2.1 形体投影图的画法
2.1.1 基本体的投影
建筑形体不论简单还是复杂，都可以看成是由若干个形体叠加或切割而成，称这样的形体为基本体。
基本体又称几何体，按其表面的几何性质可以分为平面立体和曲面立体。
（1）平面立体——由平面多边形所围成的立体，如棱柱体和棱锥体等。
（2）曲面立体——由曲面或曲面与平面所围成的立体，如圆柱体和圆锥体等。
1．平面立体的投影
平面立体的三面投影图就是组成平面立体的各平面投影的集合。常见的平面立体有棱柱、棱锥。
1）棱柱体的三面投影
棱柱的棱线（立体表面上面面相交的交线）互相平行，上下两底面互相平行且大小相等。如图2.2所示，为一正五棱柱的三面投影。
图2.2 五棱柱的三面投影
在图2.2（b）中，五棱柱的H面投影是一个正五边形，它是上下两底面的重合投影，并且反映上下底面的实形；H面投影中的5边形也是五棱柱5个棱面在H面上的积聚投影。在V面投影中，上、下两段水平线是顶面和底面的积聚投影；虚线围成的矩形是五棱柱最后棱面的投影，且反映最后棱面的实形；左边实线围成的矩形是五棱柱左边两个棱面的重合投影，它不能反映棱面的实形；右边实线围成的矩形是五棱柱右边两个棱面的重合投影，它不能反映棱面的实形。W面投影中的两个矩形是五棱柱4个侧棱面的重合投影；最后的一条铅垂线是五棱柱最后棱面的积聚投影；上、下两条水平线是五棱柱顶面和底面的积聚投影。
2）棱锥体的三面投影
完整的棱锥由一多边形底面和具有一公共顶点的多个三角形平面所围成。棱锥的棱线汇交于一个点，该点称为锥顶。如图2.3所示，为一三棱锥的三面投影。
图2.3 三棱锥的三面投影
从图2.3（a）可知，三棱锥的底面是水平面；最后棱面是侧垂面；其余两个棱面是一般位置平面。
如图2.3（b）所示，由于底面是水平面，所以在三棱锥的H面投影中abc反映三棱锥底面的实形；在V面和W面投影中底面积聚成直线。由于三棱锥的最后棱面是侧垂面，所以在W面投影中最后棱面积聚成直线，其余两个投影是三角形。三棱锥左、右棱面是一般位置平面，所以3个投影面上的投影都是三角形。
2．曲面立体的投影
曲面立体的曲面是由运动的母线（直线或曲线），绕着固定的导线做运动形成的。母线上任意点的运动轨迹形成的圆周称为纬圆。母线在曲面上的任一位置称素线。
母线绕一定轴作旋转运动而形成的曲面，称为回转曲面。工程中应用较多的是回转曲面，如圆柱、圆锥等。
1）圆柱体的形成及投影
圆柱是由母线（直线）绕一定轴旋转一周形成的。圆柱面上的所有素线都相互平行，如图2.4（a）所示。
图2.4 圆柱体的形成及投影
如图2.4（c）所示，H面投影为一圆面，是上、下底面的重合投影，且反映上、下底面的实形；H面投影中的圆周线是圆柱面的积聚投影。V面投影为一矩形，上、下两条直线为圆柱上、下底面的积聚投影；左、右两条直线是圆柱最左素线和最右素线的投影。W面投影也是一个矩形，上、下两条直线是圆柱上、下底面的积聚投影；前、后两条直线是圆柱最前、最后素线的投影。
2）圆锥体的形成及投影
圆锥是由母线（直线）绕一定轴旋转（在旋转时母线与定轴相交于一点）一周形成的。圆锥表面上的素线都汇交于一点，如图2.5（a）所示。
图2.5 圆锥体的形成及投影
如图2.5（c）所示，圆锥的H面投影是一圆，它是圆锥底面和圆锥表面的重合投影，且反映底面的实形。圆锥的V面和W面投影都是三角形，三角形的底边是圆锥底面的积聚投影，三角形的两条腰分别是圆锥最左、最右素线和最前、最后素线的投影。
3．基本体的尺寸标注
基本体一般只需注出长、宽、高3个方向的尺寸。如图2.6所示为一些常见基本体尺寸标注的示例。
图2.6 基本体的尺寸标注
如果棱柱体的上、下底面（或棱锥体的下底面）是圆内接多边形，也可标注外接圆的直径和棱柱体（或棱锥体）的高来确定棱柱体（或棱锥体）的大小，如图2.6所示。
