3

里昂，2008年4月2日

走廊里的小矮桌上面堆满了草稿纸，黑板上画满了小草图。透过巨大的飘窗向外望去，一栋架在数根立柱上的黑色立方体建筑映入眼帘，仿佛一只巨大的黑色蜘蛛。这就是著名的里昂P4实验室，人们在这里研究世界上最危险的病毒。

我的访客弗雷迪·布歇正在把他的手稿装进手提包中。在刚刚过去的一个多小时里，我们讨论了他的研究课题。弗雷迪主攻星系的数值模拟领域，探索恒星们自发组成具有稳定外形星系的神奇能力。

牛顿在343年前发现的万有引力定律不能直接表征这种稳定性。但人们观察到，遵循此定律运行的大量恒星似乎在相当大的时间尺度上集体表现出一种稳定性。在超级计算机上做出的众多计算模拟结果也表征了这一点。

既然如此，我们能不能从万有引力定律出发导出这个稳定性呢？

天体物理学家林登-贝尔认为这是块难啃的骨头——就像铁质小行星一样坚硬。他给这个现象取名叫剧变弛豫（violent relaxation），这是一个多么美妙的逆喻！

“剧变弛豫，塞德里克，这很像朗道阻尼。只不过朗道阻尼是在扰动情况下，而剧变弛豫是在强非线性情况下。”

弗雷迪接受过数学和物理学的双重训练，他的全部科研生涯都奉献给类似上述问题的研究。而今天，他特意前来和我讨论的正是这些基础问题之一。

“塞德里克，你看，当我们模拟星系的时候，自然会把那些恒星——就是这些宇宙中的小质点——看成是流体，好比是恒星组成的气体。这时，我们从离散模型过渡到连续模型。但从离散到连续的近似过程带来的误差有多大？这个误差和恒星数量之间有什么关系？气体中的分子数大约在数量级，而星系中的恒星数量只有几千亿（）。这会造成什么明显的不同么？”

弗雷迪认真地探讨、提问、讲述结果、画草图、注明参考文献。不难看出，他的这些研究和我的战马——由蒙日创建的“最优输运”有关联。这次交流收益颇丰，弗雷迪感到很满意。同时，对我来讲，在和克莱蒙谈及朗道阻尼之后的短短几天之内，又再次看到这个词，也让我兴奋不已。

弗雷迪与我告辞并离开之后，我那刚才一直在安静地整理稿纸的邻桌，终于忍不住开口了。他的灰色长发被精心地梳理成平齐式，让他看起来饶有几分叛逆的气质。

“塞德里克，我本不想多嘴，但黑板上的这些草图，我见过。”

艾蒂安·吉斯曾在上届国际数学家大会上做过全会报告，同时也是法兰西科学院院士。他经常被称为“世界上最好的演讲者”。也许，他真的不是浪得虚名。艾蒂安自己就能抵得上一家研究所。作为坚守在外省进行学术建设的斗士，他从20年前起就投身于里昂高等师范学院数学教研所的建设。在艾蒂安远超常人的努力之下，数学教研所已跻身全球顶级几何学研究中心之列。同时，对于数学的所有分支，他都能嘀咕出一些不同凡响的见解。

“我和弗雷迪画的这些草图，你见过？”

“是呀，我在KAM理论里看到过。而且，我在别的地方也见过……”

“你能给个参考文献么？”

“当然，你知道，KAM理论无所不在：首先，考虑一个完全可积、拟周期（quasi-periodic）的动力系统；然后，给它一个扰动，这里就会出现一个小除数问题，它在长时间尺度上会破坏掉一些轨线，但仍然会有依概率稳定性。”

“这我知道，但这和我们画的图有什么关系？”

“等一下，我能给你找一本这方面的好书。其实，我们在宇宙学书籍里看到的很多图，在动力系统学领域里也都是广为人知的。”

