1.6 数学的可应用性

从前面的讨论可以看出，反实在论数学哲学面临的许多问题，可以最终归结为如何解释数学在科学中的可应用性这个事实，包括说明数学可应用的客观原因。数学可以在科学应用中推导出科学真理，这是不争的事实。它意味着数学不仅仅是一个任意设计出来的游戏，或一个任意编撰出的故事。任何一种数学哲学都需要对此作出解释。

1.6.1 数学实在论并未清楚解释可应用性

一 数学实在论对可应用性的解释

从表面上看，数学实在论似乎更容易解释数学的可应用性。数学实在论认为，抽象数学对象客观存在，数学公理与定理是关于抽象数学对象的客观真理，因此，数学在科学应用中可以推导出真理是因为数学公理与定理本身是真理。

更确切地说，一个科学理论中的前提一般可分为三类：（Ⅰ）数学公理及定理；（Ⅱ）关于宇宙中的具体事物的陈述，包括关于具体事物的观测结果的陈述，以及一些不用数学语言表达的，关于宇宙中的具体事物的一般规律的陈述；（Ⅲ）用数学语言表达的，关于宇宙中的具体事物的一般规律，比如物理定律。前提（Ⅲ）中的语句一般直接陈述数学对象与物理对象之间的联系，以此表达某个自然规律。比如，一个经典力学中的前提可能说：

（1）存在一个满足如此这般的微分方程的数学函数，它表示如此这般的一个物体的运动轨迹。

又比如，一个量子力学的前提可能说，存在一个如此这般的数学函数，它是某个粒子的波函数。在数学实在论看来，在一个成功的科学理论中，这三类前提都是真理：（Ⅰ）是关于抽象数学对象的真理；（Ⅱ）是关于具体事物的真理；（Ⅲ）则是关于抽象数学与具体事物之间的联系的真理。这样，由这些前提逻辑地推导出的科学结论，自然也是真理。这也许是一般数学实在论者所天然地假设的对数学可应用性的解释。比如，蒯因在描述科学应用如何核证数学真理的时候，就是将数学公理、物理定律等等同等地看做我们的科学理论中的前提。然后说，既然从这些前提推导出的关于经验观察的结论得到了经验的验证，这就反过来核证了这些推导的所有前提，同时包括其中的数学前提与物理前提，即数学公理与物理定律。也就是说，一方面，数学定理之为真解释了所推导出的观察结论之为真，另一方面，所推导出的观察结论之为真核证了作为推导的前提的数学定理为真。

二 实在论解释的问题：用无穷数学表达的科学定律一般并非精确为真的

但是，如果我们作更仔细的分析就会发现，事情不是那么简单。主要的原因是，模拟物理对象的数学模型一般被描述为无穷的、连续的，但我们并不真的假设物理世界是无穷、连续的。比如，我们用一个连续、可微分的数学函数表示流体的质量分布，或者甚至表示地球上的人口增长。这是用一个无穷、连续的数学模型，近似地模拟有限、离散的物理对象。这样的模型不是精确地为真的。鉴于今天的物理学只能描述普朗克尺度以上的事物，在所有今天的科学应用中，任何使用无穷、连续数学模型的地方，从广义相对论、量子力学，到金融数学或人口研究，都是在用无穷、连续的数学模型来近似地模拟有限、离散的事物。因此，即使抽象数学对象真的存在，而且纯数学的公理与定理是关于它们的真理，前面提到的科学应用中的第（Ⅲ）类前提中的语句，也常常不是严格地为真的。因此，上面对数学应用的描述并不准确。

1.6.2 什么是真正的可应用性问题？

一 对数学应用的更准确的描述

对数学应用的更准确的描述应该是这样的。由于这些无穷、连续的数学模型只是近似地模拟那些有限、离散的具体事物，第（Ⅲ）类前提中的语句本身必须包含“近似地表示”、“近似地模拟”等表达近似性且带有模糊性的词汇。比如，对于模拟人口增长，像（1）那样的前提应该写为这种形式：

（2）存在一个满足如此这般的微分方程的数学函数p（t），它近似地表示地球上的人口（相对于时间）的增长。

也许这里的“近似地表示”可以更严格、精确地表达，但在实际应用中我们一般是依赖我们对它的直观理解。然后，再以模拟人口增长为例，数学应用中的推理步骤大致是这样的：首先，利用前提（Ⅲ）中关于数学对象近似地模拟具体事物的假设，从前提（Ⅱ）中的关于具体事物的假设，可推导出关于相应的数学对象的数学假设，一般是作为初始条件等等。比如，前提（Ⅱ）中可能包含一个关于人口数量的初始值的假设。由此，并利用（2）中蕴涵着的关于函数p（t）“近似地表示”人口增长这个假设，就可推出关于函数p（t）的初始值的一个数学假设。然后，由这些数学假设，加上前提（I）中的数学公理与定理，及前提（Ⅲ）中所蕴涵的其他数学假设，严格、精确地推导出一个关于抽象数学对象的数学结论。比如，由关于函数p（t）的初始值的数学假设，数学分析与微分方程理论中的定理，及（2）中蕴涵的关于函数p（t）的微分方程，推导出一个关于p（t）的数学结论。最后，再利用前提（Ⅲ）中关于数学对象近似地模拟具体事物的假设，从那个关于抽象数学对象的数学结论，得出关于所应用的具体事物的一个结论。比如，再利用（2）中蕴涵着的关于函数p（t）“近似地表示”人口增长这个假设，从前面所得出的关于p（t）的数学结论，再得出关于人口增长的结论。

