1.3 点、直线、平面的投影
1.3.1 点的投影
1．点的投影规律
1）投影的形成
如图1.54（a）所示，在三面投影体系中，有一个空间点A，由A分别向3个投影面V、H和W作射线（垂线），交得的3个垂足a′、a、a″即空间点A点的三面投影。空间点用大写字母表示，如A、B、C…H面投影用相应的小写字母表示，如a、b、c…, V面投影用相应的小写字母加一撇表示，如a′、b′、c′…, W面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、c″…
图1.54 点的三面投影
如图1.54（b）、（c）所示，按投影体系的展开方法，将3个投影面展平在一个平面上并去掉边框线后，即得到点的三面投影图。在投影图中，点用小圆圈表示。
2）投影规律
（1）垂直规律。点在相应两投影面上的投影之连线垂直于相应的投影轴。即点的V面投影和H面投影的连线垂直于OX轴（a′a⊥OX）；点的V面投影和W面投影的连线垂直于OZ轴（a′a″⊥OZ）。其证明如下。
如图1.54（a）所示，由投射线Aa′、Aa所构成的投射平面P（Aa′axa）与OX轴相交于ax点，因P⊥V、P⊥H，即P、V、H 3面互相垂直，由立体几何可知，此3平面的交线必互相垂直，即a′ax⊥OX, axa⊥OX, a′ax⊥axa，故P面为矩形。
当H面旋转至与V面重合时，ax不动，且axa⊥OX的关系不变，所以a′、ax、a 3点共线，即a′a⊥OX轴。同理亦可证得a′a″⊥OZ轴。
（2）等距规律。空间点的投影到相应的投影轴的距离反映该点到相应的投影面的距离。如图1.54（a）所示，即
Aa=a′ax=a″ay，反映A点至H面的距离。
Aa′=aax=a″az，反映A点至V面的距离。
Aa″=a′az=aay，反映A点至W面的距离。
特别提示
点的三面投影的实质仍然是：长对正，宽相等，高平齐。
根据上述投影规律，只要已知点的任意两面投影，即可求其第三面投影。为了能更直接地看到a和a″之间的关系，经常用以O为圆心的圆弧将aYH和aYW联系起来，如图1.54（b）所示，也可以自O点作45°的辅助线来实现a和a″的联系。
【例1-1】 已知一点A的V、W面投影a′、a″，求a，如图1.55所示。
图1.55 已知点的两面投影求第三投影
解题步骤如下。
（1）按第一条规律，过a′作垂线并与OX轴交于ax点。
（2）按第二条规律在所作垂线上量取aax=a″az得a点，即为所求。作图时，也可以借助于过O点作45°斜线OaO，因为OaYHaOaYW是正方形，所以OAYH=OaYW。
3）各种位置点的投影
点的位置有在空间、在投影面上、在投影轴上及在原点上4种情况，各种情况有不同的投影特征。
在空间的点，点的3个投影都在相应的投影面上，不可能在轴及原点上，如图1.54所示。
在投影面上的点，一个投影与空间点重合，另两个投影在相应的投影轴上。它们的投影仍完全符合上述两条基本投影规律。如图1.56所示，A点在V面上，B在H面上，C点在W面上。
图1.56 投影面上的点
在投影轴上的点，两个投影与空间点重合，另一个投影在原点上。如图1.57所示，A点在OX轴上，B点在OZ轴上，C点在OY轴上。
图1.57 投影轴上的点
在原点上的点，点的3个投影与空间点都重合在原点上。
2．点的坐标
如果将三投影面体系当作直角坐标系，则各投影面就是坐标面，各投影轴就是坐标轴，点到3个投影面的距离就是相应的坐标数值，如图1.54（a）所示。
A点到W面的距离为其X坐标，即Aa″=aaY=a′aZ=X。
A点到V面的距离为其Y坐标，即Aa′=aaX=a″aZ=Y。
A点到H面的距离为其Z坐标，即Aa=a′aX=a″aY=Z。
则点在空间的位置可用坐标确定，如空间A点的坐标可表示为：A（X, Y, Z）；而点的每个投影只反映两个坐标，其投影与坐标的关系如下。
（1）A点的H面投影a可反映该点的x和y坐标。
（2）A点的V面投影a′可反映该点的x和z坐标。
