第二章 知识强相关型试题知识要点及其应用

依据不同的标准，可以对综合能力考试的逻辑推理试题作不同的分类。在各种类型的逻辑测试中，根据测试目的，有两类试题：一类试题的目的主要是测试逻辑知识，不妨称为“知识型”逻辑试题；另一类试题的目的主要是测试逻辑思维能力，不妨称为“能力型”逻辑试题。“知识型”逻辑试题在综合能力逻辑推理测试中不出现。“知识型”逻辑试题分为两类：“强相关”型和“弱相关”型试题。“强相关”型试题中涉及的逻辑学基础知识与解题“强相关”，即这些知识可提供一种确定的甚至程序性的方法，这种方法可实质性地减少解题难度，提高解题速度。另一部分与解题“弱相关”，即这些知识虽然不能提供确定的操作性解题方法，但在不同程度上有利于正确迅速地解题。

“强相关”型试题的应对与“强相关”逻辑知识的正确运用有实质性关系；“弱相关”型试题的应对与“弱相关”逻辑知识有不同程度的关系，但总体上这种关系比“强相关”型试题弱。

第一节 直言判断推理及三段论

基本理论

一、直言命题及其类型

就其形式而言，直言命题是主谓式命题，它断定了某个数量的对象具有或者不具有某种性质，直言命题也叫性质命题或者直言判断，是断定思维对象具有或者不具有某种性质的简单判断。直言命题由主项、谓项、量项和联项四部分组成。如果主项是普通词项，通常用大写字母S表示；如果主项是单称词项，即专名和摹状词，则用小写字母 a表示。谓项用大写字母P表示。

例1

所有的学生都是优秀的。

有的马不是黄色的。

上面两句话都是直言命题。

根据所含联项和量项的不同，可以把直言命题分为六种类型：

1．全称肯定命题：所有S都是P，记为SAP，缩写为A。

2．全称否定命题：所有S都不是P，记为SEP，缩写为E。

3．特称肯定命题：有的S是P，记为SIP，缩写为I。

4．特称否定命题：有的S不是P，记为SOP，缩写为 O。

5．单称肯定命题：a（或某个S）是P。

6．单称否定命题：a（或某个S）不是P。

例2

A．所有的鸟都是珍贵的。

E．所有的迷信都不是科学。

I．有的学生是从西藏来的。

O．有的散打运动员不是大学生。

单称肯定：刘小霞是班上最优秀的学生。

单称否定：欧阳克不是功夫最好的武林高手。

二、直言命题中词项的周延性

直言命题中的词项是指直言命题的主项和谓项。在直言命题中，如果断定了一个词项的全部外延，则称它是周延的，否则就是不周延的。因此，只有在直言命题中出现的词项，才有周延与否的问题；并且，词项是否周延，只取决于某个直言命题对其外延的断定，也就是取决于该命题本身的形式。

关于词项周延性，有如下结论：

（1）全称命题的主项都是周延的；

（2）特称命题的主项都是不周延的；

（3）肯定命题的谓项都是不周延的；

（4）否定命题的谓项都是周延的。

把这四条结论应用于A、E、I、O四种命题上，得到表2-1。

演绎推理是一种必然性推理，它的结论是从前提中抽引出来的，因而结论所断定的不能超出前提所断定的。这一点在直言命题推理中的表现，就是要求“在前提中不周延的项在结论中不得周延”，否则推理的有效性就得不到保证，会犯各种逻辑错误。例如，从“所有的人都是动物”就得不出“所有的动物都是人”，因为在前一命题中，“动物”是肯定命题的谓项，不周延；而在结论中它是全称命题的主项，是周延的。所以，不能从前一命题推出后一命题。

三、直言命题之间的对当关系

直言命题的主项和谓项在语言学上都是语词，都表达着概念，而概念都有内涵和外延。直言命题之间的对当关系是指有相同素材（即有相同主项和谓项）的直言命题间的真假关系。如果没有相同的主谓项，则无法比较它们的真假。可以把A、E、I、O之间的真假关系概括为四类，即矛盾关系、差等关系、反对关系和下反对关系。

（一）矛盾关系

矛盾关系指 A与 O、E与 I的关系，它们之间既不能同真，也不能同假，因而必有一真，也必有一假。于是，由一个为真，就可以推出另一个为假；由一个为假，就可以推出另一个为真。例如，由“所有金子都是闪光的”为真，可以逻辑地推出“有些金子不闪光”为假；由“有的哺乳动物是卵生的”为真，可以逻辑地推出“所有哺乳动物都不是卵生的”为假。

