2.2 形体投影图的识图
画图是将三维空间的形体画成二维平面的投影图的过程，读图则是将二维平面的投影图形想象成三维空间的立体形状。读图的目的是培养和发展读者的空间分析能力和空间想象能力。画图和读图是本章的两个重要环节，而读图又是这两个重要环节中的关键环节。读者通过多读多练，可真正掌握阅读组合体投影图的能力，为阅读工程施工图打下良好的基础。
2.2.1 基本体的识读
拉伸法是识读基本体投影图的主要方法，拉伸法读图是投影的逆向思维，即将反映物体形状特征的投影图沿一定的投影方向从投影面拉回空间，完成物体的投影图识读。
如图2.34所示，对照棱柱的三面投影图，用拉伸法阅读棱柱时，将V面投影中的六边形沿Y轴方向拉回空间（拉伸的长度是六棱柱的长），从而完成六棱柱的读图。
图2.34 拉伸法读棱柱
如图2.35所示，将H面的圆沿Z轴方向拉回空间（拉伸的高度是圆柱的高），即完成圆柱的读图。
图2.35 拉伸法读圆柱
如图2.36和图2.37所示，用拉伸的方法阅读棱锥和圆锥时，在反映底面实形的投影中，将锥顶拉回空间即可完成读图。
图2.36 拉伸法读棱锥
图2.37 拉伸法读圆锥
2.2.2 截交线、相贯线的识读
1．截交线的识读
前面已经学习了截交线的形成，在此基础上识读截交线，其主要任务是识读带缺口基本体的投影图。
【例2-10】 如图2.38（a）所示，根据已知的三面投影图，识读带缺口平面立体的投影图。
图2.38 识读平面截切五棱柱后的投影图
解题步骤如下。
（1）在三面投影图中确定截交点。
因为截交点是截平面与平面立体棱线的交点，根据两个截平面在V面上的投影积聚，可在V面上判断出两个截平面与五棱柱3条棱线相交产生的3个截交点，即1′、2′、5′这3个点如图2.38（b）所示。
在V面投影图中可看出两个截平面的交线是正垂线（在V面投影图中积聚成一个点），它们交线上的两个端点在V面投影图中重合，即3′点和4′点如图2.38（b）所示。
正垂截平面与五棱柱顶面的交线也是一条正垂线，交线上的端点在V面投影图中也重合，即6′点和7′点如图2.38（b）所示。
根据长对正、宽相等、高平齐的投影规律可确定7个截交点的H面、W面投影如图2.38（b）所示。
（2）用绘制轴测图的方法来识读投影图。
绘制完整五棱柱的轴测投影图，如图2.38（c）所示。
根据各截交点的坐标，完成截交点的轴测投影图。也可根据截交点与五棱柱上已知点、线的相对位置来确定截交点，如图2.38（d）所示。
连接截交点成截交线，如图2.38（e）所示。
去掉被截切的图线和作图线，加深最后的成图线，如图2.38（f）所示。
【例2-11】 如图2.39（a）所示，识读下列三面投影图。
图2.39 平面截切圆柱的三面投影图的识读
解题步骤如下。
从V面投影图可知圆柱被3个截平面截切，这3个截平面相对投影面的位置分别是：水平面、侧平面、正垂面，如图2.39（a）所示。
水平截切面与圆柱的轴线垂直，截交线是部分圆曲线，如图2.39（c）所示。
侧面截切面与圆柱的轴线平行，截交线是直线，截断面是矩形，如图2.39（d）所示。
正垂截切面与圆柱的轴线倾斜，截交线是部分椭圆线，如图2.39（e）所示。
去掉被截切部分的图线，就可完成读图，如图2.39（f）、（g）所示。
【例2-12】 如图2.40（a）所示，识读下列三面投影图。
图2.40 平面截切圆锥的三面投影图的识读
解题步骤如下。
从V面投影图可知圆锥被3个截平面截切，这3个截平面相对投影面的位置分别是：侧平面、水平面、正垂面，如图2.40（a）所示。
侧平截切面与圆锥的轴线平行，截交线是抛物线，如图2.40（c）、（d）所示。
水平面截切面与圆锥的轴线垂直，截交线是部分圆曲线，如图2.40（e）、（f）所示。
正垂截切面通过了圆锥的锥顶，截交线是直线，截断面是三角形，如图2.40（e）、（f）所示。
去掉被截切部分的图线就可完成读图，如图2.40（g）所示。
