第三节　复合函数的求导法则

我们知道，由y=f（u），u=φ（x）所构成的函数y=f［φ（x）］称为x的复合函数，本节将介绍复合函数的求导法则.

定理　如果函数u=φ（x）在点x处可导，函数y=f（u）在对应点u处可导，则复合函数y=f［φ（x）］在点x可导，且其导数为

或

或

这个定理说明，复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.

【例1】　设y=sin（2x+1），求.

解：函数y=sin（2x+1）是由y=sinu，u=2x+1复合而成的，因此

【例2】　设，求.

解：函数是由y=eu，u=x2+x复合而成的，因此

从以上例子可以直观的看出，对复合函数求导时，是从外层向内层逐层求导，故形象地称其为链式法则.当对复合函数求导过程较熟练后，可以不用写出中间变量，而把中间变量看成一个整体，然后逐层求导即可.

【例3】　设y=lnsinx，求.

解：

【例4】　设，求.

解：

复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形.例如：设y=f（u），u=φ（v），v=ψ（x），则

【例5】　设y=lncos（ex），求.

解：

【例6】　设，求.

解：

【例7】　设x＞0，证明幂函数的导数公式

解：因为，所以

习题2.3

1.求下列函数的导数.

（1）y=（1-x2）100

（2）

（3）y=sec（4-3x）

（4）

（5）y=log2（2x2+3）

（6）

（7）

（8）y=3e2x+2cos3x

（9）y=sinx2+sin2x

（10）

（11）y=ln［ln（lnx）］

（12）y=earctanx

（13）

（14）

2.设f（x）可导，求下列函数的导数.

（1）y=f（x3）

（2）y=f（sinx）+f（cosx）