3.3.3　epsilon

实际上，由于位数所限，并不是每个实数都能在计算机中有准确的表达，计算机中的浮点型数值也只是实数集很小的子集之一。所以，计算机中相邻两个浮点型值之间存在着“缝隙”，是其无法表达的实数区域，也影响着科学计算的精度。为了能够评估这种误差，相邻浮点值间这种缝隙的宽度被称为epsilon值。

Julia中可通过eps（）获得某个浮点值附近的epsilon值，下面以Float64类型的浮点数为例：

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julia> eps(100000.0)
1.4551915228366852e-11

julia> eps(1000.0)
1.1368683772161603e-13

julia> eps(100.0)
1.4210854715202004e-14

julia> eps(1.0)
2.220446049250313e-16

julia> eps(-1.0)
2.220446049250313e-16

julia> eps(1e-27)
1.793662034335766e-43

julia> eps(0.0)
5.0e-324

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细心的读者能够发现，浮点值不同时epsilon值也不同。

实际上，随着浮点值（绝对值）从大到小，epsilon值会呈指数级骤减，到零值处最小。而且epsilon值的大小关于零点对称，与浮点值的正负无关。换言之，在计算机能够表达的浮点数集合中，越靠近零点，数值的分布越稠密；而远离零点时，则会变得越来越稀疏，精度也会越来越差。

也可以直接取得某个浮点类型的epsilon值，代码如下：

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julia> eps(Float16)        # 等于eps(one(Float16))
Float16(0.000977)

julia> eps(Float32)        # 等于eps(one(Float32))
1.1920929f-7

julia> eps(Float64)        # 等于eps(one(Float64))
2.220446049250313e-16

julia> eps()               # 等于eps(one(Float64))
2.220446049250313e-16

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不过以类型获得epsilon值时，上报的“缝隙”值实际是浮点值为1.0处的情况。若调用该函数未提供参数，则取默认浮点类型在值为1.0处的epsilon值，例如在64位系统中，esp（）相当于eps（one（Float64））。

正是由于epsilon值的存在，计算机中的浮点数并不是无限稠密的，而是一系列离散的数值。而且离散的浮点数是有序的，所以可以进行逐一遍历。

内置的nextfloat（）与prefloat（）函数可以分别获得某个浮点值的后继与前继浮点值。例如：

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julia> x = 1.25f0
1.25f0

julia> nextfloat(x)
1.2500001f0

julia> prevfloat(x)
1.2499999f0

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如果我们查看x及其前继、后继的在二进制表达，便能够发现它们之间的大小只差一个进制位，即：

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julia> bitstring(prevfloat(x))
"00111111100111111111111111111111"

julia> bitstring(x)
"00111111101000000000000000000000"

julia> bitstring(nextfloat(x))
"00111111101000000000000000000001"

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这实际也是浮点表达中epsilon值存在的重要原因。

当然，也可以通过x+eps（x）或x-eps（x）分别获得x的后继与前继值，代码如下：

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julia> x + eps(x)                                         # 等于nextfloat(x)
1.2500001f0

julia> x - eps(x)                                          # 等于nextfloat(x)
1.2499999f0

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这样的遍历操作在一些需要高精度数值迭代的场景会比较有用。