第2章 Theano基础
第1章我们介绍了NumPy，它是数据计算的基础，更是深度学习框架的基石。但如果直接使用NumPy计算大数据，其性能已成为一个瓶颈。
随着数据爆炸式增长，尤其是图像数据、音频数据等数据的快速增长，迫切需要突破NumPy性能上的瓶颈。需求就是强大动力！通过大家的不懈努力，在很多方面取得可喜进展，如硬件有GPU，软件有Theano、Keras、TensorFlow，算法有卷积神经网络、循环神经网络等。
Theano是Python的一个库，为开源项目，在2008年，由Yoshua Bengio领导的加拿大蒙特利尔理工学院LISA实验室开发。对于解决大量数据的问题，使用Theano可能获得与手工用C实现差不多的性能。另外通过利用GPU，它能获得比CPU上快很多数量级的性能。Theano开发者在2010年公布的测试报告中指出：在CPU上执行程序时，Theano程序性能是NumPy的1.8倍，而在GPU上是NumPy的11倍。这还是2010年的测试结果，近些年无论是Theano还是GPU，性能都有显著提高。
这里我们把Theano作为基础来讲，除了性能方面的跨越外，它还是“符合计算图”的开创者，当前很多优秀的开源工具，如TensorFlow、Keras等，都派生于或借鉴了Theano的底层设计。所以了解Theano的使用，将有助于我们更好地学习TensorFlow、Keras等其他开源工具。
至于Theano是如何实现性能方面的跨越，如何用“符号计算图”来运算等内容，本章都将有所涉猎，但限于篇幅无法深入分析，只做一些基础性的介绍。涵盖的主要内容：
❑ 如何安装Theano。
❑ 符号变量是什么。
❑ 如何设计符号计算图。
❑ 函数的功能。
❑ 共享变量的妙用。
2.1 安装
这里主要介绍Linux+Anaconda+theano环境的安装说明，在CentOS或Ubuntu环境下，建议使用Python的Anaconda发行版，后续版本升级或添加新模块可用Conda工具。当然也可用pip进行安装。但最好使用工具来安装，这样可以避免很多程序依赖的麻烦，而且日后的软件升级维护也很方便。
Theano支持CPU、GPU，如果使用GPU还需要安装其驱动程序如CUDA等，限于篇幅，这里只介绍CPU的（TensorFlow将介绍基于GPU的安装），有关GPU的安装，大家可参考：http://www.deeplearning.net/software/theano/install.html。
以下为主要安装步骤：
1．安装anaconda
从anaconda官网（http://www.anaconda.com/download/）下载Linux环境最新的软件包，Python版本建议选择3系列的，2系列后续将不再维护。下载文件为一个sh程序包，如Anaconda3-4.3.1-Linux-x86_64.sh，然后在下载目录下运行如下命令：
bash Anaconda3-4.3.1-Linux-x86_64.sh
安装过程中按enter或y即可，安装完成后，程序提示是否把anaconda的binary加入到．bashrc配置文件中，加入后运行python、ipython时将自动使用新安装的Python环境。
安装完成后，你可用conda list命令查看已安装的库：
conda list
安装成功的话，应该能看到numpy、scipy、matplotlib、conda等库。
2．安装theano
利用conda来安装或更新程序：
conda install theano
3．测试
先启动Python，然后导入theano模块，如果不报错，说明安装成功。
$ Python
Python 3.6.0 |Anaconda custom (64-bit)| (default, Dec 232016, 12:22:00)
[GCC 4.4.720120313 (Red Hat 4.4.7-1)] on linux
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> import theano
>>>
2.2 符号变量
存储数据需要用到各种变量，那Theano是如何使用变量的呢？Theano用符号变量TensorⅤariable来表示变量，又称为张量（Tensor）。张量是Theano的核心元素（也是TensorFlow的核心元素），是Theano表达式和运算操作的基本单位。张量可以是标量（scalar）、向量（vector）、矩阵（matrix）等的统称。具体来说，标量就是我们通常看到的0阶的张量，如12, a等，而向量和矩阵分别为1阶张量和2阶的张量。
如果通过这些概念，你还不很清楚，没有关系，可以结合以下实例来直观感受一下。
首先定义三个标量：一个代表输入x、一个代表权重w、一个代表偏移量b，然后计算这些标量运算结果z=x*w+b, Theano代码实现如下：
#导入需要的库或模块
import theano
from theano import tensor as T
#初始化张量
x=T.scalar(name='input', dtype='float32')
w=T.scalar(name='weight', dtype='float32')
b=T.scalar(name='bias', dtype='float32')
z=w＊x+b
#编译程序
net_input=theano.function(inputs=[w, x, b], outputs=z)
#执行程序
print('net_input: %2f'% net_input(2.0,3.0,0.5))
打印结果：
net_input: 6.500000
