1.7 数学哲学研究的意义

1.7.1 二十世纪数学哲学的演变

一 二十世纪早期的数学哲学主要试图为数学提供基础

二十世纪的数学哲学经历了一些演变。作为一个相对独立的研究领域，二十世纪的数学哲学源于二十世纪初的数学基础研究。十七、十八世纪的微积分中使用了许多模糊不清的概念，因而导致了一些悖论与争议。在十九世纪，数学分析经历了一个严密化的过程。经过柯西（Cauchy）、魏尔斯特拉斯（Weierstrass）等人的工作，极限、收敛、连续、微分、积分等数学分析中的基本概念有了较清晰、严密的定义。在十九世纪末，戴德金（Dedekind）等人进一步建立了作为数学分析的基础的实数理论，康托尔（Cantor）则发明了集合论，使得实数理论可以最终建立在集合论的基础之上。康托尔的集合论并没有立即被数学家们接受。一些与集合论有关的悖论在世纪之交被陆续发现，更使得一些数学家强烈地批评集合论，包括当时的一些最出色的数学家，如庞加莱（Poincaré），赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）等等。另一方面，弗雷格在十九世纪末发明了现代数理逻辑，并试图在逻辑的基础上建立严密的算术与数学分析理论，而1903年罗素（Russell）在弗雷格的系统中发现了矛盾。这些一般被称为十九世纪末至二十世纪初的关于数学基础的危机。

面对这种危机，在二十世纪初产生了若干数学基础研究的流派。其中有三个是基于一些哲学思想的数学基础流派：罗素与怀特海（Whitehead）的逻辑主义、布劳威尔的直觉主义与希尔伯特的形式主义；还有不那么顾忌哲学基础的集合论公理化运动。由于种种原因，最后被数学家们普遍认可为现代数学的基础的，是公理化的集合论。

二 二十世纪中期以后的数学哲学退回到考虑哲学问题

进入二十世纪三四十年代以后，关于数学基础的争议再没有引起一般数学家们的关注。公理化以后的集合论似乎已经排除了所有可能的矛盾，以及数学概念上的不清晰之处等等，成为数学家们普遍接受的基础；关于数学的哲学问题也都离开了几乎所有数学家们的视野。对数理逻辑与数学基础的研究还在少数逻辑学家中继续着，但它们对绝大多数数学家们不再产生任何影响。

从二十世纪三四十年代起，对数学中的哲学问题的思考，主要是在哲学家们中间进行，当然也包括个别的对哲学有特别兴趣的数学家或逻辑学家。比如，卡尔纳普继续了逻辑经验主义对逻辑真理、数学真理的分析；蒯因则开始了对逻辑经验主义的严厉批评，并在此基础上发展他的数学实在论思想；哥德尔从四五十年代起也基本专注于思考哲学问题。到了二十世纪后半叶，在英语国家，数学哲学完全成为分析哲学的一个分支。其中最受关注的问题，就是我们前面介绍的本体论问题、认识论问题、意义理论问题等等，即最中心、也最经典的哲学问题在数学这一知识领域的反映。

1.7.2 数学哲学研究的意义

一 对一般哲学研究的意义

由于现代数学这个知识领域的一些特殊性，使得关于现代数学的这些哲学问题，成为一般的哲学思想的试验场。具有经验主义、实用主义、理性主义或自然主义等各种一般性的哲学倾向的哲学家，都很自然地尝试将这些一般性的哲学思想运用于数学这个知识领域，以检验这些一般性的哲学世界观。现代数学的特殊性在于，一方面，它被认为是整个科学的基础，而且是提供了最可靠的知识；而另一方面，它所研究的对象表面上超出了经验的范围，是所谓抽象对象，甚至无穷的抽象对象。因此，如前面几节所描述的，关于数学的本体论、认识论、语义学、可应用性等问题，对每一种哲学思想都是挑战。还有，由于二十世纪的数理逻辑与数学基础研究，数学理论可以说已经得到了最彻底的分析，而且，数学理论的形式化、公理化，使得数学概念、推理中的任何模糊性、不确定性都被消除，也使得由于这些模糊性、不确定性而导致的回答哲学问题的困难都被消除。因此我们一般相信，假如本体论、认识论、意义理论、分析性、先天性等这些哲学问题有可能得到确定的回答，那么关于数学的这些问题也许应该首先得到回答。因此数学哲学问题常常成为各种哲学思想首先尝试回答的哲学问题，成为哲学思想的试验场。这是数学哲学研究对一般哲学的意义。