太有意思了。我会好好查查。这能不能帮助我理解隐藏在稳定性背后的秘密？

这正是我最赞赏的一点。在这座小而精的教研所里，不同领域的数学家们在咖啡机旁或在走廊里的一次交谈就能碰撞出不同学科间的火花，从不用担心各自不同的研究方向会造成交流阻碍。不知多少新想法从中迸发而出！

我没有耐心等待艾蒂安从他巨大的藏书库中给我翻出一本参考文献。我先尽量在自己的小资料库里翻找，最后，终于找到阿里纳克与热拉尔合著的一本关于纳什-莫泽方法的书。几年前，我曾研读过这本书，知道纳什-莫泽方法是“柯尔莫哥洛夫-阿尔诺德-莫泽理论”的基础之一，这就是艾蒂安口中的“KAM理论”。我也知道，在纳什-莫泽理论的背后隐藏着非凡的牛顿迭代格式。这个迭代格式有着不可思议的收敛速度——指数的指数阶那么快！而柯尔莫哥洛夫正是极具创造性地利用了这一点。

坦率地讲，我并没发现这些美妙的理论和我的朗道阻尼问题有什么关系。不过，万一艾蒂安的直觉是对的呢？我强令自己停止这些不着边际的想法，把书塞进已经沉甸甸的背包，动身去学校门口接孩子们。

刚一上地铁，我就从外套口袋里拿出了一本漫画。在这短暂而宝贵的时光中，外面的世界消失了，我完全沉浸在漫画的天地里。这里有半面疤痕、拥有娴熟超能力的外科医生，有不惜为长着妩媚大眼睛的小女孩而丧命的黑帮硬汉，有突然变身悲剧式英雄的残暴怪物，也有长着金色卷发、慢慢变成残暴怪物的小男孩。这是一个充满了怀疑和柔情、热血和幻灭的世界。这里没有偏见，也没有非善即恶的二元论，有的只是不断奔涌出来的情感，打动着读者天真的心灵，让他们潸然泪下。

市政厅站到了，我该下车了。故事伴随这段旅途，流淌在我的心间，流淌在我的血管里。仿佛纸墨激起一股小湍流，让我的内心世界得到了净化。

我的数学思维全部处于暂停状态。漫画与数学从来没有过交融。但也许不久后，它们在梦里会有交集？而朗道呢？在经历那场最终还是要了他性命的可怕交通事故之后，他是不是接受了“怪医黑杰克”的手术？可以肯定的是，妙手神医没能让朗道彻底痊愈，朗道也没能完成他的超人使命。

瞧，我刚刚并没有去想艾蒂安提出的柯尔莫哥洛夫-阿尔诺德-莫泽理论。柯尔莫哥洛夫与朗道之间到底有什么联系？当我迈出地铁的时候，这个谜题又转回到脑子里。如果他们之间真的存在着联系，我要把它找出来。

事实上，我那时绝对无法料到，自己将用一年多时间才找到这个联系。我那时也不可能明白，这将是一个多么令人难以置信的讽刺：那张艾蒂安看着眼熟，并让他联想到柯尔莫哥洛夫的草图，恰恰描述了朗道与柯尔莫哥洛夫两大理论之间失去联系的状态！

那天，艾蒂安的直觉非常了得，尽管这个直觉来自一个错误的出发点。这有点像达尔文通过比较蝙蝠和翼手龙，错误地相信两者间存在密切联系，进而误打误撞地提出了进化论的猜想。

我与克莱蒙在讨论中一起斩获意想不到的发现之后十天，这是第二次神奇的巧合，它十分及时地出现在我的研究路线上。

我还要顺着这条路摸索前行。

那位俄罗斯物理学家叫什么来着？像我一样，他遭遇了一次严重的交通事故，被医生从死亡边缘抢救了回来。当时，他已经临床死亡了。我读过这段传奇般的故事。苏联科学界动员了一切资源去拯救这位无可取代的科学家。他们甚至从国外请来医生。最终，他被救活了。在那几周中，全世界最好的外科医生们轮流值守在他的病床前。他四次被宣告临床死亡，而医生们四次对他进行人工生命维持。我已经记不清细节了，但仍记得读到这段的时候，我被这场反抗宿命的斗争所深深吸引。坟墓的大门已经开启。然而，人们竭尽全力将他从死神手中抢了回来。最后，他回到了自己在莫斯科大学的岗位上。

