第六节 债券价格的利率敏感性

在之前的部分中我们提到过，债券的收益率和价格的关系比较复杂，并不像普通的线性关系那样容易计算，这种复杂性给债券投资者带来了很大的困扰。因为利率风险是债券市场上最重要的风险，但投资者在市场中买入和卖出债券时，价格的高低才是最直接的因素。因此，我们需要对利率和债券价格的变化关系做出更精确和更便捷的描述。在本节中我们将介绍债券的基点价值、久期和凸性三个概念以及它们的联系和使用方法，并在最后简述其中的数学原理。

一、基点价值

基点价值是指收益率变化一个基点（万分之一）时，债券价格的变动值。它代表债券价格的绝对变动，单位为元。下面我们可以通过一个债券来说明基点价值，该债券的各项参数如表4-2所示。

现在假设市场收益率发生了一个基点的变动，债券M的价格会发生怎样的变化呢？如果收益率变成了5.01%，通过债券的定价公式，我们可以求出债券价格变为99.923元，按定义可以得到基点价值为0.077元。同样地，如果收益率变成了4.99%，可以得到债券价格为100.077元，基点价值为0.077元。在这里收益率上升和下降一个基点时的变动近似相等，是因为一个基点的变化幅度很小。如果收益率发生大幅变化，两者就会有较大差异，这是由非线性关系决定的。例如当收益率变动10个基点时，按5.1%计算该债券价格为99.232元，变动0.768元。而按4.9%计算，则该债券价格为100.776元，变动0.776元，这样在同一个收益率上就会出现两个不同的基点价值。

所以在计算基点价值时我们一般采用利率上升和下降变动的均值，在上述例子中也即（0.768+0.776）/2=0.772元。从更一般的角度出发，令ΔP和ΔY分别代表价格和利率的变化，用基点来表示的利率变化就是10000×ΔY，我们可以列出如下公式：

DV01是基点价值（Dollar Value Of an 01）的缩写。从公式中的负号我们可以看出，DV01在一般情况下是正的，因为利率水平和债券价格呈负相关，两者反向变动，如图4-4所示。

图4-4中给出的是债券价格P和收益率Y的函数关系。为了力求精确，我们可以把收益率的变动Δy再缩小，使其无限逼近于0，这时求出的就是图中切线的斜率值。在数学上，我们把该值叫作函数在该点的导数，写作。按数学上的写法，原公式可写为

从图4-4上可以看出，该斜率值（导数）会随着收益率的变化而不断变化。因此，债券的基点价值并非固定不变，而是和收益率直接相关。当然我们可以近似认为基点价值在一定范围内保持不变，但读者要清楚在这里可能引入的误差。

在误差允许的范围内，通过基点价值我们可以快速地求得利率变动后债券价格的变化。如果目前债券价格为102元，到期收益率是3%，基点价值为0.8，则收益率上升至3.02%时债券的价格应为

二、久期

基点价值用于衡量收益率变化时债券价格的绝对变动。另外还有一个衡量债券对利率敏感程度的参数——久期。久期指的是收益率变动单位百分比时债券价格的变动比例。1938年，麦考利（F.R.Macaulay）最先提出了久期的概念，可以用数学公式表示为

该久期又称麦考利久期。麦考利久期还可以看作债券到期时间的加权平均，下面我们来做一个简单的推导。首先，按债券的定价公式：

CFt是各期的现金流，接着将债券价格对收益率求导可得

再将其代入久期公式，则

由此，我们得出麦考利久期是债券各现金流支付时间的加权平均值，权重是未来现金流现值占总现金流现值（债券价格）的比例。也就是说，麦考利久期衡量的是该债券投资的平均回收时间。久期越大，说明现金流回收需要的时间就越长，因而利率风险就越大，债券价格受利率变动的影响也就越大。

在实际的债券分析中，投资者衡量债券价格变动的比例和利率直接变动的关系会更加便捷一些，所以就产生了修正久期这一概念。如果用D*表示修正久期，则有

我们可以发现修正久期和麦考利久期之间的关系是D*×（1+Y）=D。按照定义，如果某债券的修正久期为7，收益率变动1个基点时，债券价格将变动0.07%。修正久期越大，债券价格对收益率的变动就会越敏感。因为当利率发生同样的变动时，修正久期较大的债券会有更大的价格变动幅度。

此外为了方便计算，人们还引入了有效久期的概念。有效久期和修正久期一样，都代表了债券价格对利率的敏感程度。不过修正久期是从收益率曲线上求导得出，而有效久期则通过债券价格变动来计算。如果目前的收益率为Y，债券价格为P，假设收益率向上和向下发生一个微小的变动ΔY，对应的债券价格分别为P1和P2，则有效久期为

