4.4 盘形凸轮轮廓曲线的解析法设计
图4.20 用解析法设计直动尖顶从动件盘形凸轮轮廓曲线
随着机械装备不断朝着高速、精密、自动化方向发展，以及计算机和各种数控加工机床在生产中的广泛应用，用解析法设计凸轮轮廓曲线具有了更大的现实意义，且越来越广泛地用于生产。用解析法设计凸轮轮廓曲线，是根据工作所要求的从动件的运动规律和已知的机构参数，求出凸轮轮廓曲线的方程式，并精确地计算出凸轮轮廓曲线上各点的坐标值。下面以常用的盘形凸轮机构为例来介绍用解析法设计凸轮轮廓曲线。
1．直动尖顶从动件盘形凸轮轮廓曲线的设计
已知凸轮以等角速度ω逆时针回转，凸轮的基圆半径为r0，尖顶从动件偏于凸轮转动轴心O的右边，偏心距为e，从动件的运动规律为s=s（φ）。试设计该凸轮的轮廓曲线。
如图4.20所示建立直角坐标系xOy，点B0为凸轮轮廓上推程起始点。当凸轮转过φ角时，直动尖顶从动件将自点B0外移s=s（φ）至点B′（x′，y′）。根据反转法原理将点B′（x′，y′）绕凸轮轴心O沿—ω方向转过φ角，即得直动从动件尖顶的对应点B（x，y），它也是凸轮轮廓上的一点。根据绕坐标原点转动的构件上点运动前后的坐标关系，可得凸轮轮廓直角坐标为
式中，
。
式（4-6）即为直动尖顶从动件盘形凸轮轮廓曲线方程式。
2．直动滚子从动件盘形凸轮轮廓曲线的设计
图4.21所示为一偏置直动滚子从动件盘形凸轮机构。已知从动件运动规律s=s（φ），从动件导路相对于凸轮轴心O的偏距为e，滚子半径为rr，凸轮的基圆半径为r0，凸轮逆时针转动，设计凸轮的轮廓曲线。
图4.21 用解析法设计直动滚子从动件盘形凸轮
1）理论轮廓曲线方程
以凸轮回转中心点O为原点，建立图4.21所示的直角坐标系xOy，图中B0为从动件处在起始位置时滚子中心所处的位置。当凸轮转过φ角后，从动件的位移为s，根据反转法原理，滚子中心处于点B，该点的直角坐标为
式中，
。
式（4-7）即为凸轮理论轮廓曲线的方程式。若为对心移动从动件，由于e=0，s0=r0，故式（4-7）可写为
2）实际轮廓曲线方程
在滚子从动件盘形凸轮机构中，以理论轮廓曲线上各点为圆心、滚子半径rr为半径，作一系列的滚子圆族，作这些滚子圆族的内外包络线而形成的凸轮轮廓曲线即为滚子从动件的实际轮廓曲线。滚子从动件的实际轮廓曲线是理论轮廓曲线的法向等距曲线，两者之间的法向距离是滚子的半径rr。如果已知理论轮廓曲线上任一点B的坐标（x，y）时，只要沿理论轮廓曲线在该点的法线方向取距离rr，即可得到实际轮廓曲线上相应点B′的坐标值（x′，y′）。由高等数学可知，曲线上任一点的法线斜率与该点的切线斜率互为负倒数，故理论轮廓曲线上B点处的法线n—n的斜率为
β角在0°～360°之间变化，β角在哪个象限，可根据式（4-9）中分子与分母的正负来判断。由图4.21可以看出，求出β后，实际轮廓曲线上对应点B′的坐标为
式中，cosβ、sinβ可由式（4-9）求出，即有
将cosβ、sinβ的表达式代入式（4-10），可得凸轮实际轮廓曲线η的方程式为
式中，上面一组加减号表示内包络轮廓曲线η′，下面一组加减号表示外包络轮廓曲线η″。
3）刀具中心轨迹方程
在数控铣床上铣削凸轮或在凸轮磨床上磨削凸轮时，通常需要给出刀具中心的直角坐标值。对于滚子从动件盘形凸轮，尽可能采用直径和滚子相同的刀具。这时，刀具中心轨迹与凸轮理论轮廓曲线重合，理论轮廓曲线的方程即为刀具中心轨迹方程。所以，在凸轮工作图上只需标注或附有理论轮廓曲线和实际轮廓曲线的坐标值，以供加工与检验时使用。如果在机床上采用直径大于滚子的铣刀或砂轮来加工凸轮轮廓曲线，或在线切割机床上采用钼丝（直径远小于滚子）来加工凸轮轮廓曲线时，刀具中心将不在理论轮廓曲线上，所以还需要在凸轮工作图上标注或附有刀具中心轨迹的坐标值，以供加工时使用。
由图4.22（a）可看出，当刀具半径rc大于滚子半径rr时，刀具中心的运动轨迹为凸轮理论轮廓曲线的等距曲线。它相当于以理论轮廓曲线上各点为圆心、以rc—rr为半径所作一系列滚子圆的外包络线。由图4.22（b）可看出，当刀具半径rc小于滚子半径rr时，刀具中心的运动轨迹相当于以理论轮廓曲线上各点为圆心、以rr—rc为半径所作的一系列滚子圆的内包络轮廓曲线。因此，只要用|rc—rr|代替rr，便可由式（4-12）得到刀具中心轨迹方程：
图4.22 刀具中心轨迹方程的确定
当rc＞rr时，取下面一组加减号；当rc＜rr时，取上面一组加减号。
3．直动平底从动件盘形凸轮轮廓曲线的设计
图4.23所示为一直动平底从动件盘形凸轮机构。已知凸轮以等角速度ω逆时针回转，凸轮的基圆半径为r0，从动件的运动规律为s=s（φ）。试设计凸轮轮廓曲线。
图4.23 用解析法设计直动平底从动件盘形凸轮轮廓曲线
如图4.23所示建立直角坐标系xOy，点B0为凸轮轮廓上推程起始点。当凸轮转过φ角时，直动平底从动件自点B0外移s至B′（x′，y′）点。根据反转法原理将点B′（x′，y′）绕凸轮轴心O沿—ω方向转过φ角，即得直动平底的对应点B（x，y），它也是凸轮轮廓上的一点。根据凸轮机构的运动分析可得从动件的移动速度为
由此可得凸轮轮廓直角坐标为
式（4-16）即为平底从动件凸轮轮廓曲线的方程式。
4．摆动尖顶从动件盘形凸轮轮廓曲线的设计
图4.24所示为一摆动尖顶从动件盘形凸轮机构。已知凸轮以等角速度ω逆时针回转，凸轮的基圆半径为r0，凸轮中心O与从动件摆动中心A的距离lOA=a；摆动从动件杆长为l，ψ0是摆动从动件凸轮机构的初位角，从动件运动规律为ψ=ψ（φ）。要求设计凸轮轮廓曲线。
图4.24 用解析法设计摆动从动件盘形凸轮轮廓曲线
如图4.24所示建立直角坐标系xOy，B0点为凸轮轮廓上推程起始点。当凸轮转过φ角时，摆动从动件将自B0点摆动ψ至B′（x′，y′）点。根据反转法原理将点B′（x′，y′）绕凸轮轴心O沿—ω方向转过φ角，即得摆动从动件尖顶的对应点B（x，y），其直角坐标方程为
式中：
式（4-17）即为摆动尖顶从动件凸轮轮廓曲线方程。