圆柱、圆锥则标注它底面圆的直径和高度尺寸。球体只需标注其直径，但要在Φ前加写S或“球”字，如图2.6所示。
2.1.2 截交线、相贯线的形成
1．截交线的形成
平面与立体相交，可看作是立体被平面所截。与立体相交的平面称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线，由截交线围成的断面称为截断面，如图2.7所示。
图2.7 截交线的形成
平面与平面立体产生的截交线是由截交点连接而成的。截交点是截平面与平面立体棱线的交点或是截平面与截平面交线的端点，如图2.8所示。
图2.8 平面截切三棱锥
平面与曲面立体相交，其截交线是截平面与曲面立体表面交线的组合，如图2.9所示。
图2.9 平面截切圆锥
平面与平面立体产生的截交线是直线；截交线围成的截断面是平面多边形，如图2.8所示。
平面与曲面立体相交，产生的截交线一般情况下是平面曲线。截交线的形状取决于曲面体表面的性质及其与截平面的相对位置，如图2.10和图2.11所示。
图2.10 平面与圆柱相交的3种情况
图2.11 平面与圆锥相交的5种情况
图2.11 平面与圆锥相交的5种情况（续）
2．相贯线的形成
两立体相交又称为两立体相贯。相交的两立体成为一个整体，称为相贯体。它们表面的交线称为相贯线，相贯线是两立体表面的共有线，相贯线是由贯穿点连接而成的。贯穿点是两立体表面的共有点，如图2.12所示。
图2.12 相贯线的形成
相贯线的形状随立体形状和两立体的相对位置不同而异，一般分为全贯和互贯两种类型。当一个立体全部穿过另一个立体时，产生两组相贯线，称为全贯，如图2.12（a）所示；当两个立体相互贯穿，产生一组相贯线，称为互贯，如图2.12（b）所示。
2.1.3 组合体的投影
1．组合体的形体分析
组合体是由基本体组合而成的。在研究组合体时，无论组合体多么复杂，通常可将一个组合体分解成若干个基本体，然后分析每个基本体的形状、相对位置，以方便地分析出组合体的形状和空间位置。这种分析组合体的方法称为形体分析法。
由基本体按不同的形式组合而成的形体称为组合体。组合体的组合形式一般有：叠加式，如图2.13（a）所示；截割式，如图2.13（b）所示；综合式，如图2.13（c）所示。
图2.13 组合体的组合形式
2．组合体三面投影的画法
1）叠加式组合体的投影图绘制
形体分析法是求叠加式组合体投影图的基本方法，即将组合体分解为几个基本体，分别画出各基本体的投影图，分析出各基本体之间的相对位置关系，然后根据它们的相对位置进行组合，从而完成组合体的投影图。
【例2-1】 根据如图2.14所示立体图，完成组合体的三面投影图。
图2.14 台阶立体图
解题步骤如下。
（1）形体分析，根据已知立体图可以判断，该形体是由5个基本体叠加而成的，如图2.15所示。
图2.15 形体分析
（2）选择投影图数量和投影方向，如图2.16（a）所示。
图2.16 绘图步骤
特别提示
为了用较少的投影图将组合体的形状完整清晰地表达出来，在形体分析的基础上，还要选择合适的投影方向和投影图数量。
选择V面投影方向的原则是：让V面投影图能明显地反映组合体的形状特征；同时还应考虑尽量减少其他投影图中的虚线和合理地使用图纸，如图2.16（a）所示。
（3）选比例、定图幅。
（4）布置投影图，如图2.16（b）所示。
特别提示
布图时，根据选定比例和组合体的总体尺寸，可粗略算出各基本体投影范围大小，并布置匀称图面。一般定出形体的对称线、主要端面轮廓线，作为作图的基线。
（5）绘制底图，如图2.16所示。
画最下面台阶的三面投影图，如图2.16（b）所示。
画中间台阶的三面投影图并与最下面台阶组合，如图2.16（c）所示。
