第五节 即期利率和远期利率

在利率市场中我们经常会接触远期利率的概念。简单说来，远期利率代表着在未来购买债券的收益率。在实际的例子中，远期利率可表示为T1×T2利率，这里的T1是指将来购买债券的日期，而T2是该债券的到期日，如图4-3所示。

图4-3 债券利率期限图

那么我们如何求出这个T1×T2的远期利率F1,2呢？可以用一个借钱的例子来进行理解，假设A从B处借钱，在无套利的情况下，以下两种情况应该是等价的。

（1）借出为期T1的资金，期末收回本金后，立刻以T2为期再借出。

（2）借出为期T1+T2的资金。

为使两者等价，两种情况的本息和总量应该相等。假设T1期限的利率是R1, T1+T2期限的利率是R2。我们要计算的利率是从T1到T2期限的远期利率，以F1,2表示。我们可以对两种情况分别列出现金流如下：

（1）初始时借出1元，在T1期末的收益为元，然后以F1,2的利率和T2期限借出元，在T1+T2期末得到总现金流 元。

（2）初始时借出1元，在T1+T2期末得到总现金流元。

由两者在期末的总现金流相等可以得到

即

两者的等价源于无偏预期假设。因为如果其中一种情况的总现金流更低，A就会更愿意在这种情况下借入资金，而B会更愿意在另一种情况下借出资金，从而推动利率回归。例如，如果F1,2偏低，B就更愿意在情况2中把钱借出，由于情况2中资金供给充裕，R2就会被拉低。反之，如果F1,2偏高，A就更愿意在情况2中借入资金，由于借入需求旺盛，R2就会被抬高，直到等式平衡为止。无偏预期理论被广泛应用于固定收益证券定价中，在这里我们仅仅做一个简单的说明。从公式中得到的F1,2形式比较复杂，我们可以将其近似为

即远期利率等于各期限利率对时间加权求和再除以总时间，该近似在连续复利的条件下会更为准确。为了让读者有更直观的理解，我们代入一组数据来进行计算。假设借款人在市场上能够以3年期5%的利率借款，同时也可以按第一年3%，接下来两年1Y×2Y的远期利率借款。从上面的公式中，我们可以计算出

用这个简单的近似公式，我们可以把1Y × 2Y远期利率估计为，该结果和精确值基本相同。通过这个近似公式我们还能直观地来理解远期利率，即远期利率和各期限利率存在加权差分的关系。最后需要注意的一点是，在例子中3%和5%都是对应期限债券的收益率而非票面利率，如果在计算中误用票面利率将会带来巨大的误差。