有时我们也撇开真假概念，用否定词、等值把矛盾关系表述如下：

（1）“SAP”等值于“并非SOP”；

（2）“SEP”等值于“并非SIP”；

（3）“SIP”等值于“并非SEP”；

（4）“SOP”等值于“并非SAP”。

这里所说的两个命题等值是指：两个命题的形式可能不同，但表达的逻辑内容是相同的，即它们恒取相同的真假值。

（二）差等关系

差等关系亦称“从属关系”，指A与I、E与 O之间的关系。这种关系存在于同质（同为肯定或否定）的全称命题和特称命题之间，我们可以把它概括为：如果全称命题为真，则相应的特称命题为真；如果特称命题为假，则相应的全称命题为假；如果全称命题为假，则相应的特称命题真假不定；如果特称命题为真，则相应的全称命题真假不定。例如，“如果有的书没有价值”为真，那么从逻辑上不能知道“所有的书都没有价值”的真假；但是如果前一个命题为假，那么后一个命题必为假。

（三）反对关系

反对关系指 A与 E的关系，它们之间不能同真，但可以同假。于是，若一个为真，则另一个必为假；若一个为假，则另一个真假不定。例如，已知“所有的动物都能行走”为真，可以推出“所有的动物都不能行走”为假；但是，我们从“我们中所有的人都是北方人”为假，却不能推出“我们中所有的人都不是北方人”的真假来。

（四）下反对关系

下反对关系指I与O的关系，它们之间可以同真，但不能同假。于是，由一个为假，可以逻辑地推出另一个为真；但从一个为真，不能确切地知道另一个的真假。例如，已知“有些中国人是大奖获得者”为假，则可以推出“有些中国人不是大奖获得者”为真；但是从“有些花朵是有毒的”为真，却不能推出“有些花朵不是有毒的”的真假。

可以用图2-1来刻画对当关系，图2-1被称为“逻辑方阵”或者“对当方阵”。

一般把单称命题作为全称命题的特例来处理。但是，在考虑对当关系（即真假关系）时，单称命题不能作为全称命题的特例。如果涉及有同一素材的单称命题，那么以上所述的对当关系要稍加扩展：单称肯定命题和单称否定命题是矛盾关系；全称命题与同质的单称命题是差等关系；单称命题与同质的特称命题也是差等关系，但与不同质的特称命题是下反对关系；单称命题与不同质的全称命题是反对关系。具体见图2-2。

例3 大会主席宣布：“此方案没有异议，大家都赞同，通过。”

如果以上不是事实，下面哪项必为事实？

A．大家都不赞同此方案。

B．有少数人不赞同此方案。

C．有些人赞同，也有些人反对。

D．至少有人是赞同此方案的。

E．至少有人是不赞同此方案的。

【解题分析】 正确答案E。根据对当关系，都赞同的反面是至少有人不赞同，可能都不赞同，也可能只有一个人不赞同，但不能肯定究竟有多少人赞同。A、B、C几种选项各自都可以推出题干所说不是事实，但是由题干不是事实，不能推出它们中任何一个“必为事实”，这里“必为”二字很重要。D项忽视了一个特例，即由全体不同意也可以得出题干所说不是事实。

例4 某公司共有包括总经理在内的20名员工。有关这20名员工，以下三个断定中，只有一个是真的：

Ⅰ．有人在该公司入股。

Ⅱ．有人没在该公司入股。

Ⅲ．总经理没在该公司入股。

根据以上事实，则以下哪项是真的？

A．20名员工都入了股。

B．20名员工都没入股。

C．只有一人入了股。

D．只有一人没入股。

E．无法确定入股员工的人数。

【解题分析】 这是个有关直言命题之间对当关系的考题。“有人在该公司入股”和“有人没在该公司入股”之间是下反对关系，不能同假，必有一真。因此，三个命题中仅有的那个真命题就在它们中间，则“总经理没在该公司入股”是假的，即总经理在该公司入了股，于是“有人在该公司入股”为真，因此，“有人没在该公司入股”为假，则真实情形是：所有员工都在该公司入了股。由此确定选项 A是真的。正确答案是A。

例5 有人说：“哺乳动物都是胎生的。”

以下哪项最能驳斥以上判断？

A．也许有的非哺乳动物是胎生的。

B．可能有的哺乳动物不是胎生的。

C．没有见到过非胎生的哺乳动物。

D．非胎生的动物不大可能是哺乳动物。

E．鸭嘴兽是哺乳动物，但不是胎生的。

【解题分析】 题干中是一个全称肯定命题，根据对当关系，最能反驳它的是特称否定命题。如果选项E为真，则可以得出特称否定结论：有的哺乳动物不是胎生的。

所以答案为E。

四、三段论

（一）三段论的定义

所谓三段论，就是由一个共同词项把两个作为前提的直言命题联结起来，得出一个新的直言命题作为结论的推理。三段论由三个直言命题构成，其中两个是前提，一个是结论。结论的主项是小项（用S表示），含有小项的前提是小前提；结论的谓项是大项（用 P表示），含有大项的前提是大前提；两个前提共有的词项叫做中项（用M表示）。