画最上面台阶的三面投影图并与中间台阶和最下面台阶组合，如图2.16（d）所示。
画左侧支撑板的三面投影图并与3个台阶组合，如图2.16（e）所示。
画右支撑板的三面投影图并与其余4个基本体组合，如图2.16（f）所示。
去掉多余图线（去掉与两端面平齐的连接线、去掉两相贯基本体内部的交线），如图2.16（g）所示。
判断可见性，如图2.16（h）所示。
特别提示
画底图时，力求作图准确，轻描淡写。在画图时，注意以下几点。
（1）画图的先后顺序一般应从形状特征明显的投影图入手，先画主要部分，后画次要部分；先画可见轮廓线，后画不可见轮廓线。
（2）画图时，对于组合体的每一组成部分的三面投影，最好根据对应的投影关系同时画出，不要先将某一投影全部画好，再画另外的投影，以免漏画线条。
（6）检查和描深，如图2.16（i）所示。
特别提示
底图画完后，检查确认无误后，按GB/T 50104—2001《建筑制图标准》规定的线型加深轮廓线。
2）切割式组合体投影图的绘制
如果组合体是切割式，完成其三面投影图时，应先画原始基本体的三面投影图，然后根据切平面的位置，逐个完成切平面与基本体的截交线，最后综合完成组合体的三面投影图。
【例2-2】 根据组合体的立体图如图2.17所示，完成组合体的三面投影图。
图2.17 切割式组合体立体图
解题步骤如下。
（1）选择投影图数量和投影方向，如图2.18所示。
图2.18 V面投影方向
（2）形体分析，组合体是在四棱柱的基础上经5次切割而成的，如图2.19所示。
图2.19 形体分析
（3）选比例、定图幅。
（4）布置投影图。
（5）绘制底图。
画原始四棱柱的三面投影图，如图2.20（a）所示。
图2.20 绘图步骤
画第一次切割后形体的三面投影图，如图2.20（b）所示。
画第二次切割后形体的三面投影图，如图2.20（c）所示。
画第三次切割后形体的三面投影图，如图2.20（d）所示。
画第四次切割后形体的三面投影图，如图2.20（e）所示。
画第五次切割后形体的三面投影图，如图2.20（f）所示。
（6）检查和描深，如图2.20（f）所示。
3．组合体的尺寸标注
投影图只能表达立体的形状，而要确定立体的大小，则需标注立体的尺寸，而且还应满足以下要求。
（1）正确。要符合国家最新颁布的GB/T 50104—2001《建筑制图标准》。
（2）完整。所标注的尺寸必须能够完整、准确、唯一地表达物体的形状和大小。
（3）清晰。尺寸的布置要整齐、清晰，便于阅读。
（4）合理。标注的尺寸要满足设计要求，并满足施工、测量和检验的要求。
1）尺寸种类
要完整地确定一个组合体的大小，需注全3类尺寸。
（1）定形尺寸。确定组合体各组成部分形体大小的尺寸称为定形尺寸，如图2.21所示。
图2.21 组合体尺寸标注种类图
（2）定位尺寸。确定各组成部分相对位置的尺寸称为定位尺寸。
如图2.21所示V面投影图右下方的定位尺寸50为直墙在长度方向的定位尺寸；W面投影中的50和120为支撑墙在宽度方向的定位尺寸；直墙和支撑墙在高度方向相对底板的位置是通过组合体叠加形式确定的，不需要定位尺寸。
由以上定位尺寸的标注可看出，在某一方向确定各组成部分的相对位置时，标注每一个定位尺寸均需有一个相对的基准作为标注尺寸的起点，这个起点叫做尺寸基准。由于组合体有长、宽、高3个方向的尺寸，所以每个方向至少有一个尺寸基准，如图2.22所示。尺寸基准一般选在组合体底面、重要端面、对称面及回转体的轴线上。
图2.22 组合体的立体图
（3）确定组合体外形的总长、总宽、总高的尺寸称为总体尺寸。
如图2.21所示的总高480mm，总长351mm，总宽320mm。
2）尺寸标注
（1）形体分析。组合体尺寸标注前需进行形体分析，弄清反映在投影图上的有哪些基本形体及这些基本形体的相对位置。
