1.2 投影的基本知识
在绘制建筑工程结构物时，必须能够完整而准确地画出能表示工程结构物的形状和大小的图样。绘制这种图样通常采用投影的原理和方法。本节着重介绍正投影法的基本原理和三面投影图的形成及其基本规律。
1.2.1 投影的形成与分类
1．投影的概念
日常生活中，物体在光线（灯光和阳光）的照射下就会在地面或墙面上产生影子，这是常见的自然现象。当光线照射的角度或距离改变时，影子的位置、大小及形状也随之改变，由此看来，光线、物体和影子三者之间存在着一定的联系。
如图1.37（a）所示，桥台模型在正上方的灯光照射下产生了影子，随着光源、物体和投影面之间距离的变化，影子会发生相应的变化，这是光线从一点射出的情形。如果假想地将光源移到无穷远处，即假设光线变为互相平行并垂直于地面，影子的大小就和基础底板一样大，如图1.37（b）所示。
图1.37 影子和投影
人们通过对这种现象进行科学的抽象，按照投影的方法，将形体的所有内外轮廓和内外表面交线全部表示出来，且依投影方向凡可见的轮廓线画实线，不可见的轮廓线画虚线。这样，形体的影子就发展成为能满足生产需要的投影图，简称投影，如图1.37（c）所示。这种投影的方法满足用二维平面表示三维形体的要求，称为投影法；我们将光线称为投射线，将承受投影的平面称为投影面。
2．投影的分类
按投射线的不同情况，投影可分为中心投影和平行投影两大类。
1）中心投影
所有投射线都从一点（投影中心）引出的投影，称为中心投影。如图1.38所示，若投影中心为S，将投射线与投影面H的各交点相连，即得三角板的中心投影。
图1.38 中心投影
2）平行投影
所有投射线互相平行的投影则称为平行投影。若投射线与投影面斜交，称为斜角投影或斜投影，如图1.39（a）所示；若投射线与投影面垂直，则称为直角投影或正投影，如图1.39（b）所示。
图1.39 平行投影
大多数的工程图都是采用正投影法来绘制的。正投影法是本课程研究的主要内容，本书中凡未作特别说明的，都属正投影。
3．工程上常用的投影图
图示工程结构物时，根据被表达对象的不同特征和实际需要，可采用不同的图示方法。常用的图示方法有正投影法、轴测投影法、透视投影法和标高投影法。
1）正投影法
正投影法是一种多面投影法，即将空间几何体在两个或两个以上互相垂直的投影面上进行正投影，然后将这些带有几何体投影图的投影面展开在一个平面上，从而得到几何体的多面正投影图，由这些投影便能完全确定该几何体的空间位置和形状。如图1.40所示为台阶的三面正投影图。
图1.40 台阶的三面正投影图
正投影图的优点是作图较简便，而且采用正投影法时，常将几何体的主要平面放置成与相应的投影面相互平行的位置，这样画出的投影图能反映出这些平面的实形，因此，从图上可以直接量得空间几何体的较多尺寸，即正投影图有良好的度量性，所以在工程上应用最广，其缺点是无立体感，直观性较差。
2）轴测投影
轴测投影采用单面投影图方法，是平行投影之一，它是将物体按平行投影法投射至单一投影面上所得到的投影图。如图1.41所示台阶的正等测轴测图。轴测投影的特点是在投影图上可以同时反映出长、宽、高3个方向上的形状，所以富有立体感，直观性较好，但不能完整地表达物体的形状，而且作图复杂、度量性差，一般只作为工程上的辅助图样。
图1.41 台阶的正等测轴测图
3）透视投影
透视投影法即中心投影法。如图1.42所示桥台的透视图。由于透视图和照相原理相似，符合人们的视觉，图像接近于视觉映象，逼真、悦目、直观性很强，常用为设计方案比较、展览用的图样。但绘制较繁，且不能直接反映物体的真实大小，不便度量。
图1.42 桥台的透视图
4）标高投影
标高投影是一种带有数字标记的单面正投影，常用来表示不规则曲面。假定某一山峰被一系列水平面所截割，如图1.43所示，用标有高程数字的截交线（等高线）来表示地面的起伏，这就是标高投影法，它具有一般正投影的优缺点。用这种方法表达地形所画出的图称为地形图，在工程中被广泛采用。
图1.43 山峰的标高投影
1.2.2 平行投影的特性
平行投影具有以下几个特性。
1．真实性
平行于投影面的直线和平面，其投影反映实长和实形。
如图1.44所示，直线AB平行于投影面H，其投影ab=AB，即反映AB的真实长度；平面ABCD∥H，其投影abcd反映ABCD的真实大小。
图1.44 投影的真实性
2．积聚性
垂直于投影面的直线，其投影积聚为一点；垂直于投影面的平面，其投影积聚为一条直线。如图1.45所示，直线AB垂直于投影面H，其投影积聚成一点a（b）；平面ABCD垂直于投影面H，其投影积聚成一直线ab（dc）。
图1.45 投影的积聚性
3．类似性
（1）点的投影仍是点，如图1.46（a）所示。
图1.46 点、线、面的投影
（2）直线的投影在一般情况下仍为直线，当直线段倾斜于投影面时，其正投影短于实长，如图1.46（b）所示，通过直线AB上各点的投射线，形成一平面ABba，它与投影面H的交线ab即为AB的投影。