例如：凡是真理都是正确的；

达尔文的进化论是真理；

所以，达尔文的进化论是正确的。

这就是一个三段论。它的两个前提中包含着一个共同的词项“真理”，并且以此词项作为媒介，把两个命题“凡是真理都是正确的”和“达尔文的进化论是真理”联结起来，推出“达尔文的进化论是正确的”这一结论。在这个三段论中，“正确的”为大项（P），“真理”是中项（M），“达尔文的进化论”是小项（S）。

（二）三段论的一般规则

要想使一个三段论有效，就必须遵守一般规则。三段论的一般规则有如下几条。

规则1：在一个三段论中，有且只能有三个不同的项。

三段论实际上是通过前提所表明的中项（M）分别与大项（P）和小项（S）发生的关系，从而推导出关于小项与大项之间关系的结论。若没有中项，就推不出任何结论来。正是在这种意义下，我们说中项是连接大项和小项的桥梁或媒介。只有三个概念分别出现两次时，才能构成三个命题，多于或者少于三个概念都不能构成或者不止构成三个命题。常见的“四词项错误”，或称“四概念错误”的情形是：在大、小前提中作为中项的语词看起来是同一个，但却表达着两个不同的概念，因而这个三段论事实上含有四个不同的项，严格说来就没有中项，也就没有连接大项和小项的桥梁和媒介，结论的得出就不是必然的。这种错误叫做“四词项错误”，或称“四概念错误”。

规则2：中项在前提中至少要周延一次。

三段论是凭借中项在前提中的桥梁、媒介作用得出结论的，即大项、小项至少有一个与中项的全部发生关系，另一个与中项的部分或者全部发生关系，这样就能保证大、小项之间有某种关系。否则，大、小项都只与中项的一部分发生关系，这样就有可能大项与中项的这个部分发生关系，而小项则与中项的另一个部分发生关系，结果是大项和小项之间没有关系，得不出必然的结论来。违反这条规则所犯的逻辑错误称为“中项两次不周延”。

请看下面的一个三段论：

教授都是老师；

小张是老师；

所以，

这个三段论是无法得出确定结论的。原因在于作为中项的“老师”在前提中一次也没有周延（在两个前提中，都只断定了“教授”、“小张”是“老师”的一部分对象），因而“小张”和“教授”究竟处于何种关系就无法确定，也就无法得出必然的确定结论。如果违反这条规则，就要犯“中项不周延”的错误，这样的推理就是不合逻辑的。

规则3：在前提中不周延的项，在结论中不得周延。

违反这条规则所犯的逻辑错误是“周延不当”，具体有“小项周延不当”和“大项周延不当”两种表现形式。

例如：小鸟是动物；

白马不是小鸟；

所以，白马不是动物。

在这个三段论中，大项“动物”在大前提中不周延而在结论中周延，犯了“大项不当周延”或“大项不当扩大”的错误。再如：狼是动物；狮子不是狼；所以，狮子不是动物。

规则4：从两个否定前提推不出任何确定的结论。

如果两个前提都是否定的，这就意味着大项和小项都至少与中项的部分或者全部不相交，这样就不能保证大项和小项由于与中项的同一个部分相交而彼此之间发生关系，中项起不到连接大、小项的桥梁作用，大项和小项本身就可能处于各种各样的关系之中，从而得不出确定的结论。

规则5：

（1）如果两个前提中有一个是否定的，那么结论是否定的

如果两个前提中有一个是否定的，根据规则4，另一个前提必须是肯定的，这就意味着：大项和小项中有一个与中项发生肯定性的联系，另一个与中项发生否定性的联系。于是，与中项发生肯定性联系的那一部分和与中项发生否定性联系的那一部分之间的联系，必定是否定性的，所以结论必须是否定的。例如，一切有神论者都不是唯物主义者；某人是有神论者；所以，某人不是唯物主义者。在这个推理中，大前提是否定的，所以，结论也就是否定的了。那么，为什么结论是否定的，前提之一必然是否定的呢？这是因为，如果结论是否定的，那一定是由于前提中的大、小项有一个和中项结合，而另一个和中项排斥。这样，大项或小项同中项相排斥的那个前提就是否定的，所以结论是否定的则前提之一必定是否定的。从另一个方面来说，如果结论是否定的，那就意味着它否定了包含关系。但是，肯定的前提则是反映了包含关系，因此，由两个肯定的前提推不出否定的结论。也就是说，两个肯定前提不能得到否定的结论。