通过以上实例我们不难看出，Theano本身是一个通用的符号计算框架，与非符号架构的框架不同，它先使用tensor variable初始化变量，然后将复杂的符号表达式编译成函数模型，最后运行时传入实际数据进行计算。整个过程涉及三个步骤：定义符号变量，编译代码，执行代码。这节主要介绍第一步如何定义符号变量，其他步骤将在后续小节介绍。
如何定义符号变量？或定义符号变量有哪些方式？在Theano中定义符号变量的方式有三种：使用内置的变量类型、自定义变量类型、转换其他的变量类型。具体如下：
1．使用内置的变量类型创建
目前Theano支持7种内置的变量类型，分别是标量（scalar）、向量（vector）、行（row）、列(col)、矩阵(matrix)、tensor3、tensor4等。其中标量是0阶张量，向量为1阶张量，矩阵为2阶张量等，以下为创建内置变量的实例：
import theano
from theano import tensor as T
x=T.scalar(name='input', dtype='float32')
data=T.vector(name='data', dtype='float64')
其中，name指定变量名字，dtype指变量的数据类型。
2．自定义变量类型
内置的变量类型只能处理4维及以下的变量，如果需要处理更高维的数据时，可以使用Theano的自定义变量类型，具体通过TensorType方法来实现：
import theano
from theano import tensor as T
mytype=T.TensorType('float64', broadcastable=(), name=None, sparse_grad=False)
其中broadcastable是True或False的布尔类型元组，元组的大小等于变量的维度，如果为True，表示变量在对应维度上的数据可以进行广播，否则数据不能广播。
广播机制（broadcast）是一种重要机制，有了这种机制，就可以方便地对不同维的张量进行运算，否则，就要手工把低维数据变成高维，利用广播机制系统自动复制等方法把低维数据补齐（MumPy也有这种机制）。以下我们通过图2-1所示的一个实例来说明广播机制原理。
图2-1 广播机制
图2-1中矩阵与向量相加的具体代码如下：
import theano
import numpy as np
import theano.tensor as T
r=T.row()
r.broadcastable
# (True, False)
mtr=T.matrix()
mtr.broadcastable
# (False, False)
f_row=theano.function([r, mtr], [r + mtr])
R=np.arange(1,3).reshape(1,2)
print(R)
#array([[1, 2]])
M=np.arange(1,7).reshape(3, 2)
print(M)
#array([[1, 2],
# [3, 4],
# [5, 6]])
f_row(R, M)
#[array([[ 2., 4.],
# [ 4., 6.],
# [ 6., 8.]])]
3．将Python类型变量或者NumPy类型变量转化为Theano共享变量
共享变量是Theano实现变量更新的重要机制，后面我们会详细讲解。要创建一个共享变量，只要把一个Python对象或NumPy对象传递给shared函数即可，如下所示：
import theano
import numpy as np
import theano.tensor as T
data=np.array([[1,2], [3,4]])
shared_data=theano.shared(data)
type(shared_data)
2.3 符号计算图模型
符号变量定义后，需要说明这些变量间的运算关系，那如何描述变量间的运算关系呢？Theano实际采用符号计算图模型来实现。首先创建表达式所需的变量，然后通过操作符（op）把这些变量结合在一起，如前文图2-1所示。
Theano处理符号表达式时是通过把符号表达式转换为一个计算图（graph）来处理（TensorFlow也使用了这种方法，等到我们介绍TensorFlow时，大家可对比一下），符号计算图的节点有：variable、type、apply和op。
❑ variable节点：即符号的变量节点，符号变量是符号表达式存放信息的数据结构，可以分为输入符号和输出符号。
❑ type节点：当定义了一种具体的变量类型以及变量的数据类型时，Theano为其指定数据存储的限制条件。
❑ apply节点：把某一种类型的符号操作符应用到具体的符号变量中，与variable不同，apply节点无须由用户指定，一个apply节点包括3个字段：op、inputs、outputs。
❑ op节点：即操作符节点，定义了一种符号变量间的运算，如+、-、sum()、tanh()等。
Theano是将符号表达式的计算表示成计算图。这些计算图是由Apply和 Ⅴariable将节点连接而组成，它们分别与函数的应用和数据相连接。操作由op实例表示，而数据类型由type实例表示。下面这段代码和图2-2说明了这些代码所构建的结构。借助这个图或许有助于你进一步理解如何将这些内容拟合在一起：
import theano
import numpy as np
import theano.tensor as T
x=T.dmatrix('x')
y=T.dmatrix('y')
z=x + y
图2-2 符号计算图
图2-2中箭头表示指向Python对象的引用。中间大的长方形是一个Apply节点，3个圆角矩形（如X）是 Ⅴariable节点，带+号的圆圈是ops,3个圆角小长方形（如matrix）是Types。
