模块一 投影的基本知识

一、任务描述

主要介绍投影法的基本知识，并将投影法直接应用于基本几何体的投影及形成立体表面的基本要素——点，直线，平面的投影分析，从而为组合体的投影表达，读图分析提供必要的理论基础及方法。

学习目标：

（1）了解中心投影和平行投影的形成。

（2）掌握正投影的基本性质。

（3）了解投影图的形成过程。

（4）掌握正投影图的投影特性。

学习重点：

（1）正投影的基本性质。

（2）正投影图的投影特性。

二、任务实施

任务1：点的投影

例1 已知点A的两面投影和点B的坐标为（25,20,30），求点A的第三面投影及点B的三面投影，见图2-1（a）。

（1）求A点的侧面投影。

先过原点O作45°辅助线。过a作∥O X轴的直线与45°辅助线相交于一点，过交点作⊥OY W的直线，该直线与过a′平行于OX轴的直线相交于一点即为所求侧面投影a″。

（2）求B点的三面投影。

在O X轴取ObX=25 m m，得点bX，过bX作O X轴的垂线，取b′bX=30 m m，得点b′，取bbX=20 m m，得点b；同求A点的侧面投影一样，可求得点B的侧面投影b″。答案见图2-1（b）。

例2 已知A点在B点之前5mm，之上9mm，之右8mm，求A点的投影。

任务2：直线与直线上点的投影

例1 如图2-3（a）已知点C分AB为AC∶BC=3∶2，求点C的投影。

分析：根据直线上点的投影特性，可将AB的任一投影分成3∶2，求得点C的一个投影，利用从属性，求出点C的另一投影。作图步骤如下，见图2-3（b）：

（1）过a作任意直线，并截取5个单位长度，并连接线5b；

（2）过3作5b的平行线，交ab于c；

（3）由c作投影连线，交a′b′于点c′。

例2 图2-4（a）所示，作直线AB的H面投影，并标出它与V、W面的倾角β和γ。

任务3：平面与平面上点线的投影

如图2-5（a）所示，判断点K是否属于△ABC所确定的平面。

根据点在平面内的条件，假如点在平面内，则必属于平面内的一条直线上。判断方法是：过点K的一个投影在△ABC作一直线AK交BC于D，再判断点K是否在直线AD上。

作图过程如下[（见图2-5（b）]：连a′、k′交b′c′于d′，过d′作投影连线得d，即求得AD的水平投影ad。而点K的水平投影k不在ad上，故K点不属于平面△ABC。

三、知识链接

1．投影的概念及投影法的分类

在制图中，把光源称为投影中心，光线称为投射线，光线的射向称为投射方向，落影的平面（如地面、墙面等）称为投影面，影子的轮廓称为投影，用投影表示物体的形状和大小的方法称为投影法，用投影法画出的物体图形称为投影图，如图2-6所示。

根据投射方式的不同情况，投影法一般分为两类：中心投影法和平行投影法。

由一点放射的投射线所产生的投影称为中心投影，如图2-7（a），由相互平行的投射线所产生的投影称为平行投影。平行投射线倾斜于投影面的称为斜投影，如图2-7（b）；平行投射线垂直于投影面的称为正投影，如图2-7（c）。

正投影图度量性好、作图简便。正投影的基本特性见表2-1。

2．点的投影

如图2-8（a）所示，由空间点A分别作垂直于H、V和W的投射线，其垂足a、a′、a″即为点A在H面、V面和W面上的投影。空间点用大写字母如A、B表示，水平投影用相应的小写字母表示，正面投影用相应小写字母加一撇表示，侧面投影用相应小写字母加两撇表示。a称为点A的水平投影；a′称为点A的正面投影；a″称为点A的侧面投影。

从图2-8中可以看出空间点A在三投影面体系中有唯一确定的一组投影（a, a′, a″），反之如已知点A的三面投影即可确定点A的坐标值，也就确定了其空间位置。因此可以得出点的投影规律：