（3）A点的W面投影a″可反映该点的y和z坐标。
因此如果已知一点A的三投影a、a′和a″，就可从图中量出该点的3个坐标；反之，如果已知A点的3个坐标，就能作出该点的三面投影。空间点的任意两个投影都具备了3个坐标，所以给出一个点的两面投影即可求得第三面投影。
【例1-2】 已知A（4, 6, 5），求作A点的三面投影，如图1.58所示。
图1.58 已知点的坐标求作点的三面投影
解题步骤如下。
（1）作出3个投影轴及原点O，在OX轴上自O点向左量取4个单位，得到ax点如图1.58（a）所示。
（2）过ax点作OX轴的垂线，由ax向上量取Z=5个单位，得v面投影a′，再向下量取y=6个单位，得H面投影a如图1.58（b）所示。
（3）过a′作线平行于OX轴并与OZ轴相交于az，量取aza″=y=axa，得W面投影a″, a、a′、a″即如图1.58（c）所示。
3．点的相对位置
1）两点的相对位置
空间每个点具有前、后、左、右、上、下6个方位。空间两点的相对位置是以其中某一点为基准来判断另一点在该点的前、后、左、右、上、下的位置，这可用点的坐标值的大小或两点的坐标差来判定。具体地说就是：x坐标大者在左边，x坐标小者在右边；y坐标大者在前边，y坐标小者在后边；z坐标大者在上边，z坐标小者在下边。
如图1.59所示，如以A点为基准，由于xB＞xA, yB＞yA, zB＜zA，所以B点在A点的左、前、下方。
图1.59 两点的相对位置
特别提示
虽然在三投影面展开的过程中，Y轴被一分为二：一次是随H面旋转至Z轴下方（标以YH）；另一次随W面转至X轴右方（标以YW），但不论是YH还是YW都始终指向前方。
2）重影点及投影的可见性
当空间两点位于某一投影面的同一投射线上时，此两点在该投影面上的投影重合，此两点称为对该投影面的重影点。
如图1.60（a）所示，A、B两点位于垂直H面的同一投射线上，A点在B点的正上方，B点在A点的正下方，a、b两投影重合，为对H面的重影点，但其他两同面投影不重合。至于a、b两点的可见性，可从V面投影（或W面投影）进行判断；因为a′高于b′（或a″高于b″），所以a为可见，b为不可见。此外，判别重影点的可见性时，也可以比较两点的不重影的同面投影的坐标值，坐标值大的点可见，坐标值小的点的投影被遮挡而不可见。为区别起见，凡不可见的投影其字母写在后面，并加括号表示。
图1.60 投影面的重影点
同理如图1.60（b）所示，C点在D点的正前方，位于V面的同一投射线上，c′、d′两投影重合，为对V面的重影点，c′可见，d′不可见。
如图1.60（c）所示，E点在F点的正左方，位于W面的同一投射线上，e″、f″两投影重合，为对W面的重影点，e″可见，f″不可见。
1.3.2 直线的投影
1．直线的投影规律
1）直线投影的形成
两点确定一条直线，因此要作直线的投影，只需画出直线上任意两点的投影，连接其同面投影即为直线的投影。对直线段而言，一般用线段的两个端点的投影来确定直线的投影。如图1.61所示直线段AB的三面投影。
图1.61 直线的投影
2）直线的投影规律
一般情况下，直线的投影仍为直线；但当直线垂直于投影面时，其投影积聚为一个点。
3）直线对投影面的倾角
直线与投影面的夹角（即直线和它在某一投影面上的投影间的夹角）称为直线对该投影面的倾角。
直线对H面的倾角为α角，α角的大小等于AB与ab的夹角；直线对V面的倾角为β角，β角的大小等于AB与a′b′的夹角；直线对W面的倾角为γ角，γ角的大小等于AB与a″b″的夹角，如图1.62所示。
1.62 直线对投影面的倾角
2．各种位置直线的投影
在三投影面体系中，根据直线对投影面的相对位置不同，直线可分为：一般位置直线和特殊位置直线；特殊位置直线有两种，即投影面的平行线和投影面的垂直线。
1）一般位置直线
对3个投影面都倾斜（不平行也不垂直）的直线称为一般位置直线，简称一般线，如图1.61（a）所示。