在创建 Ⅴariables之后，应用Apply ops得到更多的变量，这些变量仅仅是一个占位符，在function中作为输入。变量指向Apply节点的过程是用来表示函数通过owner域来生成它们。这些Apply节点是通过它们的inputs和outputs域来得到它们的输入和输出变量。
x和y的owner域的指向都是None，这是因为它们不是另一个计算的结果。如果它们中的一个变量是另一个计算的结果，那么owner域将会指向另一个蓝色盒。
2.4 函数
上节我们介绍了如何把一个符号表达式转化为符号计算图，这节我们介绍函数的功能，函数是Theano的一个核心设计模块，它提供一个接口，把函数计算图编译为可调用的函数对象。前面介绍了如何定义自变量x(不需要赋值)，这节介绍如何编写函数方程。
1．函数定义的格式
先来看一下函数格式示例：
theano.function(inputs, outputs, mode=None, updates=None, givens=None, no_
default_updates=False, accept_inplace=False, name=None, rebuild_strict=True, allow_
input_downcast=None, profile=None, on_unused_input='raise')。
这里参数看起来很多，但一般只用到三个：inputs表示自变量；outputs表示函数的因变量（也就是函数的返回值）；还有一个比较常用的是updates参数，它一般用于神经网络共享变量参数更新，通常以字典或元组列表的形式指定。此外，givens是一个字典或元组列表，记为[(var1, var2)]，表示在每一次函数调用时，在符号计算图中，把符号变量var1节点替换为var2节点，该参数常用来指定训练数据集的batch大小。
下面我们看一个有多个自变量，同时又有多个因变量的函数定义例子：
import theano
x, y =theano.tensor.fscalars('x', 'y')
z1= x + y
z2=x＊y
#定义x、y为自变量，z1、z2为函数返回值（因变量）
f =theano.function([x, y], [z1, z2])
#返回当x=2, y=3的时候，函数f的因变量z1, z2的值
print(f(2,3))
打印结果：
[array(5.0, dtype=float32), array(6.0, dtype=float32)]
在执行theano.function()时，Theano进行了编译优化，得到一个end-to-end的函数，传入数据调用f(2,3)时，执行的是优化后保存在图结构中的模型，而不是我们写的那行z=x+y，尽管二者结果一样。这样的好处是Theano可以对函数f进行优化，提升速度；坏处是不方便开发和调试，由于实际执行的代码不是我们写的代码，所以无法设置断点进行调试，也无法直接观察执行时中间变量的值。
2．自动求导
有了符号计算，自动计算导数就很容易了。tensor.grad()唯一需要做的就是从outputs逆向遍历到输入节点。对于每个op，它都定义了怎么根据输入计算出偏导数。使用链式法则就可以计算出梯度了。利用Theano求导时非常方便，可以直接利用函数theano.grad()，比如求s函数的导数：
以下代码实现当x=3的时候，求s函数的导数：
import theano
x =theano.tensor.fscalar('x')#定义一个float类型的变量x
y= 1 / (1 + theano.tensor.exp(-x))#定义变量y
dx=theano.grad(y, x)#偏导数函数
f= theano.function([x], dx)#定义函数f，输入为x，输出为s函数的偏导数
print(f(3))#计算当x=3的时候，函数y的偏导数
打印结果：
0.045176658779382706
3．更新共享变量参数
在深度学习中通常需要迭代多次，每次迭代都需要更新参数。Theano如何更新参数呢？在theano.function函数中，有一个非常重要的参数updates。updates是一个包含两个元素的列表或tuple，一般示例为updates=[old_w, new_w]，当函数被调用的时候，会用new_w替换old_w，具体看下面这个例子。
import theano
w= theano.shared(1)#定义一个共享变量w，其初始值为1
x=theano.tensor.iscalar('x')
f=theano.function([x], w, updates=[[w, w+x]])#定义函数自变量为x，因变量为w，当函数执
行完毕后，更新参数w=w+x
print(f(3))#函数输出为w
print(w.get_value())#这个时候可以看到w=w+x为4
打印结果：
1、4
在求梯度下降的时候，经常用到updates这个参数。比如updates=[w, w-α*(dT/dw)]，其中dT/dw就是梯度下降时，代价函数对参数w的偏导数，α是学习速率。为便于大家更全面地了解Theano函数的使用方法，下面我们通过一个逻辑回归的完整实例来说明：
import numpy as np
import theano
import theano.tensor as T
rng=np.random
# 我们为了测试，自己生成10个样本，每个样本是3维的向量，然后用于训练
N=10
feats=3
D=(rng.randn(N, feats).astype(np.float32), rng.randint(size=N, low=0, high=2).