（1）点的V面与H面的投影连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX。

这两个投影都反映空间点到W面的距离即X坐标：a′aZ=aaYH=XA。

（2）点的V面与W面投影连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ。

这两个投影都反映空间点到H面的距离即Z坐标：a′aX=a″aYW=ZA。

（3）点的H面投影到OX轴的距离等于点的W面投影到OZ轴的距离。

这两个投影都反映空间点到V面的距离即Y坐标：aaX=a″aZ=YA。

实际上，上述点的投影规律也体现了三视图的“长对正、高平齐、宽相等”。

作图时，为了表示aa X=a″a Z的关系，常用过原点O的45°辅助线把点的H面与W面投影关系联系起来，如图2-8（c）所示。

点的三个坐标值（x, y, z）分别反映了点到W、V、H面之间的距离。根据点的投影规律，可由点的坐标画出三面投影，也可根据点的两个投影作出第三投影。

若空间两点的某一投影重合在一起，则这两点称为对该投影面的重影点。如图2-9所示，在三棱柱上两点A、C为H面的重影点。重影点的可见性由两点的相对位置判别，对V面、H面和W面的重影点分别为前遮后、上遮下、左遮右，不可见点的投影字母加括号表示。

空间点的相对位置，可以在三面投影中直接反映出来，如图2-9（b）所示，在三棱柱上的两点A、B，在V面上反映两点上下、左右关系，H面上反映两点左右、前后关系，W面上反映两点上下、前后关系。

3．直线的投影

直线的投影一般仍为直线。由几何学知道，空间两点决定一直线，因此要作直线的投影，只需作出直线段上两点的投影（两点在同一投影面上的投影称为同面投影）。

直线垂直于投影面其投影积聚为一点，直线平行与投影面其投影把实形现，直线倾斜于投影面，其投影长度直线对投影面的相对位置：

（1）一般位置直线：对三个投影面都倾斜的直线。

（2）特殊位置直线：平行于一个投影面的直线，垂直于一个投影面的直线

1）一般位置直线及直线上点的投影。一般位置直线倾斜于各投影面，各投影长度小于实长，各投影均不平行各投影轴，投影与投影轴的夹角不反映直线对投影面的倾角。

点在直线上，由正投影的基本性质可知，应有下列投影特性：

①点的投影必在直线的同面投影上（从属性）。如图2-10所示，在直线AB上有一点M，点M的三面投影m、m′、m″分别在直线AB的同面投影ab、a′b′、a″b″上。

②点分线段之比等于其投影之比（定比性）。如图2-10，点M分AB成AM和BM，有AM∶BM=am∶bm=a′m′∶b′m′=a″m″∶b″m″。

2）特殊位置直线。

4．平面的投影

一般位置平面图：一般位置平面的投影如图2-11所示，由于△ABC对V、H、W面都倾斜，因此其三面投影都是三角形，为原平面图形的类似形，且面积比原图形小。

平面对H、V、W面的倾角，分别用α、β、γ来表示。

特殊位置平面的投影特性：

投影面垂直面的投影见表2-5。

投影面平行面的投影：

平面内的点和直线：平面内取点和直线 点属于平面的几何条件是：点必须在平面内的一条直线上。因此要在平面内取点，必须过点在平面内取一条已知直线。如图2-12在△ABC所确定的平面内取一点N，点N取在已知直线AB上，即在a′b′上取n′，在ab上求取n，因此点N必在该平面内。

直线属于平面的几何条件是：该直线必通过此平面内的两个点或通过该平面内一点且平行于该平面内的另一已知直线。

依此条件，可在平面内取直线，如图2-13（a）在DE和EF相交直线所确定的平面内取两点M和N，直线MN必在该平面内。图2-13（b）为过M作直线MN∥EF，则直线MN必在该平面内。

在平面内取点和直线是密切相关的，取点要先取直线，而取直线又离不开取点。