一般位置直线的投影有如下特征。
（1）由图1.62可知：ab=ABcosα, a′b′=ABcosβ, a″b″=ABcosγ，而对于一般位置直线而言，α、β、γ均不为零，即cosα、cosβ、cosγ均小于1，所以图1.62一般位置直线的3个投影都小于实长。
（2）一般位置直线的三面投影都倾斜于各投影轴，且各投影与相应的投影轴所成夹角都不反映直线对各投影面的真实倾角，如图1.61（b）所示。
2）投影面平行线
只平行于某一投影面而倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。投影面平行线有以下3种情况。
（1）与V面平行，倾斜于H、W面的直线称为正面平行线，简称正平线。
（2）与H面平行，倾斜于V、W面的直线称为水平面平行线，简称水平线。
（3）与W面平行，倾斜于H、V面的直线称为侧面平行线，简称侧平线。
如图1.63（a）所示，现以正平线AB为例，讨论其投影特征。
图1.63 投影面平行线
（1）因为AB∥V面，所以其V面投影反映实长，即a′b′=AB；且a′b′与OX轴的夹角反映直线对H面的真实倾角α; a′b′与OZ轴的夹角反映直线对W面的真实倾角γ。
（2）因为AB上各点到V面的距离都相等，所以ab∥OX轴；同理a″b″∥OZ轴。
如图1.63所示，可归纳出投影面平行线的投影特征如下。
（1）直线在所平行的投影面上的投影反映实长，且该投影与相应投影轴所成夹角，反映直线对其他两投影面的倾角。
（2）直线其他两投影均小于实长，且平行于相应的投影轴。
【例1-3】 已知水平线AB的长度为15mm, β=30°, A的两面投影为a、a′，试求AB的三面投影，如图1.64所示。
图1.64 求水平线
解题步骤如下。
（1）过a作直线ab=15mm，并与OX轴成30°角。
（2）过a′作直线平行OX轴，与过b作的OX轴的垂线相交于b′。
（3）根据ab和a′b′作出a″b″。
（4）根据已知条件，B点可以在A点的前、后、左、右4种位置，本题有4种答案。
3）投影面垂直线
垂直于一个投影面的直线称为投影面垂直线；垂直于一个投影面必平行于另两个投影面，所以投影面垂直线有以下3种情况。
（1）垂直于H面的投影面垂直线称为水平面垂直线，简称铅垂线。
（2）垂直于V面的投影面垂直线称为正面垂直线，简称正垂线。
（3）垂直于W面的投影面垂直线称为侧面垂直线，简称侧垂线。
如图1.65（a）所示，现以铅垂线AB为例，讨论其投影特征。
图1.65 投影面垂直线
（1）AB⊥H面，所以其H面投影ab积聚为一点。
（2）AB∥V、W面，其V、W面投影反映实长，即a′b′=a″b″=AB。
（3）a′b′⊥OX轴，a″b″⊥OYW轴。
如图1.65所示，可归纳出投影面垂直线的投影特征如下。
（1）投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点。
（2）投影面垂直线其他两投影与相应的投影轴垂直，并都反映实长。
【例1-4】 已知铅垂线AB的长度为15mm, A的两面投影为a、a′，并知B点在A点的正上方，试求AB的三面投影，如图1.66所示。
图1.66 求铅垂线
解题步骤如下：
（1）过a′往正上方作直线并量取a′b′=15mm定出b′，并用粗实线连接a′、b′。
（2）根据ab和a′b′作出a″b″。
4）一般位置直线的实长和倾角
特殊位置直线（如投影面的垂直线和投影面的平行线）可由投影图直接定出直线段的实长和对投影面的倾角。对于一般位置直线而言，其投影图既不反映实长，也不反映倾角，要想求得一般位置线的实长和倾角，可以采用直角三角形法。
如图1.67所示，在ABba所构成的投射平面内，延长BA和ba交于点C，则∠BCb就是AB直线对H面的倾角α。过B点作BA1∥ab，则∠ABA1=α且BA1=ab。所以只要在投影图上作出直角三角形ABA1的实形，即可求出AB直线的实长和倾角α。
图1.67 求直线的实长与倾角α
