第四节 放缩法
方法点睛
“放缩法”是指在数字的比较、计算当中，如果精度要求并不高或者数字相差比较大，通过对中间结果进行适当的“放”（放大）或者“缩”（缩小），从而迅速得到待比较数字的大小关系的速算方式。
“放缩法”一定不是盲目的放缩，在计算精度要求较高或者数字相差很小的时候一般不要使用，具体“放缩”的方向必须由待比较的两个数（或者计算式子与计算结果）的具体形式来决定。
常见形式（请靠理解来记忆）
1.若A＞a且B＞b，则：A+B＞a+B＞a+b；A-b＞a-b＞a-B。
2.若A＞a＞0且B＞b＞0，则：A×B＞a×B＞a×b；
。
【例1】比较5079.32+9081.35与4971.67+8917.34的大小。
【解析】5079.32+9081.35＞5079.32+8917.34＞4971.67+8917.34。
【例2】比较7135.19-2574.58和7204.16-2497.84的大小。
【解析】7135.19-2574.58＜7135.19-2497.84＜7204.16-2497.84。
【例3】比较6138.42×4290.73和6374.16×4425.81的大小。
【解析】6138.42×4290.73＜6138.42×4425.81＜6374.16×4425.81。
【例4】比较
和
的大小。【解析】
，因此
。
核心提示
在比较两个分数大小的时候，如果有一个分数的分子大而分母小，那么这个分数明显是较大的。这个道理非常浅显，这样的“除法型放缩比较”在做题当中应用得非常广泛。
【例5】根据下表，下列说法正确的是（ ）。
某地区2007年接待不同地区旅客人数表
Ⅰ.来自东亚的游客数量小于来自东欧、南美洲、北美洲、东南亚的游客数量和
Ⅱ.游客中除了来自东亚与其他地区之外的外国游客数量，小于来自国内的游客数量
A.Ⅰ、Ⅱ
B.Ⅰ
C.Ⅱ
D.均不正确
【解析】来自东欧、南美洲、北美洲、东南亚的游客数量和=817+993+2034+2180（人）；来自东亚的游客数量=8411（人）。817+993+2034+2180＜1000+1000+3000+3000=8000＜8411，说法Ⅰ错误。
除了来自东亚与其他地区之外的外国游客总数=817+993+2034+2180+3942（人）；来自国内的游客数量=10983（人）。817+993+2034+2180+3942=（817+2180）+（2034+3942）+993＜3000+6000+1000=10000＜10983，说法Ⅱ正确。
核心提示
通过简单的观察，我们发现说法Ⅰ要比较的两个数相差较大而说法Ⅱ要比较的两个数相差较小，因此Ⅰ当中我们可以进行直接大胆的放缩，而Ⅱ当中我们选用的是“分组相加”然后再进行放缩这种较精确的方式，希望各位考生好好掌握（事实上，这里用到了“凑整”的思想）。
【例6】某城市共有常住人口32.47万人，其中学龄前儿童共计3.95万人，请问学龄前儿童占常住人口的比例为多少？（ ）
A.12%
B.14%
C.16%
D.18%
【解析】
=0.125=12.5%。只有第一项符合。
【注释】本题之所以能够想到放缩，是因为待计算的分数的分子、分母分别与4、32接近，从而构成一个特殊数字“12.5%”，插入待选数字之间，从而锁定答案。
【例7】下表为某公司四个部门2009年全年的营销总费用，以及营销总费用占总销售额的比例。请问四个部门当中，哪个部门2009年全年的总销售额最高？（ ）
A.A部门
B.B部门
C.C部门
D.D部门
【解析】“总销售额=营销总费用÷营销总费用占总销售额的比例”，从表中可知，C部门分子最大而分母最小，依“放缩法”原则，C部门总销售额最大。
【例8】某公司2010年计划完成销售额5934万元、利润1847万元。前两个月已经完成了计划销售额的19.46%和计划利润的16.89%。请问前两个月已经完成的销售额与利润分别为多少万元？（ ）
A.1155 297
B.1155 312
C.1204 297
D.1204 312
【解析】5934×19.46%＜6000×20%=1200（万元），1847×16.89%＞1800× 
=300（万元），因此选择第二项。
【例9】2009年，某地农村居民全年人均纯收入为7285元，较上一年增长10.6%。如果增长速度不变，预计2010年该地农村居民全年人均纯收入将达到多少元？（ ）
