第三节 直除法
方法点睛
“直除法”是指在比较或者计算较复杂分数时，通过“直接相除”的方式得到商的首位（首一位或首多位），从而得出正确答案的速算方式。
核心提示
“直除法”并没有太多华丽的外表，也不需要考生掌握更多额外的知识，因其“方式简单”而具有“极易操作”的特点，成为很多考生首选甚至唯一的计算手段。
事实上，如果只掌握“直除法”这一种速算技巧，很多计算的计算量将不可能得到根本简化，毕竟不同形式下采用不同的速算技巧才是最有效率的；然而我们又必须承认，如果你在“判断选用哪种速算技巧”时耗去过多时间，那么你不妨试试直接采用“直除法”，哪怕是多除几位，可能效率反而会更高。
常用形式
1.比较型：比较分数大小时，若其量级相当，首位最大/小者，为最大/小数；
2.计算型：计算分数大小时，若选项首位各不相同，通过计算首位便可锁定答案。
一、比较型直除法
【例1】
，
，
，
中最大的数是（ ）。
A.
B.
C.
D.
【解析】利用“直除法”直接得到待比较分数的首位：
因此：7
2 =30+，1
4=30-，
=30-，
=30-，
最大。
【例2】
，
，
1，
中最小的数是（ ）。
A.
B
C.
D.
【解析】利用“直除法”直接得到待比较分数的首位：
因此：
=2+，
=2-，
=2+
=2+，
最小。
【注释】事实上，前面两个例子的“直除”并不需要真正列出除法的竖式，不动手而只盯着式子心算，我们同样也能轻松得到各个分数的首位。
核心提示
即使是在使用“直除法”大大简化计算的情况下，少量却有必要的动手计算还是不可或缺的。
【例3】
，
，
，
中最大的数是（ ）。
A.
B.
C.
D.
【解析】利用“直除法”直接得到待比较分数的首位：
因此：
=9+，
=9-，
=9-，2
2 =9-，
最大。
二、计算型直除法
【例4】阅读下面饼状图，请问该季度第一车间比第二车间多生产多少？（ ）
某工厂五个车间第四季度生产量示意图（单位：件）
A.38.5%
B.42.8%
C.50.1%
D.63.4%
【解析】利用“直除法”
=0.4+=40+%。
【例5】根据下图材料，己村的粮食总产量为戊村粮食总产量的多少倍？（ ）
2007年第三季度某县各村粮食总产量
A.2.34
B.1.76
C.1.57
D.1.32
【解析】根据材料：己村为戊村的
倍，利用“直除法”得到答案的首位为“1”，但题目当中有三个选项都是以“1”为首位的，因此“直除法”必须至少除得前两位才能确定本题的最终答案：
根据首两位为1.5即可得到正确答案。
【注释】利用“直除法”到底应该除得前几位，不取决于两个相除数字本身的特征，而仅仅由选项的设置来决定，我们必须一边运算一边对应选项进行排除，千万不要浪费多余的时间。
【例6】改革开放以来，广东省社会消费品零售总额迅猛增长，1985、1995、2005年的值分别为289、2478、7883亿元人民币。那么，1995年的值为1985年的值的（）倍，2005年的值为1995年的值的（ ）倍。
A.9.1 3.2
B.8.6 3.2
C.9.1 2.9
D.8.6 2.9
【解析】我们想利用“直除法”计算 
的首位值，等同于我们想验算“是否比9大”（结合选项所得），或者说“289的9倍是否超过了2478”。此时，我们通常取前两位进行心算：289×9＞280×9＞2478；这个过程是可以不动笔仅仅心算得到的，因此，首位取不到9，排除A、C两项。类似地，我们可以得到：2478×3＜2500×3＜7883，因此，
首位可以取到3，排除D项。
核心提示
所谓“直除”，本质上我们在做的事情，就是在判断“除数乘以某个数是否超过了被除数”，在做这样判断的时候，一般我们利用除数的前两位进行区间判断即可。在后面的学习中我们可以知道，这种方法的本质是利用“截位”所进行的“放缩”。