二 真正的可应用性问题

这是对数学应用的一种更准确的描述。然后，要解释数学的可应用性，就是要解释为什么最后得出的关于具体事物的结论，比如关于人口增长的结论，是真的。这里的难点是，“近似地模拟”、“近似地表示”等都不是有着严格定义的数学概念。因此，像（2）那样的前提不是严格的数学陈述，它的意义不是非常清晰。而且，上面所描述的，最后得出关于具体事物的结论的推导过程，也不完全是严格的数学推导，尤其是那些利用了前提（Ⅲ）中关于数学对象近似地模拟具体事物的假设的推导，比如，最后一步从数学结论到物理结论的推导。因此，究竟为什么某些这样的推导能够得出关于具体事物的真结论，在逻辑上不是很清楚。这就是一个对数学的可应用性的解释，包括实在论的解释，应该解释清楚的。

更具体地说，首先，显然不是每个关于抽象数学对象的数学结论都能蕴涵某个有意义的关于具体的应用对象的结论。对可应用性的解释应该能够描述哪些关于抽象数学对象的结论可以蕴涵有意义的关于具体的应用对象的结论，也就是说，哪些数学结论是有实际意义的。比如，在人口增长的例子中，如果一个数学结论被翻译为“在某个非常短的时间区间内总人口增加了0.03个人”，那它当然是没有实际意义的。又比如，我们可以想象，我们用一个抽象的、很强的、蕴涵无穷的数学公理（如集合论中的一种大基数公理），非构造性地证明了一个关于函数p（t）的存在性定理，比如，存在一个p（t）的导数为0的时刻。这样一个数学结论是否在这个应用中有实际意义就不是很清楚。p（t）的导数等于0意味着在那一时刻函数的增长率等于0。但是，既然人口增长实际上是离散的、跳跃式的，当然存在许许多多很短的时间区间，在其中人口的总数没有变化，即增长率等于0。如果这个数学证明蕴涵着，在一个足够大的时间区间中，函数p（t）的导数都非常的小，那么直观上它可能有实际意义，它可能蕴涵着离散的人口增长也在某个大致的时刻停滞。要说明哪些数学结论是有实际意义的，哪些可能是无实际意义的，显然需要我们更仔细地分析前提中的“近似地表示”、“近似地模拟”等等。

其次，我们还需要在逻辑上清楚、严格地解释，为什么所推导出的有实际意义的结论是真的。比如，如上面所提到的，假设用了一个很抽象的、很强的集合论公理以后我们证明了：

（3）存在一个足够大的时间区间[t1, t2]（比如有一个月长），在其中，函数p（t）的导数（的绝对值）都非常小。

直观上（3）是有实际意义的，而且可以解释为：

（4）在时间区间[t1, t2]中，出生与死亡大致地达到了平衡。

直观上我们也会相信这样得出的结论。但问题是，我们需要在逻辑上清楚、严格地解释，为什么这个结论（4）是真的。尤其是，我们希望能够找出，究竟是哪些前提逻辑地蕴涵了这个结论（4）。比如，既然人口增长是离散的，我们有理由怀疑，涉及实无穷的数学公理是否真的是推导出（4）的绝对必要的前提。也许，从一些关于离散的人口增长的前提，就足以推导出（4）。这需要将前提（Ⅲ）中的“近似地表示”、“近似地模拟”等等，用精确的数学化语言严格地表达出来，然后将（I）、（Ⅱ）、（Ⅲ）等三类前提，都用精确的语言表达，然后才能准确地回答，究竟在这个推导中，（4）是逻辑地、必不可少地依赖于哪些前提假设的。还有，我们希望能够说明，数学推导如何保持了“近似地模拟”这个关系。数学推导需要保持这个关系，这样，由前提中的数学对象近似地模拟具体事物，才能得到（3）那样的数学结论也是近似地模拟具体事物，然后才能得到（4）那样的关于具体事物的结论。

这些是解释数学的可应用性中需要做到的。在二十世纪的各种实在论数学哲学流派中，还没有任何一种流派作了这个工作，因此，还没有任何一个实在论哲学真正完整地解释了数学的可应用性。关于这一点，本书后面的相关章节还要对每个具体的实在论哲学思想作更细致的分析、论证。