其中直角边BA1=ab，即BA1为已知的H面投影；另一直角边AA1是直线两端点的z坐标差，即AA1=zA-zB，可从V面投影图中量得，也是已知的，其斜边BA即为实长。
其作图步骤为：①过H面投影ab的任一端点a作直线垂直于ab; ②在所作垂线上截取aA0=zA-zB，得A0点；③连接直角三角形的斜边bA0，即为所求的实长，∠abA0即为倾角α。
如图1.68所示求作AB直线对V面的倾角β，即以直线的V面投影a′b′为一条直角边，直线上两端点的y坐标差为另一条直角边，组成一个直角三角形，求出直线的实长和直线对V面的倾角β。同理，如图1.69所示，如果求作AB直线对W面的倾角γ，即以直线的W面投影a″b″为一条直角边，直线上两端点的x坐标差为另一条直角边，组成一个直角三角形，求出直线的实长和直线对W面的倾角γ。
图1.68 求直线的实长与倾角β
图1.69 求直线的实长与倾角γ
综上所述，这种利用直角三角形求一般位置直线的实长及倾角的方法称为直角三角形法，其作图步骤为：①以直线段的一个投影为一直角边；②以直线段两端点相对于该投影面的坐标差为另一直角边的长度；③所构成的直角三角形的斜边即为直线段的空间实长；④斜边与直线段该投影之间的夹角即为直线对该投影面的倾角。
特别提示
在直角三角形法中，涉及直线的实长、直线的一个投影、直线与该投影所在投影面的倾角及直线段、两端点相对于该投影面的坐标差，另一投影两端点的坐标差4个参数，只要已知其中的两个，就可作出一个直角三角形，从而求得其余参数。
【例1-5】 已知直线AB的部分投影a′b′、a及AB的实长为20mm，求b，如图1.70所示。
图1.70 用直角三角形法求直线的投影
解题步骤如下。
（1）过a′b′的任一端点a′作a′b′的垂线，以b′为圆心，半径R=20mm画圆弧，与垂线相交于A0点，得直角三角形A0a′b′。
（2）过b′作OX轴的垂线，再过a作OX轴的平行线，两直线相交于b0，在b′b0线上截取y坐标b0b1=a′A0，得b1点，边ab1即为所求。
（3）如果截取b0b2=a′A0，连ab2也为所求，所以本题有两种解。
【例1-6】 已知直线AB的部分投影ab、a′及α=30°, B点高于A点。求AB的实长及b′，如图1.71所示。
图1.71 用直角三角形法求直线的投影
解题步骤如下。
（1）过ab的任一端点a作ab的垂线，再过b引斜线bA0与ba成30°夹角，两线相交于A0点，得一直角三角形，其中bA0之长即为AB的实长，aA0之长为A、B两点的z坐标之差。
（2）过a′作OX轴的平行线，同时过b作OX轴的垂线，两直线相交于B0。
（3）延长b′B0并在其上截取B0b′=aA0，得b′点，连接a′、b′即为所求。
3．直线上点的投影规律
如图1.72所示，C点在直线AB上，则其投影c、c′、c″必在AB的相应投影ab、a′b′、a″b″上；且AC:CB=ac:cb=a′c′:c′b′=a″c″:c″b″。
图1.72 直线上的点
由此可知，直线上的点除符合点的三面投影规律（垂直规律和等距规律）外，还具有如下的投影特征。
（1）从属性。点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上。
（2）定比性。点分割直线段成定比，其投影也分割线段的投影成相同的比例。
【例1-7】 已知侧平线AB的两投影ab和a′b′，并知AB线上一点K的V面投影k′，求k，如图1.73所示。
图1.73 求直线上一点的投影
解题步骤如下。
作法一：用从属性求作如图1.73（b）所示。由ab和a′b′求作出a″b″，再求k″，即可作出k。
作法二：用定比性求作如图1.73（c）所示。因为AK:KB=a′k′:k′b′=ak:kb，所以可在H面投影中过a点作任一辅助线aB0，并使它等于a′b′，再取aK0=a′k′。连接B0、b，过K0作K0k∥B0b交ab于k，即为所求。
