2.6 双曲几何的历史渊源

这里我们不妨对双曲几何发现的历史做些回顾。在大约公元前300年欧几里得几何原本发表后的几个世纪里，不少数学家都试图用其他公理和公设来证明第五公设。这些努力在1733年以萨凯里（Jesuit Girolamo Saccheri，1667～1733）的史诗般的工作达到顶点。但似乎萨凯里本人一定以为他的这项倾注了毕生心血的工作是一个错误，充其量只是一个未完成的尝试——他试图通过证明每个三角形的内角和小于两直角的假设必将导致矛盾的思路来证明平行公设。虽经巨大的努力，但他仍无法从逻辑上做到这一点，最后他相当不肯定地总结道：

锐角假设绝对是个错误，因为它与直线性质相矛盾。[5]

“锐角”假设认为，图2.8中的直线a和b有时不相交。实际上，这不仅是可能的，而且直接导致双曲几何！

萨凯里是怎么发觉他要证明的东西是不可能的呢？他用于证明欧几里得第五公设的思路是：先假设第五公设是错的，然后从这个假设推出矛盾。这是一种最为悠久且极富成效的数学推理方法——最早可能还是毕达哥拉斯引入的——称为反证法（或称归谬法）。按这种方法，为了要证明某个命题为真，我们首先得假设该命题不成立，然后从中推出矛盾。找到了矛盾也就证明了原命题为真。[6]在数学推理中，反证法是一种相当有力的方法，今天我们依然经常使用。杰出的数学家哈代（G. H. Hardy，1877～1947）的一番话很值得引述于此：

欧几里得极为偏爱的归谬法是数学家最好使的一种武器。这是一种比象棋中任何开局谋略都更为精巧的谋略：棋手可能会牺牲一个兵或其他棋子来开局，而数学家牺牲的则是整个棋局。[7]

以后我们还会看到这一重要原理的其他应用（见§3.1和§§16.4，6）。

然而，萨凯里没能从他的证明过程中发现任何矛盾。因此他无法得到对第五公设的证明。但在证明过程中，他事实上发现了远为重要的东西：一种不同于欧几里得几何的新几何——这就是§§2.4，5里讨论的我们现在称为双曲几何的那种几何。从欧几里得第五公设不成立的假设中，他没导出矛盾，倒是导出一堆看上去奇怪、令人难以置信但却十分有趣的定理。这些结果尽管看上去古怪，但却没有一个有矛盾。现在我们知道，萨凯里用这种方法是不可能有机会找出真正的矛盾的，因为道理很简单，从数学上具有相容性结构这一点上看，双曲几何确实是存在的。用§1.3的术语来说就是，双曲几何是居于柏拉图数学形式世界里的。（双曲几何的物理实在问题见§2.7和§28.10。）

萨凯里之后不久，目光深邃的数学家兰伯特也从欧几里得第五公设不成立的假设中导出一堆令人惊奇的几何结果，其中就包括§2.4所述的用内角和来表达双曲三角形面积公式这样的漂亮结果。似乎有迹象表明，至少在他晚年，兰伯特很可能已经形成了这样的观点：从否定欧几里得第五公设出发，或许能够得到一种相容的几何。兰伯特作此猜测的理由似乎是建立在他的这样一种预想基础上的：理论上有可能存在基于“虚半径球面”（即“半径平方”为负数）的几何。兰伯特公式π－（α+β+γ）=CΔ给出了双曲三角形的面积Δ，其中α，β和γ是三角形的三个角，C是一常数（－C就是所谓双曲平面的“高斯曲率”）。这个公式看上去与更早以前哈里奥特（Thomas Hariot，1560～1621）得到的球面三角形面积公式Δ=R2（α+β+γ－π）非常相似，所谓球面三角形是指由半径为R的球面上的大圆弧[8]所框出的区域（图2.20）。***〔2.8〕为了回到兰伯特公式，我们令

图2.20 球面三角形的哈里奥特公式Δ=R2（α+β+γ－π），其中α，β和γ是球面三角形的三个角。在双曲三角形的兰伯特公式里，只要令C=－1/R2即可得到上述哈里奥特公式。

但是，要得到双曲几何所需的正的C值，我们必须要求球面半径为“虚数”（即负数的平方根）。这样，半径R由虚数（－C）－1/2给出。这也就是为什么我们把§2.4引入的实量C－1/2称为“伪半径”。实际上，兰伯特的方法从我们当今更现代的观点（见第4章和§18.4）看是相当合理的，这说明他具有足以预见到这一点的深邃眼光。

但传统的观点（我认为有点不公正）拒绝给予兰伯特以第一个构造非欧几何的荣誉，而是认为这第一人的荣誉应当属于（半个世纪后的）大数学家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777～1855），因为他第一个明确接受了一种有别于欧几里得几何的充分相容的几何，在这种几何中，平行公设不成立。作为一个异常谨慎的人，同时又担心这一惊人发现将引起争论，高斯没有公布他的发现，而是采取秘而不宣。[9]在高斯开始此项研究的30年后，双曲几何又再次为其他一些人独立发现，这其中就包括波尔约（Hungarian János Bolyai，1775～1856，1829年前后）和（尤其是）俄罗斯几何学家罗巴切夫斯基（Nicolai Ivanovich Lobachvsky，1792～1856，1826年前后）（因此双曲几何经常也称为罗巴切夫斯基几何）。

前面所述的双曲几何的射影表示和共形表示都是由贝尔特拉米发现并于1868年发表，文章中还包括了诸如半球表示这样的其他一些优美的表示。然而，通常人们将共形表示称为“庞加莱模型”，因为庞加莱于1882年对这一表示的再发现比贝尔特拉米的原创性工作更出名（主要是因为庞加莱对这一表示进行了重要的应用）。[10]无独有偶，可怜的老贝尔特拉米的射影表示则经常被冠以“克莱因表示”。在数学上，一个数学概念不以其最初发现者的名字命名，这并非鲜见。在眼下的这个例子中，至少庞加莱重新发现了共形表示（克莱因则是于1871年重新发现了射影表示）。数学上还有些概念其被命名的数学家甚至不知道有此结果！[11]

图2.21 （a）伪球面。它可通过旋转（b）曳物线来获得。为了得到曳物线，想象在一个水平面上有一根直的轻质无摩擦刚性棒，其一端P固连着一个点状重物，另一端R沿渐近（直）线移动，于是P点描绘出一条曳物线。

有一种以贝尔特拉米著称的双曲几何表示（这是他1868年发现的），这就是所谓伪球面上的几何表示（图2.21）。这种曲面可通过旋转曳物线来获得，牛顿在1676年首次研究了这种曲线及其“渐近线”。所谓渐近线是一条曲线逐步靠近的直线，当曲线趋于无穷时它与曲线渐近相切。这里，我们可以将渐近线想象成是画在质地粗糙的水平面上的。好比有一根直的轻质刚性棒，其一端P固连着一个点状重物，另一端R沿渐近线移动。于是P点描绘出一条曳物线。明金（F. G. Minding，1806～1885）在1839年发现，伪球面有一个负常数的内在几何。贝尔特拉米正是根据这个事实构造了第一个双曲几何模型。由于这种伪球面模型的双曲距离度量与沿曲面的欧几里得距离的度量相一致，因此它似乎能够说服数学家接受平面双曲几何的相容性。然而，它也是一个有点蹩脚的模型，因为它只能对双曲几何作局部表示，而不能像贝尔特拉米的其他模型那样进行整体的表示。