astype(np.float32))
# 声明自变量x、以及每个样本对应的标签y(训练标签)
x=T.matrix("x")
y=T.vector("y")
#随机初始化参数w、b=0，为共享变量
w=theano.shared(rng.randn(feats), name="w")
b=theano.shared(0., name="b")
#构造代价函数
p_1=1 / (1 + T.exp(-T.dot(x, w) - b)) # s激活函数
xent=-y ＊ T.log(p_1) - (1-y) ＊ T.log(1-p_1) # 交叉商代价函数
cost=xent.mean() + 0.01 ＊ (w ＊＊ 2).sum()# 代价函数的平均值+L2正则项以防过拟合，其中
权重衰减系数为0.01
gw, gb=T.grad(cost, [w, b]) #对总代价函数求参数的偏导数
prediction=p_1 > 0.5 # 大于0.5预测值为1，否则为0.
train=theano.function(inputs=[x, y], outputs=[prediction, xent], updates=((w, w -
0.1 ＊ gw), (b, b -0.1 ＊ gb)))#训练所需函数
predict=theano.function(inputs=[x], outputs=prediction)#测试阶段函数
#训练
training_steps=1000
for i in range(training_steps):
pred, err=train(D[0], D[1])
print (err.mean())#查看代价函数下降变化过程
2.5 条件与循环
编写函数需要经常用到条件语句或循环语句，这节我们就简单介绍Theano如何实现条件判断或逻辑循环。
1．条件判断
Theano是一种符号语言，条件判断不能直接使用Python的if语句。在Theano可以用ifelse和switch来表示判定语句。这两个判定语句有何区别呢？
switch对每个输出变量进行操作，ifelse只对一个满足条件的变量操作。比如
对语句：
switch(cond, ift, iff)
如果满足条件，则switch既执行ift也执行iff。而对语句：
if cond then ift else iff
ifelse只执行ift或者只执行iff。
下面通过一个示例进一步说明：
from theano import tensor as T
from theano.ifelse import ifelse
import theano, time, numpy
a, b=T.scalars('a', 'b')
x, y=T.matrices('x', 'y')
z_switch=T.switch(T.lt(a, b), T.mean(x), T.mean(y))#lt:a < b?
z_lazy=ifelse(T.lt(a, b), T.mean(x), T.mean(y))
#optimizer:optimizer的类型结构（可以简化计算，增加计算的稳定性）
#linker：决定使用哪种方式进行编译(C/Python)
f_switch=theano.function([a, b, x, y], z_switch, mode=theano.Mode(linker='vm'))
f_lazyifelse = theano.function([a, b, x, y], z_lazy, mode=theano.
Mode(linker='vm'))
val1=0.
val2=1.