（2）标注3类尺寸。
①在形体分析的基础上，应先分别注出各基本体的定形尺寸。如果基本体是带切口的，不应标注截交线的尺寸，而是标注截平面的位置尺寸。
②选定基准，标注定位尺寸。
③标注总体尺寸。
（3）检查复核。注完尺寸后，要用形体分析法认真检查3类尺寸，补上遗漏的尺寸，并对布置不合理的尺寸进行必要地调整。
2.1.4 形体的轴测投影图画法
轴测投影图是用平行投影的方法画出来的一种富有立体感的图形，它接近于人们的视觉习惯。由于轴测投影图度量性差，很难准确反映形体的实际大小，所以只作辅助图样，如图2.23所示。
图2.23 形体三面投影图与轴测投影图的比较
1．正等轴测投影图、斜二轴测投影图的形成
将形体连同确定它空间位置的直角坐标系一起，用平行投影法，沿不平行于坐标轴的方向S投射到一个投影面P上，所得的投影称为轴测投影，如图2.24所示。用这种方法画出的图称为轴测投影图，简称轴测图，俗称立体图。接受轴测投影的投影面P称为轴测投影面，直角坐标轴OX、OY、OZ在轴测投影面上的投影O1X1、O1Y1、O1Z1称为轴测投影轴，简称轴测轴，轴测轴间的夹角称为轴间角，轴测轴上的单位长度与坐标轴上的单位长度的比值称为轴向伸缩系数（OX轴向伸缩系数p1=O1X1/OX; OY轴向伸缩系数q1=O1Y1/OY; OZ轴向伸缩系数r1=O1Z1/OZ）。
图2.24 轴测投影图的形成
根据投射方向S与轴测投影面P的相对位置关系，轴测图可分为以下两大类。
（1）正轴测图。投射方向S与轴测投影面P垂直，所得的投影图称正轴测图。
（2）斜轴测图。投射方向S与轴测投影面P倾斜，所得的投影图称斜轴测图。
正等轴测投影图（简称正等测）：投射方向S与轴测投影面P垂直，3个轴向伸缩系数相等，即p1=q1=r1。
斜二轴测投影图（简称斜二测）：投射方向S与轴测投影面P倾斜，2个轴向伸缩系数相等，即p1=q1≠r1。
2．正等轴测投影图、斜二轴测投影图的轴间角、轴向变化系数
轴测投影图的轴间角是画轴测投影图时建立坐标系的依据，轴向变化系数是画轴测投影图时量取尺寸的依据。
正等轴测投影图的3个轴间角均为120°。3个轴向伸缩系数均约为0.82，为了便于作图，采用简化伸缩系数，即p1=q1=r1=1。作图时，O1Z1轴一般画成铅垂线，O1X1、O1Y1轴与水平方向成30°角，如图2.25所示。
图2.25 正等轴测投影的轴间角
斜二轴测投影的轴间角：∠X1O1Z1=90°, ∠X1O1Y1=∠Y1O1Z1=135°。轴向伸缩系数：p1=r1=1, q1=0.5。作图时，O1Z1轴一般画成铅垂线，O1X1轴与O1Z1轴垂直画成水平线，O1Y1轴画成与水平方向成45°的角，如图2.26所示。
图2.26 斜二轴测投影的轴间角
3．正等轴测投影图、斜二轴测投影图的画法
画轴测投影图的基本方法是坐标法，即按坐标系画出形体上各点，然后按照点连线、线围面、面围体的方法完成形体轴测投影图的绘制。但在作图时，还应根据物体的形状特点而灵活采用其他不同的方法。
此外，在画轴测投影图时，为了使图形清晰，一般不画不可见轮廓线（虚线）。
特别提示
画轴测投影图时还应注意，只有平行于轴向的线段才能直接量取尺寸，不平行于轴向的线段可由该线段两端点的位置来确定。
轴测投影图是按平行投影的原理得到的，所以作图时要遵循平行投影的一切特性：相互平行的直线的轴测投影仍相互平行（因此，形体上平行于坐标轴的线段，其轴测投影必然平行于相应的轴测轴，且其变形系数与相应的轴向变形系数相同）；两平行直线或同一直线上的两线段的长度之比，轴测投影后保持不变（因此，形体上平行于坐标轴的线段，其轴测投影长度与实长之比，等于相应的轴向变形系数）。
1）平面立体轴测投影图的画法
