模块二 三视图的形成及立体投影

一、任务描述

三视图是物体在三个特定面上的投影，它能很好地反映物体的全貌，起到了用平面图形刻画立体图形（实际物体）的作用，要求学生正确理解和掌握三视图的概念和画法，所以在讲解时要时时结合物体的长、宽、高与各个视图的关系，把实物和视图紧密地结合起来，这样可以化解知识的难点。

学习目标：

（1）使学生感受到从不同的角度观察同一物体会得到不同的视图，培养学生全面观察物体的能力，会从投影的角度理解视图的概念。

（2）能辨别简单物体的三视图，了解主视图、俯视图、左视图的关系。

（3）了解各个视图之间的尺寸关系；长对正、高平齐、宽相等。

（4）会画简单物体的三视图。

（5）培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，使学生体会从生活中发现数学。

（6）在应用数学解决生活问题的过程中，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情。

学习重点：

（1）从投影的角度加深对三视图概念的理解。

（2）会画简单几何体的三视图。

二、任务实施

任务1：投影规律

分析三视图的形成过程，并填空说明三视图之间的关系。

任务2：补缺线

将轴测图上表示投射方向的箭头注上“主视”、“俯视”或“左视”，并补画视图中所缺的图线（图2-14）。

任务3：补视图

根据一个视图，补画出所缺的两个视图（图2-15）

任务4：三视图绘制

根据轴测图，在方格纸上画出三视图（图2-16）

三、知识链接

三面投影及其投影规律：图2-17中空间三个不同形状的物体，它们在同一个投影面上的正投影却是相同的。

由此可以看出：虽然一个投影面能够准确地表现出形体的一个侧面的形状，但不能表现出形体的全部形状。为了确定物体的形状必须画出物体的多面正投影图——通常是三面正投影图。

通常，采用三个相互垂直的平面作为投影面，构成三投影面体系，如图2-18所示。

水平位置的平面称作水平投影面，用字母H表示；与水平投影面垂直相交呈正立位置的平面称为正立投影面，用字母V表示；位于右侧与H、V面均垂直相交的平面称为侧立投影面，用字母W表示。三个投影面的交线OX、OY、OZ叫投影轴，三个投影轴也相互垂直。

将物体置于H面之上，V面之前，W面之左的空间，如图2-19，按箭头所指的投影方向分别向三个投影面作正投影。

由上往下在H面上得到的投影称作水平投影图（简称平面图）。

由前往后在V面上得到的投影称作正立投影图（简称正面图）。

由左往右在W面上得到的投影称作侧立投影图（简称侧面图）。

为了把空间三个投影面上所得到的投影画在一个平面上，需将三个相互垂直投影面展开摊平成为一个平面。即V面保持不动，H面绕O X轴向下翻转90°, W面绕OZ轴向右翻转90°，使它们与V面处在同一平面上，如图2-20（a）。

在初学投影作图时，最好将投影轴保留，并用细实线画出，如图2-20（b）。

空间形体都有长、宽、高三个方向的尺度。

如一个四棱柱，当它的正面确定之后，其左右两个侧面之间的垂直距离称为长度；前后两个侧面之间的垂直距离称为宽度；上下两个平面之间的垂直距离称为高度，如图2-21。

三面正投影图具有下述投影规律：

（1）投影对应规律：投影对应规律是指各投影图之间在量度方向上的相互对应。

平面、平面长对正（等长）；

正面、侧面高平齐（等高）；

平面、侧面宽相等（等宽）。

从图2-22可以看出，形体的三个投影图之间既有区别，又有联系，三面投影图之间具有下述规律：

投影面展开之后，正平面V、水平面H两个投影左右对齐，这种关系称为“长对正”；正平面V、侧平面W两个投影上下对齐，这种关系称为“高平齐”；水平面H、侧平面W投影都反映形体的宽度，这种关系称为“宽相等”。这三个重要的关系叫做正投影的投影对应规律。

（2）方位对应规律：方位对应规律是指各投影图之间在方向位置上相互对应，如图2-23。

在三面投影图中，每个投影图各反映其中四个方位的情况，即：平面图反映物体的左右和前后；正面图反映物体的左右和上下；侧面图反映物体的前后和上下，如图2-23所示。

由于物体的三面正投影图反映了物体的三个面（上面、正面和侧面）的形状和三个方向（长向、宽向和高向）的尺寸，因此，三面正投影图通常是可以确定物体的形状和大小的。但形体的形状是多种多样的，有些形状复杂的形体，三个投影表达不够清楚，则可增加几个投影，有些形状简单的形体，用两个或一个投影图也能表示清楚，如图2-24。但需注意，两个投影图常常不能准确、肯定地表现出一个形体。

四、三视图画法

1．确定主视图

（1）确定放置位置 要确定主视投影方向，首先解决放置问题。选择组合体的放置位置以自然平稳为原则。并使组合体的表面相对于投影面尽可能多地处于平行或垂直的位置。

（2）确定主视投影方向 选最能反映组合体的形体特征及各个基本体之间的相互位置，并能减少俯、左视图上虚线的那个方向，作为主视图投影方向。

2．选比例，定图幅

画图时，尽量选用1∶1的比例。这样既便于直接估量组合体的大小，也便于画图。按选定的比例，根据组合体长、宽、高预测出三个视图所占的面积，并在视图之间留出标注尺寸的位置和适当的间距，据此选用合适的标准图幅。

3．布图、画基准线

先固定图纸，然后，画出各视图的基准线。每个视图在图纸上的具体位置就确定了。基准线是指画图时测量尺寸的基准，每个视图需要确定两个方向的基准线。一般常用对称中心线，轴线和较大的平面作为基准线，逐个画出各形体的三视图。

4．画法

根据各形体的投影规律，逐个画出形体的三视图。画形体的顺序：一般先实（实形体）后空（挖去的形体）；先大（大形体）后小（小形体）；先画轮廓，后画细节。画每个形体时，要三个视图联系起来画，并从反映形体特征的视图画起，再按投影规律画出其他两个视图。对称图形、半圆和大于半圆的圆弧要画出对称中心线，回转体一定要画出轴线。对称中心线和轴线用细点画线画出。

5．检查

检查、描深、最后再全面检查 底稿画完后，按形体逐个仔细检查。对形体中的垂直面、一般位置面、形体间邻接表面处于相切、共面或相交特殊位置的面、线，用面、线投影规律重点校核，纠正错误和补充遗漏。按标准图线描深，可见部分用粗实线画出，不可见部分用虚线画出。