（2）如果结论是否定的，那么必有一个前提是否定的

既然结论是否定的，大项和小项之间发生否定性联系，并且这种联系是通过中项的媒介作用建立起来的，因此这两个词项中必定有一个与中项发生肯定性关联，另一个与中项发生否定性关联。所以，前提必定有一个是否定的。由两个肯定的前提推不出否定的结论。也就是说，两个肯定前提不能得到否定的结论。

例如，有些动物是哺乳动物；

哺乳动物是胎生动物；

所以，有些胎生动物不是哺乳动物。

这个例子就违反了这条规则，从两个肯定的前提中得出了否定的结论，因此是不正确的推理。

规则6：从两个特称前提不能得出结论。

规则7：如果两个前提中有一个特称，结论必然特称。

例6 凡物质都是可塑的，树木是可塑的，所以树木是物质。

以下哪个推理的结构与上述最为相近？

A．凡真理都是经过实践检验的，进化论是真理，所以进化论是经过实践检验的。

B．凡恒星都是自身发光的，金星不是恒星，所以金星自身不发光。

C．凡公民必须遵守法律，我们是公民，所以我们必须遵守法律。

D．所有的坏人都攻击我，你攻击我，所以你是坏人。

E．凡鲸一定用肺呼吸，海豹可能是鲸，所以海豹可能用肺呼吸。

【解题分析】 题干的结构是：

所有P都是M；

所有S是M；

所以，所有S都是P。

选项A的结构是：所有M是P，所有S是M，所以，所有S是P。B的结构是：所有M都是P，所有S都不是 M，所以，所有 S都不是 P。C的结构是：所有 M都是P，所有S都是M，所以，所有S都是 P。E的结构是：所有 M都是 P，所有 S可能是M，所以，所有S可能是P。显然它们都与题干的结构不相同。在诸选项中只有D与题干有相同的结构，因为在三段论中单称命题作全称处理，于是在D中，“你攻击我”的形式是“所有S是M”。所以，正确答案是D。

例7 王晶：李军是优秀运动员，所以，他有资格进入名人俱乐部。

张华：不过李军吸烟，他不是年轻人的好榜样，因此李军不应被名人俱乐部接纳。

张华的论证使用了以下哪项作为前提？

Ⅰ．有些优秀运动员吸烟。

Ⅱ．所有吸烟者都不是年轻人的好榜样。

Ⅲ．所有被名人俱乐部接纳的都是年轻人的好榜样。

A．仅Ⅰ。

B．仅Ⅱ。

C．仅Ⅲ。

D．仅Ⅱ和Ⅲ。

E．Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。

【解题分析】 张华的论证包括两个推理：一个推理是从“李军吸烟”，推出“李军不是年轻人的好榜样”，这里若补充选项Ⅱ作为前提，能构成一个有效的三段论；另一个推理是从“李军不是年轻人的好榜样”推出“李军不应被名人俱乐部接纳”，这里若补充选项Ⅲ作为前提，能构成一个有效的三段论。张华的论证显然不需要假设选项Ⅰ作为前提。所以，正确的答案是D。

例8 以下两题基于下述共同的题干：

所有安徽来京打工人员，都办理了暂住证；所有办理了暂住证的人员，都获得了就业许可证；有些安徽来京打工人员当上了门卫；有些业余武术学校的学员也当上了门卫；所有的业余武术学校的学员都未获得就业许可证。

（1）如果上述断定都是真的，则除了以下哪项，其余的断定也必定是真的？

A．所有安徽来京打工人员都获得了就业许可证。

B．没有一个业余武术学校的学员办理了暂住证。

C．有些安徽来京打工人员是业余武术学校的学员。

D．有些门卫没有就业许可证。

E．有些门卫有就业许可证。

【解题分析】 解答这道题所需要使用的就是三段论。由题干中前面两句话，使用三段论可以推出“所有安徽来京打工人员都获得了就业许可证”（选项 A）；由 A和题干最后一句话可推出“所有的业余武术学校的学员都不是安徽来京打工人员”，因此不可能有安徽来京打工人员是业余武术学校的学员。选项 C必定是假的。选项B、D可从题干给定的条件或这些条件的推论中推出；选项E与题干相容，可能为真。所以，正确答案是C。

（2）以下哪个人的身份，不可能符合上述题干所做的断定？

A．一个获得了就业许可证的人，但并非是业余武术学校的学员。

B．一个获得了就业许可证的人，但没有办理暂住证。

C．一个办理了暂住证的人，但并非是安徽来京打工人员。

D．一个办理了暂住证的业余武术学校的学员。

E．一个门卫，他既没有办理暂住证，又不是业余武术学校的学员。

【解题分析】 可以从题干中推出存在使选项 A为真的人，例如，一个安徽来京打工人员。选项B、C、E都与题干相容，但选项D与题干不相容，因为由题干通过三段论可推出：所有办理了暂住证的人员都获得了就业许可证；所有业余武术学校的学员都未获得就业许可证。因此，不可能有业余武术学校的学员办理了暂住证。所以，正确答案是D。

