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圣-米歇尔·德·夏优，2008年4月15日

听众们都摒住了呼吸，老师发出了信号，所有的孩子都在琴弦上舞动起自己的琴弓。铃木教学法要求家长们参观大课的教学。不然，在这个被音乐培训班占据了的大木屋里，还能干什么呢？

当出现刺耳的音符时，家长们努力克制自己不要流露出怪异的表情。昨天晚上，家长们试着弹奏了一下自己孩子的乐器。现在，他们总该知道用这些见鬼的乐器拉出一个正确的音有多难了吧！家长们出了丑，却带给了孩子们极大的欢乐。果然，今天教室里洋溢着欢乐的学习气氛，大家兴致勃勃，孩子们也很高兴。铃木教学法并不是重点，重要的是，我儿子的小提琴老师在教学上颇具天赋——他的确是一位好老师。

我坐在前几排的座位上，带着小孩子探索新世界般的热情贪婪地阅读着比奈与特里梅因合著的《星系动力学》（Galactic Dynamics）。我之前从没想到过，弗拉索夫方程在天体物理中居然如此重要。玻尔兹曼方程是世界上最美的方程，而弗拉索夫方程看起来也相当漂亮啊！

不单弗拉索夫方程赢得了我的好感，那些恒星也激发了我的兴趣。旋涡星系、球状星团都那么绚丽……现在，我掌握了深入其中探索的数学钥匙，一切显得更加扣人心弦。自从上次和克莱蒙会面后，我重做了相关计算，开始有了一些想法。我嘀咕道：

“不明白，他们说朗道阻尼与相混合（phase mixing）是完全不同的……但我觉得它们本质上很相似。嗯……”

我瞥了一眼我家那两个金发小家伙。一切都很好。

“嗯……这个计算结果很有趣。这一页下面的注释里写了什么……在线性化方程中起作用的不是谱分析，而是柯西问题的解。这才对，这正是我想要找的！我一直都这么想。他们是怎么做到的？啊……傅里叶变换。确实，没有比古老的傅里叶分析更好的选择了。拉普拉斯变换、衰减关系……”

我沉浸在书中，飞快吸收知识，努力领会要义，好像一个渴望精通一门外语的孩子。我放下杂念，怀着一颗谦卑的心，认真学习物理学家们早在半个世纪前就掌握了的基础知识。夜幕降临，我盘腿坐在阁楼上，突然改变主意，翻开了尼尔·盖曼的《易碎品》。书很新，当时还没有被翻译成法语。尼尔说，我们每个人都有义务给彼此讲故事，他说的有道理。书里讲了一位低音提琴手一次绝妙即兴演奏的故事，一位年迈妇人回忆从前老情人们的故事，还有一只凤凰，总能起死回生，却又一次次反复地被做成美味大餐。

我躺在床上，久久无法入睡，可又不能开灯——全家都在同一间屋里睡觉。此时的我心猿意马。这些古老而易碎的星系上演着一场盖曼风格的好戏：数学问题一再被解决，又一再出现，等待着数学家将其一次次征服。恒星在我的脑袋里运转行进。我到底应该证明一个什么样的定理呢？

“克劳克拉斯托，”身上火苗升腾的杰基·纽豪斯问道，“跟我说实话，你吃凤凰已经吃了多少年？”

“一万年多一点吧，”苏巴克说，“顶多有几千年的误差。你一旦找到窍门，就会发现其实很容易。只是想找到窍门并不简单。不过这次是我烹制过的最好的凤凰。哦，或许应该说，是我烹制这只凤凰最好的一次？”

“岁月！”维吉尼娅·布提说，“在你身上烧化了！”

“是啊，”苏巴克附和道，“当你在吃太阳鸟之前，必须先习惯这种热度，要不然很可能会烧得一点不剩。”

“我原来怎么没想起来？”奥古斯都·双羽·麦考伊透过周身的烈焰说道，“我怎么没想起来父亲就是这样离开的？还有父亲的父亲，他们都是去赫利奥波利斯吃凤凰。为什么我现在才想起来？”