作为债券对利率变动敏感性的指标，久期和基点价值最主要的不同在于，基点价值度量的是利率变化引起债券价格变化的绝对值，而久期度量的是利率变化引起债券价格变化的相对比例。举例来说，如果一个债券组合的修正久期为7，债券价值10亿元，那么，如果收益率变动1个基点，则该债券组合价值变动0.07%。从基点价值DV01的角度来讲，这个债券组合的DV01为70万元，那么收益率变动1个基点时，该债券组合价值就会变动70万元。实际上两者的本质是一致的，在使用时并没有优劣之分。这两种度量方式可以让不同资产规模的投资者更加全面地衡量自身的利率风险。如果资产规模较大，从久期的角度来讲，较小的比例变动都会带来很大的资产损益。而如果资产规模较小，从基点价值的角度看，较小的绝对变动仍然可能对应很大比例的盈亏，读者使用时需要注意两者的不同侧重点。

三、凸性

前面我们介绍了衡量债券对利率变化敏感程度的两个参数——基点价值和久期，并给出了它们的数学表述。从公式中我们可以看到两者都和利率Y直接相关，会随着收益率的变化而变化。也就是说，债券对利率的敏感程度本身也是在不断改变的。为了量化这种敏感程度的改变，我们引入凸性的概念。定义凸性的公式如下：

其中C为凸性，是债券价格对收益率的二阶导数。对比久期的公式我们可以发现，债券价格对收益率的一阶导数可以衡量债券对收益率变化的敏感度，二阶导数则衡量该敏感度对收益率变化的敏感度，这也和数学上对导数的定义吻合。严格地讲，凸性是指债券收益率变动引起的债券价格变动幅度的变动程度。因此如果我们已知债券的表达式，就可以直接求导计算出债券在各个收益率下的凸性，如果表达式未知，那么就要从市场的收益率和债券价格数据出发，进行数值计算。表4-3列示了某债券的价格和收益率数据。

表4-3中显示了某债券的价格和收益率数据，我们接下来给读者演示如何通过市场数据来计算债券的凸性。

以收益率在3.97%时的凸性为例。首先，计算出收益率在3.95%和3.97%之间债券价格对收益率的一阶导数，即在收益率为3.96%时：

然后计算收益率在3.97%和3.99%之间的一阶导数，即在收益率为3.98%时，用和上面相同的方法得到导数为-775。接下来根据已经求出的一阶导数求出债券价格对收益率的二阶导数，即在利率为3.97%时：

最后我们根据公式，代入利率为3.97%时的债券价格求出凸性，即得到

其他收益率下的凸性也可以按此方法逐一求出。在本例中，债券的二阶导数是正值，所以凸性也是正值。在这种状况下我们认为该债券有正凸性。正凸性在数学上表示以收益率为自变量的债券价格函数P（Y）是凸函数，在函数图像上表现为偏离线性向内弯曲的特性。从敏感性变化的角度来说，该债券的基点价值和久期随着收益率的增加而逐渐下降。

实际上绝大多数的债券都整体呈现正凸性，即当利率下降时，债券价格将加速上升；当利率上升时，债券价格将减速下降。但如果债券条约中存在一些能改变收益结构的因素时（比如期权），就可能会导致整体出现负的凸性，或是正负凸性并存的情况。当然，这里我们仅以债券为例，凸性的概念同样被广泛应用于各类金融衍生品的定价中。国债期货就同时存在正凸性和负凸性，其正凸性部分源自债券，负凸性部分源自最便宜可交割券的转换，具体的内容我们会在后面的章节中详述。

四、债券敏感性的数学原理

以上我们介绍了衡量债券价格受利率变动敏感性的三个指标，它们都是近似描述这种敏感性的手段。实际上债券价格受利率变化的影响是可以准确度量的，从数学上我们可以计算出各个量的精确解。当然在交易中，我们没有必要按数学方法去严格地计算债券的变动。对于投资者来说更重要的是去理解其中的原理，并通过已有的手段（基点价值、久期、凸性）去快速地进行估计和近似计算。在本章的末尾，我们从数学的角度给读者简单讲解债券价格和收益率的关系。

首先，把债券价格函数P（Y）进行泰勒展开到二阶项。则收益率变动一个很小的单位ΔY时，可以得到如下近似：

从该方程中可以衍生出很多有用的结果，我们可以同时在两边减去债券价格P，从而得到债券价格变动的近似：

在两边再同时除以P可以得到债券价格变化百分比的近似：

最后，代入之前介绍过的债券久期和凸性的方程，可以得到

举一个例子，如果已知收益率为4%时某债券的价格和利率敏感度数据，那么在收益率为3%时该债券的价格应该是多少呢？假设该债券现价为95.150, DV01为0.077，凸性是268.000。那么该债券的一阶导数为DV01乘以-10000，二阶导数是凸性乘以它的价格95.150，代入第一个公式中可得

考虑到债券的报价方式，保留三位小数，也即该债券在收益率为3%的情况下的价格可近似为104.128元。

从上述计算中我们可以看到，该债券价格展开后的一阶项结果为7.700，而二阶项的结果为1.278。从数值上看一阶项（对应久期）要远远大于二阶项（对应凸性）。该结论具有普适性，因为对于各类债券来说，虽然凸性的绝对数值一般大于久期，但是利率变化的平方项太小导致相乘后的二阶项远远小于一阶项。因此，对于债券价格来说久期的影响更具有决定作用。实际上在精确度要求不高的情况下，我们计算债券价格时忽略凸性带来的影响也是可行的。在忽略包含凸性的二阶项后，原来的公式可简化为