（三）三段论的省略形式

三段论的省略形式，是省去一个前提或结论的三段论。例如，“你是学习委员，所以你应当名列前茅”。这就是一个省略了大前提“学习委员应当名列前茅”的省略三段论。省略三段论也可以是省去小前提或省去结论的。由于省略三段论中省去了三段论的某一构成部分，如果运用不当，就容易隐藏各种逻辑错误。比如，有人这样说：“我又不是当翻译的，我不需要学好外语。”这就是一个其中隐藏着逻辑错误的省略三段论。当我们补充上省略的部分后，其中的错误就可以清楚地看出。这个三段论的完整形式是这样的：“凡是当翻译的都需要学好外语，我不是当翻译的，因此，我不需要学好外语。”这个三段论显然是错误的，因为它违反了“小前提必须是肯定命题”的规则，因而在结论中也就犯了“大项不当扩大”的逻辑错误。

有时需要把省略三段论补充为完整的三段论，然后看其前提是否为真，推理过程是否有效。有效的检查方法是把被省去的部分补充起来，将它复原为完整的三段论。补充的过程和程序是：首先，判明在省略三段论中哪一个命题是结论。这一般可以根据表达命题的语句的语言标志（在“因为”后面的命题是前提，在“所以”后面的命题是结论）或上下文的联系来判定。当然，如果根据上述方法仍找不出结论，那么它很可能就是省去了结论部分的省略三段论。然后，要找出大前提或小前提。结论一旦判明，根据三段论结构的定义，便可确定作为主项、谓项、中项的概念以及作为大、小前提的命题的构成情况了。第三步，依据一定的三段论格式，复原为完整的三段论。在做了这些工作后，我们便可根据三段论的规则检查这些推理是否正确了。

例9 有些导演留大胡子，因此，有些留大胡子的人是大嗓门儿。

为使上述推理成立，必须补充以下哪项作为前提？

A．有些导演是大嗓门儿。

B．所有大嗓门儿的人都是导演。

C．所有导演都是大嗓门儿。

D．有些大嗓门儿的不是导演。

E．有些导演不是大嗓门儿。

【解题分析】 如果补充A或 D或 E到题干，所构成的三段论的两个前提都是特称的，根据规则6，都推不出结论；如果补充 B到题干，所构成的三段论犯了“中项两次不周延”的错误。而如果补充C到题干，得到的三段论是：

所有导演都是大嗓门儿，

有些导演留大胡子，

所以，有些留大胡子的是大嗓门儿。

这是有效三段论。所以，正确的答案是C。

第二节 复合命题及其推理

基本理论

一、联言命题和联言推理

联言命题是断定几种事物情况同时存在的复合命题，其标准形式是“p并且 q”，其中p、q称为联言支。在日常语言中，联结词有多种表述形式，有时还被省略，例如，“红了桃子，绿了香蕉”。一个联言命题是真的，当且仅当它的各个联言支都是真的。换句话说，只要有一个联言支是假的，联言命题就是假的。见表2-2。

根据联言命题的这样一种性质，联言推理的有效式包括以下两种。

（1）合成联言式

若分别肯定两个联言支，则可以肯定由这两个联言支组成的联言命题。其形式是：

p

q

所以，p并且q

例如，从“李连杰是中国功夫的杰出代表”和“成龙是中国功夫的杰出代表”可以推出“李连杰和成龙都是中国功夫的杰出代表”。

（2）分解联言式

若肯定一个联言命题，则可以分别肯定其中的每一个联言支。其形式是：

p并且q

所以，p

或者

p并且q

所以，q

例如，从“成龙是电影《红番区》和《我是谁》的主演”可以推出“成龙是电影《红番区》的主演”。

二、选言命题和选言推理

选言命题是断定几种事物情况至少有一种存在的复合命题，它分为相容选言命题和不相容选言命题两类。一个选言命题究竟是相容的还是不相容的，没有专用的形式识别标记，只能看其中的各个选言支是否能够同时成立：能够同时成立的，是相容选言命题；不能同时成立的，是不相容选言命题。