2．相贯线的识读
两立体相交，称为两立体相贯。立体相贯有3种情况：两平面立体相贯、平面立体与曲面立体相贯、两曲面立体相贯。
1）平面立体与平面立体相贯
两平面立体相贯，相贯线是直线。每一条相贯线都由两个贯穿点连接而成。贯穿点是一个平面立体上的轮廓线与另一平面立体表面的交点。
【例2-13】 如图2.41（a）所示，识读下列三面投影图。
图2.41 两平面立体相贯
解题步骤如下。
（1）从已知的三面投影图可以看出，两相贯的平面立体分别是：三棱锥、四棱柱，如图2.41（a）所示。
（2）从V面投影图看出，四棱柱全部贯穿三棱锥，四棱柱的4条棱线与三棱锥的表面有8个贯穿点，如图2.41（b）、（d）所示；三棱锥只有最前面的1条棱线与四棱柱相贯，有2个贯穿点，如图2.41（b）、（e）所示。
（3）连接贯穿点成相贯线，如图2.41（f）所示。
特别提示
连点时要注意，同一棱面上的点才能连接。
（4）两平面立体相交成为一个整体，在它们的内部不应该有轮廓线，所以应去掉两平面立体贯穿点之间的轮廓线，如图2.41（g）所示。
（5）判断可见性，完成读图，如图2.41（h）所示。
2）平面立体与曲面立体相贯
平面立体与曲面立体相贯，相贯线一般情况下是曲线，特殊情况下是直线。
如图2.42所示，圆锥和三棱柱全贯，产生前后两组封闭的相贯线。三棱柱的3条棱线都参加相贯，产生6个贯穿点。
图2.42 平面立体与曲面立体相贯
由于具有对称性，前、后两组相贯线的形状一样，都是由3条曲线围成的。其中三棱柱上面两个棱面与圆锥的一条素线平行，与圆锥的轴线倾斜，产生的相贯线是部分抛物线；三棱柱最下棱面与圆锥的轴线垂直，产生的相贯线是部分圆曲线。
3）曲面立体与曲面立体相贯
两曲面立体相贯，相贯线一般是光滑的封闭的空间曲线，特殊情况下是直线或平面曲线。
如图2.43所示，两圆柱互贯，产生一组封闭的相贯线。
图2.43 曲面立体与曲面立体相贯
2.2.3 组合体三面投影图的识读
读图是根据形体的投影图想象形体的空间形状的过程，也是培养和发展空间想象能力、空间思维能力的过程。读图的方法一般有：拉伸法、形体分析法、线面分析法、轴测投影辅助读图法。阅读组合体投影图时，一般以形体分析法为主。
在阅读组合体投影图时，除了熟练运用投影规律进行分析外，还应注意以下几点。
（1）熟悉各种位置的直线、平面、曲面及基本体的投影特性。
（2）组合体的形状通常不能只根据一个投影图或两个投影图来确定。读图时必须把几个投影图联系起来思考，这样才能准确地确定组合体的空间形状。如图2.44所示，虽然图（a）和图（b）的V、H面投影图相同，但它们的W面投影图不同，因此，两个组合体的空间形状不相同。
图2.44 按三等关系读图
（3）注意投影图中线条和线框的意义。
投影图中的一个线条，除表示一条线的投影外，还可以表示一个有积聚的面的投影，两个面的相交线，曲面的转向轮廓线，如图2.45（a）所示。
图2.45 投影图中线条和线框的意义
投影图中的一个线框，除表示一个面的投影外，还可以表示一个基本体在某一投影面上的积聚投影，如图2.45（b）所示。
1．拉伸法读图
拉伸法读图是投影的逆向思维，即将反映物体形状特征的投影图沿一定的投影方向从投影面拉回空间，完成物体的投影图阅读。拉伸法读图一般用于柱体或由平面切割立体而成的简单体。
运用拉伸法读图时，关键是在给定投影图中找出反映立体特征的线框。一般来讲，当立体的3个投影图中有2个投影图中的大多数线条互相平行，且都平行于同一投影轴，而另一投影图是一个几何线框，则该线框就是反映立体形状特征的线框。
【例2-14】 阅读如图2.46（a）所示组合体的三面投影图。
图2.46 拉伸法读图
分析：在三面投影图中，V面和W面投影图的大多数图线都平行于Z坐标轴，而H面投影是一个几何图形，所以H面投影的几何图框就是反映立体形状特征的线框，如图2.46（b）所示。