为了使作图简便，图形清晰，作图时应分析清楚立体的特点，灵活应用坐标法，一般先从可见部分作图。
正等轴测投影图和斜二轴测投影图的画法基本一样，只是画图时根据轴间角建立的坐标系不同，根据轴向变化系数的不同，量取尺寸时的比例也不同。
【例2-3】 如图2.27（a）所示，根据五棱柱的三面投影图，完成其正等轴测投影图。
图2.27 绘制五棱柱的正等轴测投影图
分析：棱柱体由于上、下底面的大小形状相等且棱线互相平行，所以在作图时，先用坐标法将棱柱的顶面画出，再过顶面上的每一个点作互相平行的棱线，最后完成底面的作图，如图2.27所示。
解题步骤如下。
（1）分析立体，在三面投影图中确定坐标原点，如图2.27（b）所示。
（2）根据正等轴测投影图的轴间角建立画图坐标系，如图2.27（c）所示。
（3）根据正等轴测投影图的轴向变化系数，用坐标法完成棱柱体顶面5个点的轴测投影（三面投影图中1点与2点、3点与5点、O点与4点、O点与K之间的距离同轴测投影图中1点与2点、3点与5点、O点与4点、O点与K之间的距离相等），依次连接1、2、3、4、5这5个点，完成棱柱体顶面的轴测投影，如图2.27（d）所示。
（4）过顶面上的5个点作互相平行的5条棱线（三面投影图中的棱线高同轴测投影图中的棱线高相等），由于过2点作的棱线不可见，所以不作，如图2.27（e）所示。
（5）绘制底面，如图2.27（f）所示。
（6）去掉作图线，如图2.27（g）所示。
（7）加深图线，如图2.27（h）所示。
【例2-4】 如图2.28（a）所示，根据五棱锥的三面投影图，完成其斜二轴测投影图。
图2.28 绘制五棱锥的斜二轴测投影图
绘制棱柱体的轴测投影图时，应先用坐标法完成棱锥的底面，再用坐标法完成锥顶，最后将锥顶与底面的各点连接起来完成棱线。
解题步骤如下。
（1）分析立体，在三面投影图中确定坐标原点，如图2.28（b）所示。
（2）根据正等轴测投影图的轴间角建立画图坐标系，如图2.28（c）所示。
（3）根据正等轴测投影图的轴向变化系数，用坐标法完成棱锥底面5个点的轴测投影（三面投影图中1点与2点、3点与5点之间的距离同轴测投影图中1点与2点、3点与5点之间的距离相等；轴测投影图中O点与4点、O点与K点之间的距离是三面投影图中O点与4点、O点与K点之间的距离的一半），依次连接1、2、3、4、5这5个点完成棱锥底面的轴测投影，如图2.28（d）所示。
（4）用坐标法作锥顶的轴测投影（三面投影图中的O′S′同轴测投影图中的OS相等），如图2.28（e）所示。
（5）将锥顶与底面的各点连接，完成棱线，S点与2点连接不可见，所以不作，如图2.28（f）所示。
（6）去掉作图线和不可见图线，如图2.28（g）所示。
（7）加深图线，如图2.28（h）所示。
2）曲面立体轴测投影图的画法
曲面立体，不可避免地会遇到圆与圆弧的轴测投影画法。为简化作图，在绘图过程中，一般使圆所在的平面平行于坐标面，从而可以得到其正等轴测投影为椭圆。作图时，一般以圆的外接正方形为辅助线，先画出正方形的轴测投影，再用四心圆法近似画出椭圆。
【例2-5】 如图2.29（a）所示，根据圆柱的两面投影图，完成其正等轴测投影图。
图2.29 绘制圆柱的正等轴测投影图
图2.29 绘制圆柱的正等轴测投影图（续）
解题步骤如下。
（1）建立绘制轴测图的坐标系，并在X轴和Y轴上根据圆柱底面圆的半径确定4个点（圆柱底面圆外接正方形各边的中点），如图2.29（b）所示。
（2）过X轴上的两个点向Y轴作平行线；过Y轴上的两个点向X轴作平行线，两组平行线围成一个四边形（圆柱底面圆外接正方形的轴测投影），如图2.29（c）所示。
（3）确定4个圆心，即过四边形对角线短的两个顶点向其对边的中点连线，连线的4个交点就是4个圆心，如图2.29（d）所示。