（一）相容选言命题和相容选言推理

相容选言命题的标准形式是“p或者q”，其中p、q称为选言支。相容选言命题只有在选支都假的情况下才假，在其余情况下则是真的。见表2-3。

相容选言推理的有效式包括以下两种。

（1）否定肯定式

若肯定一个相容选言命题并且否定其中的一个选言支，则必须肯定另一个选言支。其形式是：

p或者q

非p

所以，q

或者

p或者q

非q

所以，p

（2）肯定肯定式

若肯定一个选言支，则必须肯定包含这个选言支的任一选言命题。其形式是：

p

所以，p或者q

（二）不相容选言命题和不相容选言推理

不相容选言命题的标准形式是“要么p，要么q，二者必居其一”，它仅仅在选言支 p和 q中有且只有一个为真时才为真，在其余情况下都是假的。见表2-4。

根据不相容选言命题的上述性质，不相容选言推理的有效式包括以下两种。

（1）否定肯定式

若否定一个不相容选言命题的一个选言支，则必须肯定它的另一个选言支。其形式是：

要么p，要么q

非p

所以，q

或者

要么p，要么q

非q

所以，p

（2）肯定否定式

若肯定一个不相容选言命题的一个选言支，则必须否定它的另一个选言支。其形式是：

要么p，要么q

p

所以，非q

或者

要么p，要么q

q

所以，非p

三、假言命题和假言推理

假言命题是断定事物情况之间条件关系的复合命题。条件关系分为三种：充分条件、必要条件和充分必要条件。相应地，假言命题也分为三种：充分条件假言命题，必要条件假言命题，充分必要条件假言命题。

（一）充分条件假言命题及其推理

充分条件假言命题是断定充分条件关系的假言命题。事物情况p是事物情况q的充分条件，是指：有p一定有q，但无p未必无q。例如，“天下雨”就是“地上湿”的充分条件。充分条件假言命题的标准形式是“如果p，那么q”，其中p为前件，q为后件。在日常语言中，充分条件假言命题常常用多种形式加以表述，如“只要p，就q”，“一旦p，则q”等，有时其中的联结词还可以省略，如“锲而不舍，金石可镂”，“人心齐，泰山移”，“招手即停”。

一个充分条件假言命题，只有在前件真、后件假的情况下才是假的，在其他情况下都是真的。见表2-5。

根据充分条件假言命题的上述性质，充分条件假言推理的有效式包括以下两种。

（1）肯定前件式

如果p，那么q

p

所以，q

例如，如果官员甲拥有不受监控的权力，官员甲就很容易导致腐败；官员甲确实拥有不受监控的权力，所以，官员甲很容易腐败。

（2）否定后件式

如果p，那么q

非q

所以，非p

例如，如果小张体内有炎症，则他血液中的白血球含量就会不正常地升高；小张血液中的白血球含量正常，所以，小张的体内没有炎症。

充分条件假言推理的否定前件式

如果p，那么q

非p

所以，非q

和肯定后件式

如果p，那么q

q

所以，p

是无效的推理形式。例如，如果我想当外语翻译，我就必须学好外语；我不想当外语翻译，所以我不必学好外语。这个推理是充分条件假言推理的否定前件式，是无效的。再如：如果小张患肺炎，则他会发烧；小张发烧了，所以他一定患了肺炎。这个推理是充分条件假言推理的肯定后件式，也是无效的。

（二）必要条件假言命题及其推理

必要条件假言命题是断定必要条件关系的假言命题。事物情况p是事物情况q的必要条件，是指：无p一定无q，但有p未必有q。例如，“年满18岁”是“有选举权”的必要条件。必要条件假言命题的标准形式是“只有 p，才 q”，在日常语言中，它也可以表述为“除非p，否则不q”等，如“除非考试及格，否则不予录取”。

一个必要条件假言命题，只有在前件假、后件真的情况下才是假的，在其他情况下都是真的。见表2-6。

根据必要条件假言命题的上述性质，必要条件假言推理的有效式包括以下两种。

（1）否定前件式

只有p，才q

非p

所以，非q

（2）肯定后件式

只有p，才q

q

所以，p

必要条件假言推理的无效式有肯定前件式

只有p，才q

p

所以，q

和否定后件式

只有p，才q

非q

所以，非p

（三）充分必要条件假言推理

充分必要条件假言命题是断定充分必要条件关系的条件命题。事物情况p是事物情况q的充分必要条件，是指：有p就有q，并且无p就无q。充分必要条件假言命题的标准形式是“p当且仅当q”，这种表述形式常在数学中出现，在日常语言中通常用下述形式表示：“如果 p则q，并且只有p才q”，“如果p则q，并且如果非 p则非 q”等。例如，毛泽东的名言“人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人”就是一个充分必要条件假言命题，它表示“人犯我”是“我犯人”的充分必要条件。

显然，当前件和后件同真或同假时，一个充分必要条件假言命题为真，在其他情况下都是假的。见表2-7。

充分必要条件假言推理的四个有效式列举如下：

p当且仅当q

p

所以，q

p当且仅当q

非p

所以，非q

p当且仅当q

q

所以，p

p当且仅当q

非q

所以，非p

四、负命题及其等值命题

负命题是由否定一个命题而得到的命题，否定词一般置于一个命题前面或者后面，其标准形式是“并非p”，“并不是p”。日常语言中也用“p是假的”来表示。

一个负命题为真，当且仅当被它否定的命题为假，见表2-8。

这里有必要指出以下两点：（1）负命题和它所否定的命题之间是矛盾关系。（2）负命题不同于前面所说到的否定命题“S不是 P”，在负命题中，否定词冠于整个句子之前，或置于整个句子之后；而在否定命题中，否定词插入句子的主、谓语之间。