big_mat1=numpy.ones((1000, 100))
big_mat2=numpy.ones((1000, 100))
n_times=10
tic=time.clock()
for i in range(n_times):
f_switch(val1, val2, big_mat1, big_mat2)
print('time spent evaluating both values %f sec' % (time.clock() - tic))
tic=time.clock()
for i in range(n_times):
f_lazyifelse(val1, val2, big_mat1, big_mat2)
print('time spent evaluating one value %f sec' % (time.clock() - tic))
打印结果：
time spent evaluating both values 0.005268 sec
time spent evaluating one value 0.007501 sec
2．循环语句
scan是Theano中构建循环Graph的方法，scan是个灵活复杂的函数，任何用循环、递归或者跟序列有关的计算，都可以用scan完成。其格式如下：
theano.scan(fn, sequences=None, outputs_info=None, non_sequences=None, n_
steps=None, truncate_gradient=-1, go_backwards=False, mode=None, name=None,
profile=False, allow_gc=None, strict=False)
参数说明：
❑ fn：一个lambda或者def函数，描述了scan中的一个步骤。除了outputs_info, fn可以返回sequences变量的更新updates。fn的输入变量的顺序为sequences中的变量、outputs_info的变量、non_sequences中的变量。如果使用了taps，则按照taps给fn喂变量。taps的详细介绍会在后面的例子中给出。
❑ sequences:scan进行迭代的变量，scan会在T.arange()生成的list上遍历，例如下面的polynomial例子。
❑ outputs_info：初始化fn的输出变量，和输出的shape一致。如果初始化值设为None，表示这个变量不需要初始值。
❑ non_sequences:fn函数用到的其他变量，迭代过程中不可改变（unchange）。
❑ n_steps:fn的迭代次数。
下面通过一个例子解释scan函数的具体使用方法。
代码实现思路是：先定义函数one_step，即scan里的fn，其任务就是计算多项式的一项，scan函数返回的result里会保存多项式每一项的值，然后我们对result求和，就得到了多项式的值。
import theano
import theano.tensor as T
import numpy as np
# 定义单步的函数，实现a＊x^n
# 输入参数的顺序要与下面scan的输入参数对应
def one_step(coef, power, x):
return coef ＊ x ＊＊ power
coefs=T.ivector() # 每步变化的值，系数组成的向量
powers=T.ivector() # 每步变化的值，指数组成的向量
x=T.iscalar() # 每步不变的值，自变量
# seq, out_info, non_seq与one_step函数的参数顺序一一对应
# 返回的result是每一项的符号表达式组成的list
result, updates=theano.scan(fn=one_step,
sequences=[coefs, powers],
outputs_info=None,
non_sequences=x)
# 每一项的值与输入的函数关系
f_poly=theano.function([x, coefs, powers], result, allow_input_downcast=True)
coef_val=np.array([2,3,4,6,5])
power_val=np.array([0,1,2,3,4])
x_val=10
print("多项式各项的值： ", f_poly(x_val, coef_val, power_val))
#scan返回的result是每一项的值，并没有求和，如果我们只想要多项式的值，可以把f_poly写成这样：
# 多项式每一项的和与输入的函数关系
f_poly = theano.function([x, coefs, powers], result.sum(), allow_input_
downcast=True)
print("多项式和的值：", f_poly(x_val, coef_val, power_val))
打印结果：
多项式各项的值： [ 2 30 400 600050000]
多项式和的值： 56432
2.6 共享变量
共享变量（shared variable）是实现机器学习算法参数更新的重要机制。shared函数会返回共享变量。这种变量的值在多个函数可直接共享。可以用符号变量的地方都可以用共享变量。但不同的是，共享变量有一个内部状态的值，这个值可以被多个函数共享。它可以存储在显存中，利用GPU提高性能。我们可以使用get_value和set_value方法来读取或者修改共享变量的值，使用共享变量实现累加操作。
import theano
import theano.tensor as T
from theano import shared
import numpy as np
#定义一个共享变量，并初始化为0
state=shared(0)
inc=T.iscalar('inc')
accumulator=theano.function([inc], state, updates=[(state, state+inc)])
# 打印state的初始值
print(state.get_value())
accumulator(1) # 进行一次函数调用
# 函数返回后，state的值发生了变化
print(state.get_value())
这里state是一个共享变量，初始化为0，每次调用accumulator(), state都会加上inc。共享变量可以像普通张量一样用于符号表达式，另外，它还有自己的值，可以直接用．get_value()和．set_value()方法来访问和修改。
上述代码引入了函数中的updates参数。updates参数是一个list，其中每个元素是一个元组(tuple)，这个tuple的第一个元素是一个共享变量，第二个元素是一个新的表达式。updatas中的共享变量会在函数返回后更新自己的值。updates的作用在于执行效率，updates多数时候可以用原地（in-place）算法快速实现，在GPU上，Theano可以更好地控制何时何地给共享变量分配空间，带来性能提升。最常见的神经网络权值更新，一般会用update实现。
2.7 小结
Theano基于NumPy，但性能方面又高于NumPy。因Theano采用了张量(Tensor)这个核心元素，在计算方面采用符号计算模型，而且采用共享变量、自动求导、利用GPU等适合于大数据、深度学习的方法，其他很多开发项目也深受这些技术和框架影响。本章主要为后续介绍TensorFlow做个铺垫。