（4）过4个圆心作4段圆弧，完成圆柱顶面的投影，如图2.29（e）所示。
（5）用画顶面圆的方法，完成底面圆的轴测投影，如图2.29（f）所示。
（6）作顶面、底面圆的公切线，如图2.29（g）所示。
（7）去掉作图线和看不见的图线，如图2.29（h）所示。
（8）加深图线，如图2.29（i）所示。
当曲面立体上的圆或圆弧所在平面平行于坐标平面XOZ时，用斜二轴测投影作曲面立体的轴测投影图就会简便很多。
【例2-6】 如图2.30（a）所示，根据立体的两面投影，完成其斜二轴测投影图。
图2.30 立体斜二轴测投影图绘制
解题步骤如下。
（1）建立坐标系，如图2.30（b）所示。
（2）画前端面（由于前端面平行于坐标平面XOZ，所以前端面的轴测投影与立体前端面在V面投影上的形状一样，大小相等），如图2.30（c）所示。
（3）画后端面（由于前后端面平行，所以只需把前端面沿Y轴方向向后平移立体宽度的一半即可），如图2.30（d）所示。
（4）画棱线和半圆柱的公切线，如图2.30（e）所示。
（5）去掉作图线，加深图线，如图2.30（f）所示。
3）组合体轴测投影图的画法
在画组合体的轴测图之前，先应通过形体分析了解组合体的组合方式和各组成部分的形状、相对位置，再选择适当的画图方法。一般绘制组合体轴测投影的方法有叠加法、切割法。
（1）叠加法。当组合体由基本体叠加而成时，先将组合体分解为若干个基本体，然后按各基本体的相对位置逐个画出各基本体的轴测图，再经组合后完成整个组合体的轴测图。这种绘制组合体轴测图的方法叫叠加法。
【例2-7】 求作如图2.31（a）所示组合体的正等轴测投影图。
图2.31 组合体轴测投影图的画法——叠加法
解题步骤如下。
①形体分析。由已知的三面投影图可知，该组合体由4个基本体叠加而成，所以，可用叠加法完成组合体的轴测投影图，如图2.31（a）所示。
②建立坐标系。根据正等轴测图轴间角的要求建立坐标系，如图2.31（b）所示。
③绘制各基本体的正等轴测投影图，根据各基本体的相对位置组合各基本体，完成组合体的正等轴测投影图（绘制底板的轴测投影图，如图2.31（c）所示；绘制背板的轴测投影图，并与底板组合，如图2.31（d）所示；绘制两个侧板的轴测投影图，并与底板和背板组合，如图2.31（e）所示）。
④去掉多余的图线（基本体叠加后，端面平齐不应有接缝），如图2.31（f）所示。
⑤校核、清理图面，加深图线，如图2.31（g）所示。
（2）切割法。当组合体由基本体切割而成时，先画出完整的原始基本体的轴测投影图，然后按其切平面的位置，逐个切去多余部分，从而完成组合体的轴测投影图。这种绘制组合体轴测图的方法叫切割法。
【例2-8】 求如图2.32（a）所示组合体的正等轴测投影图。
图2.32 组合体轴测投影图的画法——切割法
解题步骤如下。
①形体分析。由已知的三面投影图可知，该组合体是在四棱柱的基础上由8个切平面经3次切割而成的，所以，可用切割法完成组合体的轴测投影图。
②建立坐标系。根据正等轴测投影图的要求建立坐标系，如图2.32（b）所示。
③画完整四棱柱的正等轴测投影图，如图2.32（c）所示。
④按切平面的位置逐个切去被切部分，如图2.32（d）、（e）、（f）所示。
⑤校核、清理图面、加深图线，如图2.32（g）所示。
有些组合体俯视时主要部分相遮挡而不可见，此时可用仰视画出组合体的轴测投影图，直观、效果较好。
【例2-9】 画出如图2.33（a）所示组合体的仰视斜二轴测投影图。
图2.33 组合体的仰视斜二轴测投影图画法
分析：如图2.33（a）所示，组合体是由一个四棱柱和两个六棱柱叠加而成的。
解题步骤如图2.33（b）、（c）、（d）、（e）所示。