五、模态命题及其推理

在逻辑中，“必然”、“可能”、“不可能”等叫做“模态词”，包含模态词的命题叫做“模态命题”。例如，“在有穷世界里，部分必然小于整体”，“在无穷世界里，部分可能等于整体”，“人不可能长生不死”等，都是模态命题，可以分别表示为“必然 p”、“可能 q”和“不可能 r”。“必然p”、“不可能p”（必然非p）、“可能 p”和“可能非 p”之间的真假关系，类似于直言命题A、E、I、O之间的真假关系，也可以用图2-3的对当方阵来表示：

根据这种对当关系，可以在模态命题之间建立下述推理关系：

（1）“必然p”推出“并非必然非p”；

（2）“必然非p”推出“并非必然p”；

（3）“必然p”推出“可能p”；

（4）“并非可能p”推出“并非必然p”；

（5）“必然非p”推出“可能非p”；

（6）“并非可能非p”推出“并非必然非p”；

（7）“必然p”等值于“并非可能非p”；

（8）“必然非p”等值于“并非可能p”；

（9）“可能p”等值于“并非必然非p”；

（10）“可能非p”等值于“并非必然p”；

（11）“不可能p”等值于“必然非p”。

例1 有甲、乙、丙、丁、戊五个人，每个人头上戴一顶白帽子或者黑帽子，每个人显然只能看见别人头上帽子的颜色，看不见自己头上帽子的颜色。并且，一个人戴白帽子当且仅当他说真话，戴黑帽子当且仅当他说假话。已知：

甲说：我看见三顶白帽子一顶黑帽子。

乙说：我看见四顶黑帽子。

丙说：我看见一顶白帽子三顶黑帽子。

戊说：我看见四顶白帽子。

根据上述题干，下列陈述都是假的，除了

A．甲和丙都戴白帽子。

B．乙和丙都戴黑帽子。

C．戊戴白帽子，但丁戴黑帽子。

D．丙戴黑帽子，但甲戴白帽子。

E．丙和丁都戴白帽子。

【解题分析】 解这道题只能用假设法和归谬法。先假设甲的话为真，则甲戴白帽子，加起来共有四顶白帽子一顶黑帽子，于是乙和丙的话就是假的，于是乙和丙都戴黑帽子，这与甲的话为真的结果（一顶黑帽子）矛盾，因此甲的话不可能为真，必定为假，甲戴黑帽子。再假设乙的话为真，则他自己戴白帽子，共有一顶白帽子四顶黑帽子；这样，由于丙看不见他自己所戴帽子的颜色，当他说“我看见一顶白帽子三顶黑帽子”时，他所说的就是真话，于是他戴白帽子，这样乙和丙都戴白帽子，有两顶白帽子，与乙原来的话矛盾。所以，乙所说的只能是假话，他戴黑帽子。既然已经确定甲、乙都戴黑帽子，则戊所说的“我看见四顶白帽子”就是假话，戊也戴黑帽子。现假设丙的话为假，则他实际看见的都是黑帽子，他自己也戴黑帽子，于是五个人都戴黑帽子，这样，乙的话就是真话；但我们已经证明乙的话不可能为真，因此丙的话也不可能为假，于是丙和未说话的丁戴白帽子。最后结果是：甲、乙、戊说假话，戴黑帽子；丙、丁说真话，戴白帽子。所以，正确的选项是E。

例2 全运会男子10000米比赛，大连、北京、河南各派了三名运动员参加。赛前四名体育爱好者在一起预测比赛结果。甲断言：“传统强队大连队训练很实，这次比赛前三名非他们莫属。”乙则说：“据我估计，后起之秀北京队或者河南队能够进前三名。”丙预测：“第一名如果不是大连队的，就是北京队的。”丁坚持：“今年与去年大不相同了，前三名大连队最多能占一席。”比赛结束后，发现四人中只有一人的预测是正确的。