【例1-8】 已知侧平线CD及点M的V、H面投影，试判定M点是否在侧平线CD上如图1.74所示。
图1.74 判断点是否在直线上
分析判断点是否在直线上，一般只要观察两面投影即可，但对于特殊位置直线，如本题中的侧平线CD，只考虑V、H两面投影还不行，可作出W面投影来判定，或用定比性来判定。
解题步骤如下。
作法一：用从属性来判定（如图1.74（b）所示）。作出CD和M的W面投影，由作图结果可知：m″在c″d″外面，因此M点不在直线CD上。
作法二：用定比性来判定（如图1.74（c）所示）。在任一投影中，过c点任作一辅助线cD0，并在其上取cD0=c′d′, cM0=c′m′，连接d、D0和m、M0。因mM0不平行于dD0，说明M点不在直线CD上。
4．两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为3种情况：平行、相交和交叉。其中平行两直线和相交两直线称为共面直线，交叉两直线称为异面直线如图1.75所示。
图1.75 两直线的相对位置
1）两直线平行
（1）投影特征。两直线在空间互相平行，则其各同面投影互相平行且比值相等。
如图1.76所示，如果AB∥CD，则ab∥cd, a′b′∥c′d′, a″b″∥c″d″且AB:CD=ab:cd=a′b′:c′d′=a″b″:c″d″。
图1.76 平行两直线的投影
（2）两直线平行的判定。①若两直线的各同面投影都互相平行且比值相等，则此两直线在空间一定互相平行；②若两直线为一般位置直线，则只要有两组同面投影互相平行，即可判定两直线在空间平行；③若两直线为某一投影面的平行线，则要用两直线在该投影面上的投影来判定其是否在空间平行。
如图1.77（a）所示给出了两条侧面平行线CD和EF，它们的V、H面投影平行，但是还不能确定它们是否平行，必须求出它们的侧面投影或通过判断比值是否相等才能最后确定。如图1.77（b）所示，作出的其侧面投影c″d″和e″f″不平行，则CD和EF两直线在空间不平行。
图1.77 判定两直线的相对位置
2）两直线相交
（1）投影特征。相交两直线，其各同面投影必相交，且交点符合点的投影规律，即各投影交点的连线必垂直于相应的投影轴。
如图1.78所示，AB和CD为相交两直线，其交点K为两直线的共有点，它既是AB上的一点，又是CD上的一点。由于线上的一点的投影必在该直线的同面投影上，因此K点的H面投影k既在ab上，又应在cd上。这样k必然是ab和cd的交点；k′必然是a′b′和c′d′的交点；k″必然是a″b″和c″d″有交点。
图1.78 相交两直线的投影
（2）两直线相交的判定。①若两直线的各同面投影都相交且交点符合点的投影规律，则此两直线为相交直线；②对两一般位置直线而言，只要根据任意两组同面投影即可判断两直线在空间是否相交；③当两直线之一与投影面平行线时，则要看该直线在所平行的那个投影面上的投影是否满足相交的条件；也可以通过用定比性判断交点是否符合点的投影规律来验证两直线是否相交。
如图1.79所示，两直线AB和CD的投影a″b″和c″d″的交点与a′b′和c′d′的交点不符合点的投影规律，所以可以判定AB和CD不相交。
图1.79 判定两直线的相对位置
3）两直线交叉
（1）投影特征。两直线在空间既不平行也不相交两直线称为交叉。其投影特征是，各面投影既不符合平行两直线的投影特征，也不符合相交直线的投影特征。
（2）两直线交叉的判定。若两直线的同面投影不同时平行，或同面投影虽相交但交点连线不垂直于投影轴，则该两直线必交叉。它们的投影可能有1对或2对同面投影互相平行，但绝不可能3对同面投影都互相平行。交叉两直线也可表现为1对、2对或3对同面投影相交，但其交点的连线不可能符合点的投影规律。
（3）交叉直线重影点可见性的判别。两直线交叉，其同面投影的交点为该投影面重影点的投影，可根据其他投影判别其可见性。
