2.4 BSM期权定价模型
第三种期权定价模型是BSM模型。BSM模型同样是基于无套利定价原理且可以看作连续的二叉树模型，即假设标的资产价格会发生连续性变动。
2.4.1 BSM模型的基本假设★★★
（1）标的资产的连续收益率
服从正态分布，则收益率
服从对数正态分布。★
（2）标的资产价格符合几何布朗运动意味着该价格波动是连续且平稳的，不存在跳跃的现象。
（3）连续无风险利率是已知的且恒定的。
（4）标的资产价格的波动率必须是已知且恒定的。
（5）市场是无摩擦的，即不存在税收和交易成本。市场对卖空无限制且不存在套利机会。
（6）标的资产收益率是连续复利的且恒定的。
（7）该期权是欧式期权，即在期权到期前不可行权。★
李老师说
BSM模型基本假设中特别重要的是：
（1）对于第一点，标的资产的收益率服从对数正态分布要特别注意。旧教材中的假设为“资产价格服从对数正态分布，收益率服从正态分布”，这是因为资产价格只会大于0，所以服从的是对数正态分布，那么收益率
只能服从正态分布。但新教材改版之后对收益率（return）进行了重新定义，它将
定义为收益率。因为连续收益率
服从正态分布，那么收益率
只能服从对数正态分布。
（2）BSM模型要将最终的期权价值一期一期往前折现，如果连续无风险利率不知道，我们就求不出来，如果连续无风险利率会变化，那么我们很难知道是在具体哪一期变化，所以假设其恒定且不变，有助于折现。
（3）BSM模型只适用于欧式期权，因为美式期权在每一个节点，都要做一次判断，BSM模型假设有无穷多期，不可能在每一期都做判断。
2.4.2 BSM模型的定价公式
在上述内容中，我们阐述了BSM模型期权定价的原理，下面我们来看BSM模型对欧式看涨期权和欧式看跌期权进行定价的公式：
式中 S0——标的资产价格；
X——执行价格；
T——到期时间；
——连续无风险利率；
σ——标的资产波动率；
N（）——累计正态分布概率。
2.4.3 BSM模型组成部分的两种解读
第一种解读：BSM模型可以描述成预期期权收益的现值。具体表现为，BSM模型中：
看涨期权C=PVr［E（CT）］
看跌期权P=PVr［E（PT）］
式中 E（CT）=［S0×erT×N（d1）］-X×N（d2）
E（PT）=X×N（-d2）-S0×erT×N（-d1）
PVr=e-rT
第二种解读：BSM模型的定价公式中，可以看作两个部分组成。一个是股票部分，一个是债券部分。对于看涨期权，股票部分是S0×N（d1），债券部分是
，看涨期权的价值为股票部分减去债券部分。对于看跌期权，股票部分是S0×N（-d1），债券部分是X×
，看跌期权价值为债券部分减去股票部分。所以我们完全可以用股票跟债券模拟出一个组合，使得该组合最开始的成本就等于相应期权的价值，并且在适当调整后，其收益也跟BSM模型中的期权收益一模一样。这种策略的成本可以用下面这个公式来表示：
复制策略成本=ns×S+nb×B
如表8-12所示，在复制看涨期权策略中，因为ns>0，nb<0，所以是借钱去买股票，这个组合初始成本就应该等于该看涨期权的价值。在复制看跌期权策略中，因为ns<0，nb>0，所以是用卖空股票后的资金去买债券。
表 8-12
2.4.4 BSM模型对分红股票的定价
之前我们讨论的是假设基础资产不分红情况下的定价情形，这一小节我们将介绍BSM模型如何对分红股票期权进行定价。
在股票分红的情况下，我们对BSM模型进行了修正：
式中 δ——股票的股息收益。