以下哪项最可能是该项比赛的结果？

A．第一名大连队，第二名大连队，第三名大连队。

B．第一名大连队，第二名河南队，第三名北京队。

C．第一名北京队，第二名大连队，第三名河南队。

D．第一名河南队，第二名大连队，第三名大连队。

E．第一名河南队，第二名大连队，第三名北京队。

【解题分析】 这一次我们先假设某个选项为真，看它能否与给定的前提相容，若不相容，则该选项不可能成立。设选项 A成立，则甲的话真，丙的话也真，因为丙说的是一个充分条件假言命题，并且它的前件为假，根据表2-2，该充分条件假言命题肯定为真，这样就有两句真话，与题干中“四人中只有一人预测正确”矛盾，因此选项A不成立。再设选项 B成立，则乙和丁的预测是正确的，这又与给定条件“四人中只有一人预测正确”矛盾，因此B不成立。E的情形同B，因此也不成立。再设C成立，则乙、丙、丁的话都是真的，与给定条件矛盾，故不成立。所以，正确的选项是D，因为这时只有乙的话是真的，甲、丙、丁的话都是假的，与给定条件相符。

例3 下面两题基于下述共同题干：

北大百年校庆时，昔日学友甲、乙、丙会聚燕园。时光荏苒，他们也都功成名就，分别为作家、教授、省长。还知道：

Ⅰ．他们分别毕业于哲学系、经济系和中文系。

Ⅱ．作家称赞中文系毕业者身体健康。

Ⅲ．经济系毕业者请教授写了一个条幅。

Ⅳ．作家和经济系毕业者在一个省工作。

Ⅴ．乙向哲学系毕业者请教过哲学。

Ⅵ．过去念书时，经济系毕业者、乙都追求过丙。

（1）根据上述题干，下列陈述哪一个是真的？

A．丙是作家，甲是省长。

B．乙毕业于哲学系。

C．甲毕业于中文系。

D．中文系毕业的是作家。

E．经济系毕业的是教授。

【解题分析】 从题干知道，两个不相容选言命题“或者毕业于哲学系，或者毕业于经济系，或者毕业于中文系”和“或者是作家，或者是教授，或者是省长”，对于甲、乙、丙都成立。由Ⅵ知道，甲毕业于经济系；由Ⅳ知道，甲不是作家；由Ⅲ知道，甲不是教授；所以，甲是省长。由Ⅴ知道，乙不是毕业于哲学系，乙当然也不毕业于经济系，故他毕业于中文系；由Ⅱ知道，乙不是作家，所以乙是教授。由此可知，丙毕业于哲学系，是作家。因此，正确的选项是A。

（2）在上述题干中增加条件“如果甲、乙、丙中某位学友是作家，省长将邀请他担任省政府顾问”，由此可推出：

A．省政府顾问毕业于中文系。

B．教授是省政府顾问。

C．省政府顾问毕业于经济系。

D．省政府顾问原来是学哲学的。

E．丙不是省政府顾问。

【解题分析】 由（1）的解析已经知道，丙毕业于哲学系，他是作家。因此，正确的选项是D。

例4 红星中学的四位老师在高考前对某理科毕业班学生的前景进行推测，他们特别关注班里的两个尖子生。张老师说：“如果余涌能考上清华，那么方宁也能考上清华。”李老师说：“依我看这个班没人能考上清华。”王老师说：“不管方宁能否考上清华，余涌考不上清华。”赵老师说：“我看方宁考不上清华，但余涌能考上清华。”高考的结果证明，四位老师中只有一人的推测成立。

如果上述断定是真的，则以下哪项也一定是真的？

A．李老师的推测成立。

B．王老师的推测成立。

C．赵老师的推测成立。

D．如果方宁考不上清华大学，则张老师的推测成立。

E．如果方宁考上了清华大学，则张老师的推测成立。

【解题分析】 题干中张老师和赵老师的形式分别为“如果 p则 q”和“p并且非 q”，由前面的讨论可知，它们是互相矛盾的，根据矛盾律和排中律，其中必有一个推测成立且只有一个成立。又由给定条件，四人中只有一人的推测成立，因此李老师和王老师的推测均不成立，即有人考上了清华大学，且这个人就是余涌。因此，如果方宁也考上了清华，则只有张老师的推测成立，所以正确答案是 E。

例5 美国前总统林肯说过：“最高明的骗子，可能在某个时刻欺骗所有的人，也可能在所有时刻欺骗某些人，但不可能在所有时刻欺骗所有的人。”

如果林肯的上述断定是真的，那么下述哪项断定是假的？

A．林肯可能在某个时刻受骗。

B．林肯可能在任何时候都不受骗。

C．骗子也可能在某个时刻受骗。

D．不存在某个时刻所有的人都必然不受骗。

E．不存在某一时刻有人可能不受骗。

【解题分析】 选项A和C都可以从“骗子可能在某个时刻欺骗所有的人，也可能在所有时刻欺骗某些人”推出；D等于是说“在所有时刻有些人可能受骗”，显然也可从题干中推出；B可以从“不可能在所有时刻欺骗所有的人”推出；E等于是说“在所有时刻所有人都必然受骗”，这与题干所说的“不可能在所有时刻欺骗所有的人”相矛盾，因此E是假的。故正确选项是E。