如图1.80所示，AB和CD是两交叉直线，其三面投影都相交，但其交点不符合点的投影规律，即ab和cd的交点不是一个点的投影，而是AB上的M点和CD上的N点在H面上的重影点，M点在上，m可见，N点在下，n为不可见。同样，对于a′b′和c′d′的交点，CD的上E点和AB上的F点在V面上的重影点，E点在前，e′为可见，F点在后，f′为不可见。W面投影a′b′和c′d′的交点也是重影点。
图1.80 交叉两直线的投影
4）直角投影
若两直线相交（或交叉）成直角，且其中有一条直线与某一投影面平行，则此直角仅在该投影面上的投影仍反映为直角，这一性质称为直角定理。反之，若相交或交叉两直线的某一同面投影成直角，且有一条直线是该投影面的平行线，则此两直线在空间的交角必是直角。
（1）相交垂直。已知如图1.81所示，∠ABC=90°, BC∥H面，求证∠abc=90°。
图1.81 两直线相交垂直
证明：∵BC⊥AB, BC⊥Bb; BC⊥平面AabB；又bc∥BC
∴bc⊥平面AabB
因此，bc垂直平面AabB上的一切直线，即bc⊥ab, ∠abc=90°。
（2）交叉直线。已知如图1.82所示，MN与BC交叉成直角，BC∥H面，求证mn⊥bc。
图1.82 两直线交叉垂直
证明：过BC上任一点B作BA∥MN，则AB⊥BC。根据上述证明已知bc⊥ab，现AB∥MN，故ab∥mn。
∴bc⊥mn。
【例1-9】 求点A到正平线BC的距离如图1.83所示。
图1.83 求点到直线的距离
分析：求点到直线的距离，应过该点向该直线引垂线，然后求出点到垂足的距离。
解题步骤如下。
根据直角投影定理，其作图步骤如下。
（1）由a′向b′c′作垂线，得垂足k′。
（2）过k′向下引投影连细线，在bc上得k。
（3）连接ak即为所求垂线的H面投影。
（4）因AK是一般位置直线，故要用直角三角形法求其实长；AK时长即为点A到BC的距离。
【例1-10】 已知菱形ABCD的对角线BD的两面投影和另一对角线AC的一个端点A的水平投影a，求作该菱形的两面投影，如图1.84所示。
图1.84 求菱形的两面投影
分析：根据菱形的对角线互相垂直且平分，两组对边分别互相平行的几何性质；利用直角投影原理，平行两直线的投影特征，即可作出其投影图。
解题步骤如下。
（1）过a和bd的中点m作对角线AC的水平投影ac，并使am=mc。
（2）由m可得m′，再过m′作b′d′的垂直平分线，由a得出a′，由c得出c′，则a′m′=m′c′即为对角线AC的正面投影。
（3）连接各顶点的同面投影，即为菱形的投影图。
1.3.3 平面的投影
1．平面的表示法
平面的表示方法有两种：一种是用几何元素表示平面；另一种是用迹线表示平面。
1）几何元素表示法
由几何学知识可知，以下任一组几何元素都可以确定一个平面，如图1.85所示。
图1.85 平面的5种几何元素表示方法
（1）不在同一直线上的3点，如图1.85（a）所示。
（2）一直线和直线外一点，如图1.85（b）所示。
（3）相交两直线，如图1.85（c）所示。
（4）平行两直线，如图1.85（d）所示。
（5）任意平面图形，即平面的有限部分，如三角形、圆形和其他封闭平面图形，如图1.85（e）所示。
2）迹线表示法
平面除上述5组表示法外，还可以用迹线表示。迹线就是平面与投影面的交线。如图1.86所示空间平面Q与H、V、W 3个投影面相交，交线分别为QH（水平迹线）、QV（正面迹线）、QW（侧面迹线）。迹线与投影轴的交点称集合点，分另以QX、QY和QZ表示。
图1.86 迹线表示平面
2．各种位置平面的投影
在三投影面体系中，根据平面对投影面的相对位置，平面可分为：一般位置平面和特殊位置平面；特殊位置平面有两种，即投影面平行面和投影面垂直面。
1）投影面平行面的投影
平行于某一投影面，与另两个投影面都垂直的平面称为投影面平行面，简称平行面。如图1.87所示，投影面平行面有3种情况。
图1.87 投影面平行面
（1）平行于H面的称为水平面平行面，简称水平面。