“因为岁月正离你而去。”曼德勒教授说道。他正在写的那一页刚碰到火苗，他就连忙把本子合上；本子边缘有些焦黑，但其余部分完好无损。“岁月被烧化后，那些光阴中的记忆就会再现。”透过飘忽的灼热空气，他看起来倒更像实体，而且教授脸上挂着笑容。他们以前谁都没见过曼德勒教授微笑。

“我们会被烧得一干二净吗？”耀眼夺目的维吉尼娅问道，“还是被烧回童年，烧回鬼魂或天使状态，然后从头再来？不过无所谓。哦，苏比，这真是太有意思了！”

——尼尔·盖曼，《易碎品》

傅里叶分析旨在研究基本的振动信号。假设我们要分析一个任意的信号，也就是一个随时间变化的量。比如，声音就是大气压强轻微变化引起的。19世纪初的科学家兼政治家约瑟夫·傅里叶意识到，不应该直接研究复杂变化的信号，而应该把一个复杂信号分解成一系列基本信号的组合，这些基本信号以简单、重复性的方式变化着，即正弦曲线及其孪生兄弟余弦曲线。

每一条正弦曲线都依其变化的振幅和频率而定；在傅里叶分解中，这些振幅会告诉我们对应频率在被研究信号中占有的权重。

因此，平日里司空见惯的声音其实也是由不同频率的振动叠加而成的。譬如，每秒440次的振动对应音阶“拉”，振幅越大声音听起来就越响。而每秒880次的振动听上去就是高了一个八度的“拉”。如果频率提高至3倍，就再上升五度来到下一个八度的“咪”，如此类推。但在实际生活中，声音并不纯粹，都是大量频率的共鸣，而频率决定了声音的音色。当年为了完成硕士第一年的论文，我曾在一门名为《音乐与数学》的课程中学到上述所有有趣的内容。

傅里叶分析的应用非常广泛：不仅能用于分析音频信号并将其刻录进CD，还能用于图像的分析和网络传输，以及海潮涨落的分析与预报等。维克多·雨果曾嘲笑约瑟夫·傅里叶只是伊泽尔省的“小省长”。他打赌说，傅里叶作为法兰西科学院院士与政治家的光环迟早会褪色。雨果拿政治家、哲学家夏尔·傅立叶和约瑟夫作对比。夏尔在社会学领域为后世留下了不朽的思想，雨果称他为“伟大的傅立叶”。很难说，雨果的奉承之语在夏尔·傅立叶听来是否受用。然而，社会党人其实瞧不起雨果。雨果固然是他那个时代最伟大的作家，但在政治立场上却惯于见风使舵。他先后拥护过保皇派、拿破仑派、波旁王朝的奥尔良派和正统派，经历多年流放之后，又摇身变成了共和主义者。

我敬重作为杰出作家的雨果。小时候，雨果的著作曾让我无比陶醉。但事到如今，约瑟夫·傅里叶的影响力绝不逊于雨果。他那篇分析理论被开尔文爵士誉为“伟大的数学诗篇”，至今仍为全世界数学家学习，每天被数十亿人毫无意识地使用。

2008年4月19日的草稿

为得到表达式，我们将引入关于这三个变量的变换。我们记

最后，我们记

（拉普拉斯变换）。

至少到目前为止，我们固定。

对弗拉索夫方程做x变量傅里叶变换，可以得到

由杜哈梅原理，推出：

对v积分，得到

对v的积分计算需要验证……但我们可以一开始就假设初值是速度紧支的（compactly supported velocity），然后是逼近过程……或是限制在紧集上？

右端第一项就是——我们在处理自由输运的齐次性（homogenization）时也使用了相同技巧……

在关于的一些弱的假设下，我们也可以写出对于所有的，

从而

令

（我不确定在这里加上是不是个好主意……）在某些情况下，如是麦克斯韦分布，是正的；但一般情况下不一定如此。我们注意到当，是速降的；如果解析，则指数衰减，等等。最后我们得到：

做拉普拉斯变换，取，当所有积分都有定义时，我们得到

从这里求出

其中