1.6.3 对可应用性的解释可能支持反实在论

一 无穷数学的定理在应用中也许不是逻辑上绝对地不可缺的

也许实在论者们认为，这些只是技术性的细枝末节，但事实上，它对实在论与反实在论之间的争议可能会有重大的影响。因为，这种对数学应用的解释要能够支持数学实在论，它的结果应该显示，在一个数学应用中，最后得出的关于有限、离散的具体事物的结论，确实在逻辑上依赖于关于抽象数学对象的那些公理，而且是必不可少地依赖于那些公理。比如，对前面的例子，它应该显示，最终得出的结论（4）是必不可少地依赖于某些关于抽象数学对象的数学公理。这样，成功的数学应用才能够反过来核证那些关于抽象数学对象的数学公理。但是，如果我们真正地完成了那些技术性的细节，所得出的结果有可能恰好相反。也就是说，有可能我们会发现，之所以应用无穷、连续的数学模型会最终得出关于有限、离散的事物的真理，就是因为关于无穷、连续的数学模型的那些前提，其实不是必不可少的。也就是说，我们的关于有限、离散的具体事物的结论真正依赖的前提，仅仅是关于有限、离散的事物本身的一些前提。

二 人口增长的例子

比如，直观上，前提（2）是合理的，是因为那个微分方程在某种意义上“近似地”刻画了人口增长。前提（2）本身直接地提到了那个数学函数p（t），同时断言p（t）严格地满足那个微分方程，然后它断言p（t）近似地表示人口增长。但是，可以想象，我们也许可以改写前提（2），使它不提那个数学函数，而直接地将“那个微分方程在某种意义上近似地刻画了人口增长”这一点，表达为关于在不同时刻的人口总量的变化的陈述。比如，可以用一个差分方程代替那个微分方程，也就是将微分方程离散化，然后将差分方程叙述为不是关于函数或一系列实数（或有理数）的论断，而是关于地球上不同时刻的人口数量这个物理属性的论断。这很可能会比原来的前提（2）冗长得多，但直观上，这似乎才是我们关于地球上的人口增长的真正的前提假设，是真正严格准确地（而不仅仅是近似地）表达了人口增长的规律。直观上，真正蕴涵我们的关于人口增长的结论（4）的，也许应该是这样的前提。既然这样的前提直接谈论人口增长，而不谈论抽象数学对象，它应该是属于类型（Ⅱ）的前提。

换句话说，像前提（2）那样引入一个可微分的数学函数来表达人口增长的规律，也许只是为了用简化的方式，因而不是用最精确的方式，来表达人口增长的规律。更一般地，类型（Ⅲ）中的前提，是表达如何用无穷数学模型简化地、近似地模拟有限的具体事物。直观上，也许我们可以去掉其中的简化手段，将类型（Ⅲ）中的前提直接表达为关于所应用的有限的具体事物的论断。这实际上是将它们转化为类型（Ⅱ）的前提。结果将是，类型（Ⅰ）中的纯数学的公理就不必要了，因为没有类型（Ⅲ）的前提将它们与类型（Ⅱ）的前提联系起来，而最后的关于有限的具体事物的结论，比如结论（4），就将只是一些类型（Ⅱ）的前提的逻辑推论。

这样做的结果应该会使得类型（Ⅱ）的前提非常地冗长、繁琐，因而从实用的角度来说是不可取的。利用数学定理以及（2）那样的将数学对象与具体事物联系起来的前提，可以更简单地推导出我们所感兴趣的关于有限的具体事物的结论，比如结论（4）。但是，只要这原则上可行，它在理论上就能够真正地解释为什么所得出的关于有限的具体事物的结论，比如结论（4），是真的。它意味着，利用数学定理可以更简单地推导出我们所感兴趣的关于有限的具体事物的结论，但之所以一个这样的推导能够保证所得出的结论是关于有限的具体事物的真理，恰恰是因为，原则上，我们也可以消除数学定理，而仅仅从我们真正地假设的关于有限的具体事物的前提，即从如上描述的消去类型（Ⅲ）的前提后所得的类型（Ⅱ）的前提，推导出那个结论。

三 因此实在论的假设将与解释可应用性无关

这将是一个反实在论者也可以接受的对数学应用的解释，而且更进一步，它支持了反实在论。因为，它将说明实在论的信念是与解释数学的可应用性无关的。也就是说，表面上谈论抽象数学对象的数学公理与定理在应用中可以帮助我们推导出关于具体事物的真理，不是由于这些数学公理与定理本身是真的，而恰好是由于，它们虽然帮助我们简化了推导，但却不是绝对地不可或缺的，消除这些数学公理与定理以后，我们将得到一个逻辑上更清晰的（虽然是过于繁琐的，因而从实用的角度是不可取的），从关于有限的具体事物的前提，到所考虑的关于有限的具体事物的结论的直接推导。换句话说，解释那些数学公理的可应用性将恰好在于证明，那些数学公理，虽然带来很大的简化，却是原则上可消除的，因此应用的成功仅仅证明了它们的便利性，却不能帮助核证它们的真理性。

下一章介绍的那种彻底自然主义的数学哲学将沿着这个思路解释数学的可应用性。关于这方面研究的一些已有成果，将在下一章给出相应的文献。反之，二十世纪的其他反实在论数学哲学都还没有对数学的可应用性作出合理的解释。而且，有一些作者似乎没有意识到这其实是他们的反实在论数学哲学的最重要的问题。