在读图时用拉伸的方法，将H面的图框沿Z坐标方向拉伸V面（或W面）的高度，完成组合体的阅读，如图2.46（c）、（d）所示。
2．形体分析法读图
形体分析法读图，就是先以特征比较明显的视图为主，根据视图间的投影关系，将组合体分解成一些基本体，并想象各基本体的形状，再按它们之间的相对位置，综合想象组合体的形状。此读图方法常用于叠加型组合体。
【例2-15】 补画如图2.47（a）所示立体的第三投影图。
图2.47 形体分析法读图
解题步骤如下。
（1）分线框。在组合体的三投影图线框明显的视图中分线框（即从组合体中分解基本体）然后根据投影规律找出线框的对应关系。
在V面投影图中分出3个线框（即把组合体分解为3个基本体），如图2.47（b）所示。
根据长对正的投影规律找出H面这3个线框的对应图线，如图2.47（c）所示。
（2）读线框。结合基本体的特征，读懂各基本体的形状，并补画其第三投影图。
读线框1（基本体1），补画其W面投影图，如图2.47（d）所示。
读线框2（基本体2），补画其W面投影图，并与基本体1组合，如图2.47（e）、（f）所示。
读线框3（基本体3），补画其W面投影图，并与基本体1、2组合，如图2.47（g）、（h）所示。
（3）检查校核，完成读图，如图2.47（i）所示。
3．线面分析法读图
由于立体的表面是由线、面等几何元素组成的，所以在读图时可以将立体分解为线、面等几何元素。运用线、面的投影特性，识别这些几何元素的空间位置和形状，再根据线连面、面围体的方法，从而想象出立体的形状。这种方法适用于切割式的组合体。
【例2-16】 阅读如图2.48（a）所示组合体的三面投影图。
图2.48 线面分析法读图
图2.48 线面分析法读图（续）
解题步骤如下。
（1）分析。从已知的三面投影图可看出，V面只有一个线框，所以不能用形体分析的方法阅读。由于组合体的V面投影是一个封闭的五边形线框，说明组合体是由7个平面围成的，如图2.48（b）所示。
（2）确定各表面的形状和空间位置。从已知的三面投影图可知，1平面（前端面）是侧垂面；2平面（后端面）是正平面，如图2.48（c）、（d）、（e）所示。
从已知三面投影图可知，3平面（左下侧面）是正垂面；6平面（左上侧平面）是侧平面，如图2.48（f）、（g）、（h）所示。
从已知三面投影图可知，4平面（右侧面）是正垂面，如图2.48（i）、（j）所示。
从已知三面投影图可知，5平面（下底面）是水平面；7平面（上顶面）是水平面，如图2.48（k）、（l）、（m）所示。
（3）综合想象组合体的空间形状，如图2.48（n）所示。
4．轴测投影辅助读图
轴测投影的特点是在投影图上同时反映出几何体长、宽、高3个方向的形状，所以富有立体感，直观性较好。在进行组合体投影图阅读时就可以利用轴测投影的特点帮助读图。
【例2-17】 补全如图2.49（a）所示三面投影图中所缺少的图线。
图2.49 轴测投影辅助读图
解题步骤如下。
（1）分析。从已知的三面投影图可以看出W面投影只有一个线框，即该形体是一个截割式的组合体，不能用形体分析的方法读图，如果用线、面分析的方法读图面又太多，不便分析，用拉伸的方法更不适合，所以就用画轴测图的方法来阅读该形体的空间形状。
（2）想象原始基本体的形状。补上投影图的外边线，就可以分析出原始基本体是一个四棱柱，如图2.49（b）所示。
（3）分析切割过程，画轴测图。先在有积聚的投影图上分析切平面的位置，再分析切割过程。
等一次切割由切平面1和切平面2完成，如图2.49（c）所示。
第二次切割由切平面3、4、5完成，如图2.49（d）所示。
（4）对照轴测图补画投影图中所缺少的图线，如图2.49（e）所示。
由于组合体组合方式的复杂性，在实际读图时，有时很难确定它的读图方法。一般以形体分析法为主，拉伸法、线面分析法、轴测投影辅助读图法为辅，根据不同的组合体，灵活应用。