二 二十世纪数学哲学与数学实践的关系

自从大约二十世纪三十年代起数学家们普遍地接受公理化的集合论作为数学基础以后，数学哲学研究就没有对数学实践产生影响。但是，这当然不等于说，对数学的哲学上的思考永远不会对数学实践产生影响。从科学史的角度来说，一般认为，在科学研究的所谓“范式转换”时期，或所谓的“科学革命”时期，哲学思考可能对科学实践产生一些影响。比如，许多学者认为，马赫对绝对时空观念的分析、批评，正面地影响了爱因斯坦。这种影响，似乎是由于一些哲学上的分析、思考，动摇了一些旧的观念上的教条，比如绝对时空的观念，从而鼓励科学家放弃一些教条，去探索新观念。当然，一种哲学思考也可能表现为对一些新观念的抵触，比如爱因斯坦早期对量子力学的抵触。这也许是负面的影响。它也许是由于一些新观念与一些已有哲学信念相冲突，从而导致了对新观念的疑虑，而新观念后来被实践证明是正确的。当然，也有可能新观念后来被证明是无根据的幻想。已有的哲学信念本身也是对过去的所有知识的概括。并不是任何新观念都是对的。所以，应该说，哲学思考对科学实践的可能的影响是复杂的。

就现代数学来说，接近于这种所谓“研究范式转换”的，就是十九世纪末至二十世纪初现代数学被确立这一时期。其间，由于新观念的产生，激活了许多对数学的本性与基础的哲学思考。今天回过头来看，也许其中多数哲学思考并没有对二十世纪的数学实践产生正面的影响。比如，直觉主义与逻辑主义所提出的，更多的是从哲学动机出发的数学基础，并没有被数学家们接受。希尔伯特的试图为集合论与无穷数学作辩护的形式主义，事实上也没有成功，虽然希尔伯特始终还是坚持接受集合论与无穷数学。数学家们似乎更多的是基于实用上的考量而接受了集合论，比如，集合论能够使得数学语言更严密而没有矛盾或歧义，能够定义更多的数学结构、发展更多的数学理论，能够证明更多的数学定理，而且更简单、方便等等。数学家们似乎不再顾虑关于集合论的哲学上的问题。而且，似乎正是这种实用的、回避哲学问题的精神，才使得二十世纪的经典数学得以迅速发展。

三 数学哲学对数学实践的可能的影响

这是我们对二十世纪的数学哲学对数学实践的影响的评价。但即使这样，它也没有完全排除哲学思考将来还有可能会对数学实践产生正面的影响。前面已经提到，哲学思考的影响可能是复杂的。而且，如果哲学上的分析能够消除一些仅仅由于习惯而产生的、没有真实依据的、教条式的信念，从而鼓励我们去探索新的观念、新的方法，那么它有可能产生正面的影响。正是在这一点上我们认为，一种反实在论的数学哲学，有可能对未来的数学实践产生正面的影响。因为，数学实在论相信数学提供了对某种客观实在的绝对真理，而如果反实在论的分析是正确的，那么它意味着实在论者的这种信念是没有真实根据的，仅仅是我们将我们自己的一些想象投射到外部世界的结果。而且，这种教条式的信念有可能正在阻碍着我们去探索新的数学语言，或者新的数学想象。

