2.7 与物理空间的关系

双曲几何在高维下也有完美的表现。此外，存在着高维的共形表示和射影表示。对三维双曲几何，边界圆替换为边界球面。整个无限大的三维双曲几何由这个有限的欧几里得球面的内部来代表。其余的基本上与我们以前的一样。在共形表示里，三维双曲几何中的直线表现为与边界球面垂直相交的欧几里得圆，角则直接由欧几里得度量给出，距离公式同二维情形。在射影表示下，双曲直线就是欧几里得直线，距离公式也与二维情形下一样。

实际的宇宙在宇宙学尺度上的情形会是怎样的呢？我们能够期望它的空间几何是欧几里得的吗？抑或它更接近于其他某种几何，例如我们在§§2.4～6所考察的著名的双曲几何（当然是其三维形式）？这确实是个严肃的问题。从爱因斯坦的广义相对论（§17.9和§19.6）我们知道，欧几里得几何只是对实际物理空间的几何的一种（极为精确的）近似。这种物理几何甚至不是严格均匀的，总存在一些由物质密度所引起的波纹起伏。但据宇宙学家当前所能得到的最好的观察资料显示，这些波纹似乎可以在宇宙学尺度上被平均到一个相当好的程度（见§27.13和§§28.4～10），实际宇宙的空间几何极为接近于均匀的（分布均匀且各向同性——见§27.11）几何。至少欧几里得的前四条公设是经得起时间检验的。

有些事情需要在这里澄清一下。基本上说，满足均匀性（各点性质都一样）和各向同性（各方向性质都一样）条件的几何大致有3种：欧几里得型的、双曲型的和椭圆型的。欧几里得几何我们是再熟悉不过了（已存在了23个世纪）。双曲几何则是本章的主题。但什么是椭圆几何呢？根本上说，椭圆平面几何就是那种球面上图形所满足的几何。我们在§2.6讨论兰伯特的双曲几何时见到过它。图2.22a，b，c分别是椭圆、欧几里得和双曲三种几何下用相似的天使和魔鬼镶嵌成的埃舍尔的画，其中第三种是图2.11的一种有趣的替代品。（还存在三维的椭圆几何及其各种表示，在这些表示中，球面对径的两点被认为表示的是同一点。这些问题我们将放在§27.11进行较深入的讨论。）但是，椭圆情形被认为违反了欧几里得第二和第三公设（也就包括了第一公设）。因为这是一种范围有限的几何（因此两点间可有多条线段）。

那么宇宙的大尺度空间几何的观察结果又是如何的呢？凭心而论，我们并不清楚，虽然最近出现了不少广为宣传的论调，声称欧几里得几何还是对的，它的第五公设也仍然成立，就是说平均而言，空间的几何性质仍是“欧几里得型的”。[12]另一方面，也有证据（一些证据来自同一类实验）较为肯定地宣称，宇宙空间总体上是双曲型的。[13]除此之外，也有些理论家一直在为椭圆模型进行争论，这种情形是不可能用同样支持欧几里得模型的证据来排除的（见§34.4后半部分）。读者会注意到，这个问题仍然充满争议，经常还会引起激烈的争吵。在本书的后面几章，我将给出许多与此有关的观点（我并不打算隐瞒我自己对双曲模型的偏好，但我会尽可能公正地介绍其他观点）。

对那些像我这样为双曲几何的美所吸引，同时也对现代物理的宏大感到由衷赞叹的人来说，这种极好的几何还有另一种作用，这就是它对理解现代物理宇宙所具有的无可争议的基础性作用。按照现代的相对论理论，速度空间一定是三维双曲几何的（见§18.4），而不是那种在古老的牛顿理论中才成立的欧几里得几何。这将有助于我们理解解开相对论的某些谜团。例如，想象一下，一艘正以接近光速的速度掠过建筑物的飞船以差不多相同的速度向前抛射出一个物体。然而，该物体相对于建筑物的速度永远不可能超过光速。对于这种不可能性，我们在§18.4可以从双曲几何角度找到一个直接的解释。这些引人入胜的问题只有在后面的章节才能够展开论述。

毕达哥拉斯定理的情形又如何呢？我们已看到，它在双曲几何下不成立。那么难道我们就这么放弃祖先传下来的这一伟大遗产吗？不会的，就双曲几何——以及所有各种从双曲几何推广而来的“黎曼”几何（它们构成爱因斯坦广义相对论的基本框架，见§13.8，§14.7，§18.1和§19.6）——而言，在小尺度极限方面毕达哥拉斯定理仍起着关键性作用。何况，毕达哥拉斯定理的巨大影响早已深入到数学和物理的广泛领域（例如量子力学的“幺正”度规结构，见§22.3）。尽管这一定理从某种意义上说已为“大尺度”距离上的相应定理所取代，但它在小尺度几何结构方面仍具有中心地位，它的应用范围远远超出了最初提出时的预想。

图2.22 用埃舍尔的天使和魔鬼拼贴画显示的均匀平面几何的三种基本型。（a）椭圆型（正曲率）；（b）欧几里得型（零曲率）和（c）双曲型（负曲率）。它们都是共形表示（埃舍尔作品《圆极限Ⅳ》，与图2.17比较）。