——保罗·吉玛尔，《生命中的点滴》（Les Chose de la Vie）

牛顿万有引力定律表述了任意两个物体之间存在相互吸引力，而这个力与两个物体的质量乘积成正比，与两者之间距离的平方成反比：

这一经典引力定律很好地描述了恒星在星系中的运动。尽管牛顿定律如此简单，一个星系中海量的恒星还是让理论变得颇有难度。这好比，即便知晓每个单独的原子是如何运行的，我们依然无法了解人类的身体如何运行。

在发现引力定律数年之后，牛顿又完成了一项不同寻常的发现——牛顿迭代格式。该方法可以用来计算任意一个方程的解：

从一个近似解出发，我们用函数F在点的切线来替换F本身（用专业术语来讲，即把方程在附近线性化），并计算原方程的近似方程的解。这会给出一个新的近似解，然后重新以为起点开始：用F在的切线替换原函数，然后把定义为方程的解，并如此迭代下去。以精确的数学语言来描述，与的关系是

如此得到的近似解序列好到超乎想象：它们收敛到“真”解的速度快得出奇。通常，只需要四五步计算就可以得到一个精确度极高的近似解，甚至比任何现代计算器给出的解还要精确。据说，巴比伦人早在约四千年前就用这个方法来计算平方根了。而牛顿发现的方法可以用来求解任意一类方程，不仅仅是计算平方根。

多年以后，牛顿迭代法超乎寻常的快速收敛被用来证明20世纪最重要的多个理论：柯尔莫哥洛夫稳定性定理、纳什嵌入定理……而就其本身而言，这个充满魔力的方法打破了纯数学与应用数学之间那条人为的鸿沟。

俄罗斯数学家安德烈·柯尔莫哥洛夫是20世纪科学史上的传奇人物。正是他在1930年建立了现代概率论。他在1941年创立的关于流体中紊流的理论至今仍被引用——不论是为了确证还是为了反对它。柯尔莫哥洛夫的复杂性理论则预示着人工智能的发展。

在1954年的国际数学家大会上，柯尔莫哥洛夫提出了一个令人震惊的观点。庞加莱早在此70年前就说服了同僚们：太阳系具有内禀不稳定性。行星位置的不确定性——无论有多小，都会导致对行星位置的预测在极大时间尺度上变得不可能。但是，柯尔莫哥洛夫展现出过人的胆识，结合了概率论和确定性力学方程组，论证出太阳系有很大可能是稳定的。当然，不稳定性有可能出现，正如庞加莱认为的那样。然而，根据柯尔莫哥洛夫的理论，不稳定的可能性很小。

柯尔莫哥洛夫定理证明，从一个完全可解的力学系统出发（譬如开普勒描绘的太阳系，行星规则而稳定地按照永恒不变的椭圆轨道围绕太阳旋转），在其中加入一个很小的扰动（这里指把行星之间的相互引力考虑在内，而开普勒则忽略了这些作用力），这样建立起来的力学系统对于绝大多数初始条件来说都是稳定的。

柯尔莫哥洛夫提出的结论如此简洁，而证明方法却十分复杂，引起了同时代同行们的怀疑。此后，俄罗斯人弗拉基米尔·阿尔诺德与德国人于尔根·莫泽通过不同的方法完整重建了柯尔莫哥洛夫的证明：前者重建了柯尔莫哥洛夫当年表述的原始结果，后者建立了更一般化表述。“KAM理论”就此诞生，继而催生了众多经典力学中最强大、最令人震惊的篇章。

KAM理论以独特的美感赢得了科学界的支持。近三十年间，即使柯尔莫哥洛夫理论中的某些技术性条件在实际情况中并未被完全满足，人们还是情愿相信太阳系是稳定的。直至20世纪80年代末，雅克·拉斯卡尔的观测结果才让舆论有所转变。但这又是另外一个故事了。