譬如说，我们想知道“A除以375.8”是否比7要大，我们一般口算做的事情就是：如果370乘以7比A大，那么“A除以375.8”肯定比7要小；如果380乘以7比A小，那么“A除以375.8”肯定比7要大。这样的计算往往可以解决绝大部分的直除要求。
【例7】2008年，新疆农作物总播种面积6805.31万亩，其中，粮食播种面积2474.95万亩。请问粮食播种面积占总播种面积的比例为多少？（ ）
A.35.12%
B.36.37%
C.37.49%
D.38.25%
【解析】我们将
的分母取前三位再进行“直除”：
=0.36+，结合选项，选择第二项。
【注释】事实上，上面的近似中，分母扩大了不到1‰，所以计算得到的结果应该只比真实值小1‰以内，36%的1‰大约为0.04%，精度是非常高的。
核心提示
我们在做“直除”的时候，除数太长往往会大大增加计算难度，所以我们经常将除数进行四舍五入简化计算，此时我们需要注意下面三个问题：
1.我们通常取除数（分母）前三位进行计算，这样产生的计算误差肯定在1%以内（通常更小），但由于计算过程的简化使得我们可以多除几位以逼近结果，某些对精度要求不高的计算中，除数（分母）取前两位也可以得到很理想的结果；
2.这种简化方法只适用于简化除数（分母），因为简化被除数（分子）是没有任何意义的，不会影响计算的难度，大家试试就能知道其中的道理；
3.有时候为了得到更高的精度，我们还可以根据分母的近似情况进行误差分析，以修正最后的结果，但这对考生的估算能力提出了很高的要求。
【例8】2008年，新疆农林牧渔业总产值1176.69亿元，其中，农业产值784.19亿元。请问农业产值占农林牧渔业总产值的比例为多少？（ ）
A.64.7%
B.66.6%
C.68.3%
D.70.4%
【解析】我们将
的分母取前三位再进行“直除”：
=0.66+，结合选项，选择第二项。
【注释】上面的近似中，分母扩大了大约3‰，所以计算得到的结果应该比真实值小3‰，66%的3‰大约为0.2%。
【例9】下表是某城市四个区2008年第三季度的GDP总量表，请问B区的GDP比A区的GDP，D区的GDP比C区的GDP分别多了多少？（ ）
A.1.8倍，20%
B.2.0倍，20%
C.1.8倍，40%
D.2.0倍，40%
【解析】B区的GDP比A区的多了（
-1），而D区的GDP比C区的多了（
-1），我们先计算
，运用直除法如下：
因此
-1=0.3***=3**.*%，结合选项，只可能近似为40%。我们再计算
，运用直除法如下：
因此
-1=1*.**，但是绝对不能以此结合选项判断就是1.8，因为“1.***”有可能约等于1.8，也有可能约等于2.0，所以必须进一步利用“直除法”得到结果的前两位，即：
=2.9**，那么
-1=1.9**，结合选项，“1.9**”有可能约等于2.0，但不可能约等于1.8，所以选择最后一项。
【注释】在利用“直除法”计算“增长了多少”或者“多多少”的时候，一般我们不是先减出“增长量”或者“多的量”再利用“直除法”进行运算，而是直接将两个数“直除”，最后将得到的结果减“1”即可，这样可以大量简化计算量，希望大家在实践当中好好体会。
直除法之“近似原则”
因为资料分析当中的计算大量存在“近似”，所以运用“直除法”的时候一定要注意上例当中的这种特殊的情况，并不是简单地对应首位就能完全确定答案。
【例10】1995年，我国总人口为12.08亿，其中城镇人口为3.48亿；2005年，我国总人口为13.06亿，其中城镇人口为5.61亿。请问这十年间，我国城镇人口比重上升了多少个百分点？（ ）
A.12.98%
B.14.15%
C.15.03%
D.16.35%
【解析】我们运用“直除法”计算两个比例，再相减得到结果：
（
）×100%=42+%-28+%≈14%。
【注释】当一个计算需要先进行“直除”，再相减（或相加）的时候，我们有必要分析最后结果的范围。我们假定A、B为两个除式，直除之后得到结果A=23+，B=31+，这就意味着23≤A＜24，31≤B＜32，那么通过运算我们可以得到54≤A+B＜56，7＜B-A＜9。