（2）平行于V面的称为正面平行面，简称正平面。
（3）平行于W面的称为侧面平行面，简称侧平面。
投影面平行面的投影特征为：平面在所平行的投影面上的投影反映实形，其他两个投影都积聚成与相应投影轴平行的直线。
2）投影面垂直面的投影
垂直于一个投影面，与另两个投影面都倾斜的平面称为投影面垂直面，简称垂直面。如图1.88所示，投影面垂直面有3种情况。
图1.88 投影面垂直面
（1）垂直于H面的称为水平面垂直面，简称铅垂面。
（2）垂直于V面的称为正面垂直面，简称正垂面。
（3）垂直于W面的称为侧面垂直面，简称侧垂面。
投影面垂直面的投影特征为：平面在所垂直的投影面上的投影积聚成一直线，且它与相应投影轴所成的夹角即为该平面对其他两个投影面的倾角；另外两个投影为平面的类似图形且小于平面实形。
【例1-11】 过已知点K的两面投影k′、k，作一铅垂面，使它与V面的倾角β=30°，如图1.89所示。
图1.89 过已知点求铅垂面的投影
解题步骤如下。
（1）过k点作一条与OX轴成30°的直线，这条直线就是所作铅垂面的H面投影。
（2）作平面的V面投影时可以用任意平面图形表示，例如△a′b′c′。
（3）过k可以作两个方向与OX轴成30°角的直线，所以本题有两解。
3）一般位置平面的投影
与3个投影面都倾斜（既不平行也不垂直）的平面称为一般位置平面，简称一般面。如图1.90所示平面ABC即为一个一般位置平面。
图1.90 一般位置平面
一般位置平面的投影特征：3个投影都没有积聚性，均为小于实形的类似形。
平面与投影面的夹角，称为平面的倾角；平面对投影面H、V和W面的倾角仍分别用α、β、γ表示。一般位置平面的倾角也不能由平面的投影直接反映出来。
3．平面内的点和直线
1）点属于平面的几何条件
若一点位于平面内的任一直线上，则该点位于平面上。换言之，若点的投影属于平面内某一直线的各同面投影，且符合点的投影规律，则点属于平面。如图1.91所示，点K位于平面△ABC内的直线BD上，故K点位于△ABC上。
图1.91 点属于平面
2）直线属于平面的几何条件
（1）若一条直线上有两点位于一平面上，则该直线位于平面上。
如图1.92所示，在平面H上的两条直线AB和BC上各取一点D和E，则过该两点的直线DE必在H面上。
图1.92 直线属于平面
（2）若一直线有一点位于平面上，且平行于该平面上的任一直线，则该直线位于平面上。
如图1.92所示，过H面上的C点，作CF∥AB, AB是平面H内的一条直线，则直线CF必在H面上。
3）平面上作点的方法
由点属于平面的几何条件可知，如果点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。因此在平面上取点的方法是：先在平面上取一辅助线，然后再在辅助线上取点，这样就能保证点属于平面。在平面上可作出无数条线，一般选取作图方便的辅助线为宜，如图1.93所示。
图1.93 平面上取点
【例1-12】 已知△ABC的两面投影，及其上一点K的V面投影k′，求K点的H面投影k如图1.93所示。
解题步骤如下：
（1）过k′在平面上作辅助线BE的V面投影b′e′，据此再作出be。
（2）因K点在BE上，k必在be上，从而求得k。
【例1-13】 已知△ABC和M点的V、H面投影，判别M点是否在平面上，如图1.94所示。
图1.94 判断点是否属于平面
分析：如果能在△ABC上作出一条通过M点的直线，则M点在该平面上，否则不在该平面上。
解题步骤如下。
（1）连接a′m′，交b′c′于d′点，求出d。
（2）因为m在ad上，则M点是在该平面上的点。
【例1-14】 已知四边形ABCD的H面投影和其中两边的V面投影，完成四边形的V面投影，如图1.95所示。
图1.95 完成四边形的 V面投影
分析：已知A、B、C3点决定一平面，而D点是该平面上的一点，已知D点的H面投影d，求其V面投影，也就是在平面上取点。
解题步骤如下。
（1）连接b、d和a、c交于点m。
