量。从诗中可体验到数学,而从数学中又可体会到诗意。海亚姆(Omar Khayyam,1048—1131年)不仅因给出三次方程的几何解载入数学史册,同时又作为《鲁拜集》的作者而闻名于世。18世纪意大利的马斯凯罗尼(Mascheroni)和19世纪法国的柯西(Augustin-Louis Cauchy,1789—1857年)都是诗人加数学家。而20世纪的智利诗人帕拉(Nicanor Parra,1914—)曾做过数学教授。其实在中国数学界,华罗庚(1910—1985年)、苏步青(1902—2003年)也爱写诗。现各摘取两首:

苏步青《游七七亭》

单衣攀路径,一杖过灯汀。

护路双双树,临江七七亭。

客因远游老,山是故乡青。

北望能无泪,中原战血腥。


苏步青《南雁荡山爱山亭晚眺》

爱山亭上少淹留,烟绕村耕欲渐休。

牛背只应横笛晚,羊肠从此入山幽。

云飞千嶂风和雨,滩响一溪夏亦秋。

长忆春来芳草遍,夕阳渡口系归舟。

华罗庚《数学诗题》

(一)

巍巍古寺在山林,不知寺内几多僧。

三百六十四只碗,看看周遭不差争。

三人供食一碗饭,四人同吃一碗羹。

请问先生明算者,算来寺内几多僧?

(二)

小小寞湖有新莲,婷婷五寸出水面。

孰知狂风荷身轻,忍看素色没波涟。

渔翁偶遇立春早,残卉离根二尺全。

借问英才贤学子,荷深几许在当年?


苏老的诗浑厚深沉而又格律严谨,很有杜甫的风格。华老的诗不仅充满数学机理,而且还颇带几分禅意。

(6)数学和语言

在研究语言中发展了数学,产生了不少交叉学科,如代数语言学、统计语言学、应用数理语言学等。马尔可夫(Andrei Andreevich Markov,1856—1922年)在俄语字母序列的数学研究中,提出了随机过程论,今已成为独立的数学分支。句法的形式化分析也可借助于数学。前苏联数学家库拉金娜用集合论方法建立了语言模型,精确地定义了一些语法概念。数理逻辑学家巴希勒(Bar-Hillel)提出了范畴语法,建立了一套形式化的句法类型及演算法则,通过有限步骤,可以判断一个句子是否合乎语法。另外,语言符号的冗余性可用信息论的方法去研究,语言符号的离散性可借助于集合论模型来研究,语言符号的递推法可用公理化方法去研究,语言符号的层次性可借助于图论去研究,语言符号的模糊性与模糊数学发生了联系,语言符号的非单元性又与数理逻辑发生了联系等。

典型例子是《静静的顿河》的作者考证。该书出版时署名作者为肖洛霍夫(MихаилАлександрович Шолохов,1905—1984年)。出版后有人怀疑肖洛霍夫抄袭了克留柯夫的作品,为弄清楚谁是《静静的顿河》的真正作者,捷泽等学者采用数学方法进行了考证。从句子的平均长度、词的选用、结构分析、用词频率等进行统计与分析,最后得出结论,该书作者的确是肖洛霍夫。

数学科学应用的极其广泛性正如我国数学家华罗庚所指出,宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,数学无处不在,凡是出现“量”的地方就少不了用数学,研究量的关系,量的变化,量的变化关系,量的关系的变化等现象都少不了数学。数学之为用贯穿到一切科学部门的深处,而成为它们的得力助手与工具,缺少了它就不能准确地刻画出客观事物的变化,更不能由已知数据推出其他数据,因而就减少了科学预见的精确度。

(四)推理的严谨性和结论的明确性

数学定义的准确性,数学推理的逻辑严密性,数学结论的确定性是无可置疑的。数学真理本身是不容置疑的,但数学科学的严格性不是绝对的、一成不变的,数学的基本原则不是一劳永逸的,而是在不断发展着。

为追求确定性的知识,许许多多的学者都把目光投向了数学科学,投向了欧几里得创立的几何公理化方法,企图借鉴数学方法,从其他学科领域里也获得确定性的知识。美国的《独立宣言》和法国的《人权宣言》都渗透着公理化思想。

数学推理的进行具有这样的精密性,这种推理对于懂得它的人来说,都是无可争辩和确定无疑的。数学证明的这种精密性和确定性,人们从中等学校的课程中就已知道。当然数学的严格性不是绝对的,它在不断发展着;数学的原则不是僵立不动的而是不断变化的,并且也可能成为甚至已经成为科学争论的对象。

关于数学的严谨性,在各个数学历史发展时期有不同的标准,从欧几里得几何到罗巴切夫斯基几何再到希尔伯特公理体系,关于严谨性的评价标准有很大差异,尤其是哥德尔提出并证明了“不完备性定理”以后,人们发现即使是公理化这一曾经被极度推崇的严谨的科学方法也是有缺陷的。因此,数学的严谨性是在数学发展历史中表现出来的。

(五)数学科学的其他特性

从数学科学研究的过程、数学与其他学科之间的关系方面来看,数学科学还有形象性、似真性、拟经验性、可证伪性等特点。对数学科学特点的认识也是有时代特征的,关于数学的似真性,波利亚(George Polya,1887—1985年)在《数学与猜想》中指出:“数学被人看做是一门论证科学。然而这仅仅是其一个方面,以最后确定形式出现的定型数学,好像是仅含证明的纯论证性的材料,然而数学科学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样,在证明一个数学定理前,你先得猜测这个定理的内容,在完全做出详细证明之前,你先得推测证明的思路,把观察到的结果加以综合然后加以类比。你需要一次次地进行尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理,即证明,但这个证明是通过合情推理,通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话,则就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”正是从这个角度,可以说数学科学的确定性是相对的,有条件的,对数学的形象性、似真性、拟经验性、可证伪性特点的强调,实际上是突出了数学研究中观察、实验、分析、比较、类比、归纳、联想等思维过程的重要性。

此外,数学语言与通常语言有重大区别,它把自然语言扩充、深化,而变为紧凑、简明的符号语言。这种语言具有国际性,其功能超过了普通语言,具有表达与计算功能。同时具有公理化特性,从前提、数据、图形、不完全和不一致的原始资料出发进行推理,这就是公理化方法。在使用这种方法时,归纳与演绎并用。还有最优化,考查所有的可能性,从中寻求最优解。数学模型的应用是数学另一特性,对现实现象进行分析。从中找出数量关系,化为数学问题,并予以解决。

总之,数学的特征表述各异,看法众多,或许数学科学的魅力就在于此。