（3）平面的投影在一般情况下仍为平面，当平面倾斜于投影面时，其正投影小于实形，如图1.46（c）所示。
4．从属性
若点在直线上，则点的投影必在该直线的投影上。如图1.47所示，点K在直线AB上，投射线Kk必与Aa、Bb在同一平面上，因此点K的投影k一定在ab上。
图1.47 直线的从属性和定比性
5．定比性
直线上一点把该直线分成两段，两段之比等于其投影之比。如图1.47所示，由于Aa∥Kk∥Bb，所以AK:KB=ak:kb。
6．平行不变性
两平行直线的投影仍互相平行，且其投影长度之比等于两平行线段长度之比。
如图1.48所示，AB∥CD，其投影ab∥cd，且ab:cd=AB:CD。
图1.48 两平行直线的投影
1.2.3 三面正投影
1．三面投影体系
如图1.49所示，根据平行投影，图中3个形状不同的形体在同一投影面的投影却是相同的。这说明由形体的一个投影不能准确地表示形体的形状，因此，需要多个投影面来反映形体的实形。一般将形体放在3个互相垂直的平面所组成的三面投影体系中进行投影，如图1.50所示。在三面投影体系中，水平放置的平面称为水平投影面，用字母“H”表示，简称为H面；正对观察者的平面称为正立投影面，用字母“V”表示，简称V面；观察者右侧的平面称为侧立投影面，用字母“W”表示，简称W面。3投影面两两相交，构成3条投影轴OX、OY和OZ, 3轴的交点O称为原点。只有在这个体系中，才能比较充分地表示出形体的空间形状。
图1.49 一个投影图不能确定形体的空间形状
图1.50 三面投影体系
2．三面投影图的形成
将形体置于三面投影体系中，且形体在观察者和投影面之间。如图1.51所示，形体靠近观察者的一面称为前面，反之称为后面。以观察者的角度出发，定出形体的左、右、上、下4个面。由安放位置可知，形体的前、后两面均与V面平行，上、下两面则与H面平行。用3组分别垂直于3个投影面的投射线对形体进行投影，就得到该形体在3个投影面上的投影。
图1.51 三面投影图的形成
（1）由上而下投影，在H面上所得的投影图称为水平投影图，简称H面投影。
（2）由前向后投影，在V面上所得的投影图称为正立面投影图，简称V面投影；
（3）由左向右投影，在W面上所得的投影图称为（左）侧立面投影图，简称W面投影。
上述所得的H、V、W面的3个投影图就是形体最基本的三面投影图。
为了使3个投影图能画在一张图纸上，还必须将3个投影面展开，使之摊平在同一个平面上，完成从空间到平面的过程。国家标准规定：V面不动，H面绕OX轴向下旋转90°,W面绕OZ轴向右旋转90°，使它们转至与V面同在一个平面上，如图1.52所示，这样就得到在同一平面上的三面投影图。这时Y轴出现两次，一次是随H面旋转至下方，与Z轴在同一铅垂线上，标以YH；另一次随W面转至右方，与X轴在同一水平线上，标以YW。摊平后的三面投影图如图1.53（a）所示。
图1.52 三面投影图的展开
图1.53 三面投影图的形成和投影规律
为了使作图简化，在三面投影图中不画投影图的边框线，投影图之间的距离可根据需要确定，3条轴线也可省去，如图1.53（b）所示。
3．三面投影图的对应关系
三面投影图是从形体的3个方向投影得到的。3个投影图之间是密切相关的，它们的关系主要表现在它们的度量和相互位置上的联系。
1）投影形成相互的顺序关系
在三面投影体系中：从前向后，以“人→物→图”的顺序形成V面投影；从上向下，以“人→物→图”的顺序形成H面投影；从左向右，以“人→物→图”的顺序形成W面投影。所以，投影形成相关的顺序关系是“人→物→图”。
2）投影中的长、宽、高和方位关系
每个形体都有长度、宽度、高度或左右、前后、上下3个方向的形状和大小变化。形体左右两点之间平行于OX轴的距离称为长度；上下两点之间平行于OZ轴的距离称为高度；前后两点之间平行于OY轴的距离称为宽度。
每个投影图能反映其中两个方向的关系：H面投影反映形体的长度和宽度的关系，同时也反映左右和前后位置的关系；V面投影反映形体的长度和高度的关系，同时也反映左右和上下位置的关系；W面投影反映形体的高度和宽度的关系，同时也反映上下、前后位置的关系，如图1.53所示。
3）投影图的三等关系
三面投影图是在形体安放位置不变的情况下，从3个不同方向投影所得到的，它们共同表达同一形体，因此它们之间存在着紧密的关系：V、H两面投影都反映形体的长度，展开后所反映形体的长度不变，因此画图时必须使它们左右对齐，即“长对正”的关系；同理，H、W面投影都反映形体的宽度，有“宽相等”的关系；V、W面投影都反映形体的高度，有“高平齐”的关系，总称为“三等关系”。
“长对正、高平齐、宽相等”是三面投影图最基本的投影规律。绘图时，无论是形体总的轮廓还是局部细节，都必须符合这一基本规律。