（2）再连接a′、c′，根据m可在a′c′上作出m′。
（3）连接b′、m′，过d向OX轴作垂线，与b′m′的延长线相交于点d′。
（4）连接a′、d′和d′、c′，则a′b′c′d′即为四边形的V面投影。
4）平面上的投影面平行线和最大坡度线
（1）平面上作直线的方法。由直线属于平面的几何条件可知，在平面上作直线的方法是：在平面内取直线应先在平面内取点，并保证直线通过平面上的两个点，或过平面上的一个点且与另一条平面内的直线平行。
如图1.96所示，要在△ABC上任作一条直线MN，则可在此平面上的两条直线AB和CB上各取点M（m, m′, m″）和（n, n′, n″），连接M和N的同面投影，则直线MN就是△ABC上的一条直线。
图1.96 在平面上作直线
（2）平面上的投影面平行线。既在平面上，同时又平行于某一投影面的直线称为平面上的投影面平行线。平面上的投影面平行线有3种：①平面上平行于H面的直线称为平面上的水平线；②平面上平行于V面的直线称为平面上的正平线；③平面上平行于W面的直线称为平面上的侧平线。
平面上的投影面平行线既在平面上，又具有投影面平行线的一切投影特征，并且在平面上可作出无数条水平线、正平线和侧平线。
【例1-15】 求作平面△ABC上的水平线和正平线如图1.97所示。
图1.97 作平面上的投影面平行线
解题步骤如下。
（1）过a′作a′m′∥OX，交b′c′于m′，求出m。连接a、m，则AM（am, a′m′）即为平面上的水平线。
（2）过c作cn∥OX，交ab于n，求出n′。连接c′、n′，则CN（cn, c′n′）即为平面上的正平线。
（3）平面上的最大坡度线。
平面上对投影面倾角为最大的直线称为平面上对投影面的最大坡度线，它必垂直于平面内的该投影面的平行线。最大坡度线有3种：垂直于水平线的称为对H面的最大坡度线；垂直于正平线的称为对V面的最大坡度线；垂直于侧平线的称为对W面的最大坡度线。
如图1.98所示，L是平面P内的水平线，AB属于P, AB⊥L（或AB⊥PH），则AB即是平面P内对H面的最大坡度线，证明如下。
图1.98 平面上对H面的最大坡度线
（1）过A点任作一直线AC，它对H面的倾角为α1。
（2）在直角△ABa中，sinα=Aa/AB；在直角△ACa中，sinα1=Aa/AC。又因为△ABC为直角三角形，AB＜AC，所以α＞α1。
（3）所以垂直于L的直线AB对H面的倾角为最
大，因此称其为“最大坡度线”。
同理，平面上对V、W面的最大坡度线也分别垂直于平面上的正平线和侧平线。由于AB⊥PH, aB⊥PH，则∠ABa =α，它是P、H面所成的二面角的平面角，所以平面P对H面的倾角就是最大坡度线AB对H面的倾角。
综上所述，最大坡度线的投影特征是：平面内对H面的最大坡度线的水平投影垂直于面内水平线的水平投影，其倾角α代表了平面对H面的倾角；平面内对V面的最大坡度线的正面投影垂直于面内正平线的正面投影，其倾角β代表了平面对V面的倾角；平面内对W面的最大坡度线的侧面投影垂直于面内侧平线的侧面投影，其倾角γ代表了平面对W面的倾角。
由此可知，求一个平面对某一投影面的倾角，可按以下3个步骤进行。
（1）先在平面上任作一条该投影面的平行线。
（2）利用直角定理，在该面上任作一条最大坡度线，垂直于所作的投影面平行线。
（3）利用直角三角形法，求出此最大坡度线对该投影面的倾角，即为平面的倾角。
【例1-16】 求△ABC对H面的倾角α，如图1.99所示。
图1.99 求作平面的倾角α
分析：要求△ABC对H面的倾角α，必须首先作出对H面的最大坡度线，再用直角三角形法求出最大坡度线对该投影面的倾角即可。
解题步骤如下。
（1）在△ABC上任作一水平线BG及其两面投影b′g′、bg。
（2）根据直角投影规律，过a作bg的垂线ad，即为所求最大坡度线的H面投影，并求出其V面投影a′d′。
（3）用直角三角形法求AD对H面的倾角α，即为所求△ABC对H面的倾角α。