核心提示
当我们将直除的结果直接进行加减的时候，真实的值在这个结果附近波动。其中，和的值在往上2个单位以内；差的值在上下1个单位以内。
譬如：两个数直除的结果分别是8和4（量级相同），那么其和应该在12—14之间，其差应该在3—5之间。
【例11】2008年，广东全省出口总额4041亿美元，增长7.8%；进口总额2792亿美元，增长5.4%。请问广东省2007年进出口总额与贸易顺差分别为多少亿美元？（ ）
A.62981200
B.62981100
C.63981200
D.63981100
【解析】2007年广东全省进、出口额分别为：
=2600+（亿美元），
=3700+；由此可知，2007年广东全省进出口总额应该在6300—6500亿美元之间，而贸易顺差应该在1000—1200亿美元之间，选择最后一项。
【例12】下表为2007年我国某地区对其主要外贸国家（地区）货物进口额及其增长速度情况表，依照此表，判定2006年该地区对哪个国家（地区）的货物进口额最大？（ ）
A.日本
B.东盟
C.韩国
D.中国台湾
【解析】我们只需要将选项当中四个国家（地区）2006年的数据列出来，就很容易发现只有韩国2006年的数据超过100亿美元。
【注释】事实上，解析当中的结果甚至不需要列出数据，而仅仅通过直接观察就可以得出。最终的判断（即“只有韩国2006年的数据超过100亿美元”）本质上是通过“直除法”得到的结论，各位考生可以好好体会。
三、加强版直除法
【例13】下表为某市证券行业主要经济数据表格的片断，请问股票、基金交易的户均交易量最大的是哪个年份？（ ）
A.2007
B.2008
C.2009
D.2010
【解析】显然，2007—2010年户均交易量分别为
万元，直接使用直除法可得：第二个数不到100，第一、三、四个数超过100，但只有第三个数比较接近200，所以第三个数肯定是最大的。
核心提示
传统的直除法告诉我们，只有当除得商的首位不同时，才可以比较两个分数的大小。而实际上，“加强版直除法”告诉我们，即使除得商的首位相同，我们也可以直接看出两个分数的大小关系。一般有如下两种情况，我们以实际数字举例：
1.如果两个分数的商，首位都是3，但有一个商3之后非常“勉强”，另外一个商3之后有明显的“富余”，那么后一个分数应该比较大；
2.如果两个分数的商，首位都是3，但有一个“几乎可以商4”，而另外一个离商4还有明显的距离，那么前一个分数应该比较大。
【例14】下表为2006—2011年我国违法用地案件查处情况表格的片断：
请问下列年份中，本期结案涉及的耕地面积占结案涉及土地面积比重最高的是（ ）。
A.2006年
B.2008年
C.2010年
D.2011年
【解析】选项涉及的四个比重分别为
，运用直除法，得到2006年、2010年的商首位都是4，而剩下两个分数的商首位都是3，排除B、D两项。进一步观察，第一个分数轻松商4（甚至接近于商5），而第三个分数商4已经比较勉强了，所以第一个分数应该大于第三个分数。
直除法强化练习
一、以下表第一行为被除数，第二行为除数，运用“直除法”，得到结果的“首一位”：
二、以下表第一行为被除数，第二行为除数，运用“直除法”，得到结果的“首两位”：
三、以下表第一行为被除数，第二行为除数，先将除数四舍五入保留前三个有效数字，再运用“直除法”，得到结果的“首三位”：
四、以下表第一行为被除数，第二行为除数，运用“直除法”，得到结果的“首一位”：
五、以下表第一行为被除数，第二行为除数，运用“直除法”，得到结果的“首两位”：
六、以下表第一行为被除数，第二行为除数，先将除数四舍五入保留前三个有效数字，再运用“直除法”，得到结果的“首三位”：
直除法强化练习答案
一、
二、
三、
四、
五、
六、