换句话说，如果数学是关于某种客观实在的客观真理，那么我们期望已知的这些客观真理是相对稳定的，也就是说，我们期望今天的数学会永远被保留。而且我们一般还相信，客观真理总有其内在价值，不论它们在其他方面有没有用。但是，反实在论是将数学看成一种工具。一种工具的价值仅仅在于它有助于达到某个目的。就数学来说，这个目的应该是科学应用。而且，一种工具的价值还可能由于其他情况的变化而被改变。比如，就无穷数学这个工具来说，有可能，在计算机出现之前，用无穷、连续的数学模型来模拟有限、离散的事物对于我们来说是最有效的。但是，在功能越来越强的计算机出现以后，有可能用计算机来模拟有限、离散的事物会变得更有效。这意味着，有可能，用一种谈论像计算机程序那样的东西的数学语言来表达我们的科学理论，会变得比用谈论无穷的抽象数学对象的经典数学语言更有效。反实在论数学哲学很自然地鼓励这一类探索。

四 对数学教育的可能影响

对数学的不同哲学理念，也会很自然地影响到我们对数学教育的看法。如果数学，特别是抽象数学，是关于某种客观实在的客观真理，那么，数学教育的目的之一很自然地就是帮助学生认识这些真理，以及学习认识这些真理的方法，而且这可能被认为具有内在价值。这种理念很自然地导致了试图将越来越多的抽象数学放在非数学专业的高等教育中，甚至中等或初等教育中。反之，如果数学在本质上是一种工具，那么我们很自然会采取另外一种态度，即更多地考虑教导学生如何使用这种工具。比如，考虑到在现实世界中求体积等数学运算，如果精度达到了普朗克尺度，那一定是无意义的。因此，任何现实世界中的求体积等运算都只要很有限的精度，都在原则上只能是有限和等等。因此有可能，仅仅是由于缺乏很好的计算机及求体积的数学软件，才使得我们需要用积分公式求体积，因此才需要学生去学习严格的极限、积分等数学分析中的较复杂、抽象的概念，去记忆那些复杂的积分公式与求积分的技巧。这是将无穷数学视为一种工具的很自然的推论。如果这是对的，那么，很自然的想法是，也许我们应该做的是更多地设计方便实用的数学软件，然后在数学教育中更多地教学生运用数学软件解决问题的方法，而不是教学生抽象的极限、积分等概念，教学生积分公式与求积分的技巧，乃至教学生严格地表达极限、连续等概念的所谓的ε-δ语言等等。这种数学教育理念，应该能够使得非数学专业的学生掌握相当复杂、相当有力的数学工具，节省许多学习时间，极大地提高他们在自己的专业领域中的数学应用的程度，提高他们的工作效率与创造性。当然，数学专业的学生，或生产数学软件的研究人员，还是需要掌握最抽象的数学。这正是许多科学技术领域中所不断发生的事情，即由于专业分工带来了一个人在自己的专业领域中的创造性获得极大的提高。

五 自然主义数学哲学研究的价值

最后，本书将采纳自然主义的基本世界观。从自然主义的角度看，数学哲学研究是广义的科学研究的一部分。对自然主义者来说，人是自然的产物；人的思维活动原则上可归结为大脑的活动，因而是自然现象；人的数学思维活动因此也是自然现象。所以，数学哲学就是研究人的数学思维活动这种自然现象的科学，是科学的一部分。当然，人的数学思维活动这种自然现象包含许多方面。比如，有心理的方面，那应该属于心理学。自然主义的数学哲学则关注其中与逻辑及哲学有关的方面，包括在自然主义框架下描述数学语言的意义，讨论关于数学知识的认识论问题，分析数学的先天性、必然性，分析数学的客观性，从逻辑上解释数学的可应用性等等。由于它是对人的数学思维活动这种自然现象的分析、描述，它与一般的科学研究在实质上是一样的。所以，即使不论数学哲学研究对一般哲学研究的意义以及对数学实践与数学教育的可能的影响，作为对一类自然现象的科学研究，自然主义数学哲学也有其自身的价值，恰如所有其他的对自然现象的科学研究一样。这是自然主义的数学哲学在另一个层面上的意义。