A.7914
C.8012
B.7976
D.8057
【解析】7285×（1+10.6%）＞7285×（1+10%）=7285+728.5=8013.5（元），结合选项，选择最后一项。
【例10】2009年，某国第一、二、三产业投资额分别为1098、18374、17485亿美元，相比2008年分别增长9.5%、11.4%、12.1%。那么下面表述正确的是（ ）。
A.2009年，该国第一产业投资额增长超过100亿美元；2008年，该国第二产业投资额高于第三产业投资额
B.2009年，该国第一产业投资额增长低于100亿美元；2008年，该国第二产业投资额高于第三产业投资额
C.2009年，该国第一产业投资额增长超过100亿美元；2008年，该国第二产业投资额低于第三产业投资额
D.2009年，该国第一产业投资额增长低于100亿美元；2008年，该国第二产业投资额低于第三产业投资额
【解析】2008年，该国第一产业投资额：1098÷（1+9.5%）=1098÷1.095＞1000（亿美元），而2009年第一产业投资额为1098亿美元，其差值显然不到100亿美元。2008年，该国第二、三产业投资额分别为
、
亿美元，很明显，前者分子大而分母小，所以2008年第二产业投资额高于第三产业投资额。
【例11】某地今年实现GDP总产值2713万元，与去年相比增长10.9%，那么该地去年GDP总产值应该为多少万元？（ ）
A.2397
B.2446
C.2489
D.2507
【解析】本题选项相差并不大，可以利用“直除法”多除几位得出结果（计算量比较大），也可以通过代入来大致锁定结果。
A选项：
＞
=
=12.5%，所以答案肯定比2397要大；
C选项：
＜
＜10%，所以答案肯定比2489要小；综上，我们选择第二项。
【注释】对于此类计算，如果计算熟练的话，“放缩法”效率会比其他方法要高；但如果心算能力一般的话，更加推荐直接选用直除法，哪怕是多除几位也没关系。
【例12】某地区2009年总人口为77.48万人，城镇人口增加1.3%，农村人口减少2.1%，城镇人口比重上升到58.7%。全年GDP迅速增长，第一、二、三产业分别实现产值32.7、68.4、52.9亿元，与去年相比分别增长3.7%、5.6%、14.8%。全年进口总额为9.5亿元，增长3.5%，出口总额26.7亿元，下降8.6%。
根据上述材料，请问以下说法错误的是（ ）。
A.2009年，该地区农村人口超过30万人
B.2008年，该地区城镇人口比农村人口多16万人以上
C.2008年，该地区第一、二产业产值的差额低于35.7亿元
D.2008年，该地区对外贸易顺差超过17.2亿元
【解析】我们利用“放缩法”一一判定四个选项的正确性：
A选项：77.48×（1-58.7%）＞75×40%=30（万人），A项正确。
B选项：
-
＜77.48×58.7%-77.48×41.3% =77.48×17.4%＜80×20%=16（万人），B项错误。
C选项：
1-
＜
1-
=
＜35.7（亿元），C项正确。
D选项：
1-
%＞26.7-9.5=17.2（亿元），D项正确。
核心提示
考生看到上题用“放缩法”进行解析的过程似乎非常复杂，但上面看似“缭乱”的严格证明，背后却有非常浅显通俗的道理。真正上考场计算的时候，我们并不一定要把过程写得这么严谨，想要迅速得到这其中的放缩关系，我们只需要知道下面六个简单的道理即可：
1.大数增加而小数减小，差值扩大；
2.大数减小而小数增加，差值缩小；
3.大数增加多而小数增加少，差值扩大；
4.大数增加少而小数增加多，差值缩小；
5.大数减小多而小数减小少，差值缩小；
6.大数减小少而小数减小多，差值扩大。
只要我们明白上面这些简单的道理，烦琐的计算过程大都可以省略，但有一个前提是默认的：两个数的大小关系在变化的过程中并没有发生改变（大数仍然是大数，小数仍然是小数）。另外考生还需要注意：本法则讨论的“增加”“减小”以及“差值”都是绝对数值，而不是相对比例或者百分率。
【例13】下表显示我国2011年主要几类规模以上工业企业实现利润（单位：亿元）及其增长速度，请问这五类企业利润总额增长量排序正确的是（ ）。
