第5章 最优投资率的存在性

5.1 最优投资率的存在性

5.1.1 凯恩斯—拉姆齐法则

关于最优投资率的研究一般可以追溯到拉姆齐（Frank P. Ramsey, 1928）关于最优储蓄的研究。为了求出最优储蓄（率），拉姆齐预设了三个基本假定：①人口保持不变；②不存在技术进步；③没有效用贴现。进一步，他认为人的根本欲求是实现“极乐”，他所说的“极乐”，即一个人最大可得的享乐率。因此，人的行动就是进行足够的储蓄以达到或无限接近“极乐”。那么在只存在一种商品的条件下，用数学的方法把上述观点描述出来就是：人们应该在无限长的时间上最小化“极乐”与现实享乐之间的差，即：

式中B代表“极乐”值，U（C）代表消费的效用，V（L）代表劳动的负效用，现实的享乐等于消费效用减去劳动的负效用，F（·）代表产出，K为资本存量，L为劳动。

通过运用约束条件，可以对方程（5 －1）中的积分变量进行变形处理，可得：

由于C和L是K的任意函数，因此只要求解被积函数的一阶条件，就可以得到最小值。对式（5－2）中被积函数取C的导数，得：

方程（5－3）的左边是投资率或储蓄率，右边为“极乐”与现实享乐的差除以消费的边际效用。这就是拉姆齐的最优储蓄法则。由于凯恩斯对这一法则做出了直观解释，因此这一法则也常被称为“凯恩斯—拉姆齐”法则。

拉姆齐的模型确立了最优投资率的存在性，并由此奠定了研究最优积累和最优增长的基础。拉姆齐用这个模型推断，最优储蓄率应“大大地超过人们通常提出的储蓄率”。在一个例子中，他计算的最优储蓄率为60%。

拉姆齐的文章大约在发表30年后，才引起研究者们的普遍重视。人们研究的主要议题是拉姆齐的结论是否站得住脚，以及这个结论是否对于他的三个假定过于敏感。

丁伯根（Tinbergen, 1960）、古德温（Goodwin, 1961）和查克拉瓦蒂（Chakravaty, 1962）率先从发展理论角度进行了研究。他们认为，即使在比较简单的情况下，对于无限延续的未来，最优路径也并非总是存在。这对凯恩斯—拉姆齐法则是一个严峻的挑战。库普曼斯（Koopmans, 1960）的研究则表明拉姆齐假定的特殊性是十分明显的。事实上，拉姆齐自己也认为，他所使用的方法是“一个在伦理上站不住脚，仅仅是由于想象力薄弱而产生的实践”。

随着增长理论的发展，人们不再满足于静态分析，而是更加关注长期均衡增长问题。这意味着拉姆齐“不存在人口增长”、“不存在技术及进步”以及“不存在效用贴现”的假定必须被拓展。

为了拓展拉姆齐模型，社会福利函数被表示为如下形式：

式中u（·）代表个人的效用函数，δ代表效用的贴现率，t为时间。式（5－4）对于最优储蓄率的存在性构成了威胁，因为除非δ足够大，否则该式中的积分可能会发散。为了解决这一问题，经济学家们做了大量的研究，但是很多情况下都找不到最优储蓄率。关于这一点，哈蒙德（Hammond）和米尔利斯（Mirrless）有过详细的陈述，他们认为没有任何效用函数能够保证最优储蓄率的存在，也没有任何产品的实际限制足以避开这个问题。于是他们提出用合意增长代替最优增长的方案，假设人们只对有限的T年进行计划，那么式（5－4）中的积分具有唯一解，该解就是合意的增长路径。

显然合意储蓄率与最优储蓄率是有差别的，人们不满足于这样一种结论，后来的研究从多方面对最优储蓄率问题进行了深入研究，并获得了许多重要进展，本节以下部分将对其中的代表性成果进行评述和解读。