A.股份制企业＞国有及国有控股企业＞私营企业＞外商及港澳台商投资企业＞集体企业
B.股份制企业＞私营企业＞国有及国有控股企业＞外商及港澳台商投资企业＞集体企业
C.股份制企业＞外商及港澳台商投资企业＞国有及国有控股企业＞私营企业＞集体企业
D.股份制企业＞外商及港澳台商投资企业＞私营企业＞国有及国有控股企业＞集体企业
【解析】由于私营企业的利润总额和增长率分别高于国有及国有控股企业、外商及港澳台商投资企业，所以其利润总额的增长量也应该高于后两者，排除A、C、D三项。
【例14】2014年，某地三大产业增加值分别为5532、25681、27588亿元，分别比上年增长了443、1661、1540亿元，请问以下四项增长率最低的应该是（ ）。
A.第一产业
B.第二产业
C.第三产业
D.GDP
【解析】我们将第一产业的增加值和增长量分别乘以4，如下表所示：
很明显，第三产业的增长量最低，而增加值最高，所以第三产业增长率最低。
【点睛】本题有四个知识点要牢牢记住：①产业增加值=产值，而不是产值的增长量；②现期数值和增长量同比例变化时，增长率是不变的，不影响增长率之间的比较；③增长量较大而现期数值较小的量，增长率较大；④GDP的增长率要介于三大产业增长率之间，所以GDP增长率不可能是最大的，也不可能是最小的。
方法点睛
假设甲今年数值为A，增长率为a%；乙今年数值为B，增长率为b%。如果有A＞B和a%＞b%，那么甲和乙的增长量哪个更高呢？
甲的增长量=
，乙的增长量=
，因为a%＞b%⇒
（这个很容易证明，两边消掉分母即可），所以甲的增长量一定大于乙的增长量。
名师视频
又因为a%＞b%⇒
，所以判断减少量的时候，也有同样的结论。
总之我们可以得到下面两个重要的结论：
（1）现期量和增长率（减少率）都比较大的项目，其增长量（减少量）也肯定更大；
（2）将增长率（减少率）用一个较大（小）的数值代替计算，得到的增长量（减少量）也会相应变大（小）。
【例15】下表显示2011年我国GDP及三次产业产值、增长率。请问2010年第二产业产值比第一产业产值高多少亿元？（ ）
A.172880
B.168493
C.160382
D.153793
【解析】
，所以选择最后一项。
【注释】这个例题使用的方法既可以算作放缩法，也可以算作直除法。有时候这些方法之间的界限并不是那么明显，而是有很多交叉的地方。
【例16】根据上例表格中的数据，2011年我国第二产业产值比上一年增加了多少亿元？（ ）
A.19984
B.21142
C.22078
D.23541
【解析】2011年第二产业产值为220592亿元，增长率10.6%。增长率介于
和
之间，所以其增长量的范围应该满足下面两个条件：
（1）
×10.6%＜
×
=
=22059.2（亿元）；
（2）
×10.6%＞
×
=
＞20000（亿元）。
结合选项，选择第二项。
【例17】下表显示2014年我国某地对日本和美国的进出口额及其增长率，请问进口额减少量较小的国家，其出口额增长量为多少亿元？（ ）
A.5.66
B.6.47
C.8.25
D.10.03
【解析】美国的进口额和减少率都比较小，所以美国的进口额减少量较小。其出口额增长量应该为：
=6（亿元），结合选项，选择第一项。
方法点睛
假设某个量的现期量为A，增长率为
，那么其增长量应该为：
÷（1+
。即：如果增长率为
，那么增长量就是现期量的
。
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【例18】2015年上半年，某地区工业用电量487.5亿千瓦时，同比增长19.5%，请问同比增量约为多少亿千瓦时？（ ）
A.64.38
B.79.55
C.88.94
D.92.78
【解析】同比增长19.5%，略低于
，所以同比增量略低于
=81.25（亿千瓦时），结合选项，选择第二项。
【例19】2014年，某地区农村贷款余额为1893亿元，增长11.9%，请问同比增量约为多少亿元？（ ）
A.172
B.188
C.201
D.212
【解析】同比增长11.9%，增长率介于
与
之间，所以增长量应该介于
与18939 之间，即在189.3与210.3之间，选择第三项。
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