第五节 全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式是概率论中一个非常重要的公式．通常我们会遇到一些较为复杂的随机事件的概率计算问题，这时，如果将它分解成一些较容易计算的情况分别进行考虑，可以化繁为简．

定义　设E是随机试验，Ω是相应的样本空间，A1，A2，…，An为Ω的一个事件组，若满足条件：

（1）Ai∩Aj=∅（i≠j）；

（2）A1∪A2∪…∪An=Ω．

则称事件组A1，A2，…，An为样本空间的一个完备事件组，完备事件组完成了对样本空间的一个分割．

例如，当n=2时，A与便构成样本空间Ω的一个分割．

定理1（全概率公式）　设A1，A2，…，An为样本空间Ω的一个完备事件组，且P（Ai）>0（i=1，2，…，n），B为任一事件，则

证明　因为B=Ω∩B=（A1∪A2∪…∪An）∩B=A1B∪A2B∪…∪AnB，且A1B，A2B，…，AnB互不相容，所以由有限可加性及概率的乘法公式得

定理2（贝叶斯公式）　设A1，A2，…，An为样本空间Ω的一个完备事件组，P（Ai）>0（i=1，2，…，n），B为满足条件P（B）＞0的任一事件，则

证明　由条件概率的定义可知

对上式的分子用乘法公式、分母用全概率公式得

P（AiB）=P（Ai）P（B|Ai），

即得

结论得证．

例1　某手机制造企业有两个生产基地，一个在S市，一个在T市，但都生产同型号手机．S市生产的手机占总数的60％，T市的占40％．两个基地生产的手机都送到两地之间的一个中心仓库，且产品混合放在一起．从质量检查可知S市生产的手机有5％不合格；T市生产的手机有10％不合格．求：

（1）从中心仓库随机抽出一个手机，求它是不合格品的概率；

（2）从中心仓库随机抽出一个手机发现它是不合格的，则它是S市生产的概率是多少？

解　以A表示抽到的是S市生产基地生产的手机，A和构成了样本空间的一个完备事件组．B表示不合格的手机，则由已知条件知

（1）由全概率公式得

（2）由贝叶斯公式得

例2　有三只箱子，第一个箱子中有四个黑球和一个白球，第二个箱子中有三个黑球和三个白球，第三个箱子中有三个黑球和五个白球．现随机取一个箱子，再从这个箱子中取一球，已知取到的是白球，则这个白球是属于第二个箱子的概率是多少？

解　以Ai表示“取到第i个箱子”，则这里，A1、A2和A3构成了样本空间的一个完备事件组．再以B表示“取到的是白球”，则

由全概率公式得

再由贝叶斯公式得

即这个白球是属于第二个箱子的概率为

例3　某种疾病的患病率为0.1%，某项血液医学检查的误诊率为1%，即非患者中有1%的人验血结果为阳性，患者中有1%的人验血结果为阴性．现知某人验血结果是阳性，求他确实患有该种疾病的概率．

解　以A表示该人患此疾病，B表示验血结果为阳性，则由已知条件知

先由全概率公式得

再由贝叶斯公式得

注意到这个概率出乎意料的小，因为“直观”上，当我们拿到阳性的化验报告时，通常直接认为就是患病了，但事实上并非如此，可能没有患病，而且没有患病的概率还不小．这归根结底在于该病的患病率很低，仅为0.1%，误诊率虽然不高，为1%，但总阳性人群中被误诊为阳性的几乎是真阳性患者的10倍多．这个事实告诉我们，当验血结果是阳性时，切莫慌张，真正患有该疾病的概率一定不等于1，而且还不一定很大．

事实上，如果我们把血液检查为阳性看成是“结果”，而导致该结果发生的“原因”有两个：一是患者且检查正确，二是非患者检查错误．所以，可以这么说，全概率公式，就是通过已知每种“原因”发生的概率，即P（A）和已知，求“结果”B发生的概率P（B）．这里的P（A）和又称为“先验概率”．而贝叶斯公式，则是从已知“结果”B发生的条件下分析是由各个可能“原因”引起的条件概率P（A|B）和所以也有人把贝叶斯公式看成是用来解决“已知结果，分析原因”的问题．这里的P（A|B）和又称为“后验概率”．

所以在使用全概率公式时，关键是写出诱导事件B发生的各个原因Ai及相应的先验概率P（Ai）和条件概率P（B|Ai）．

例4（敏感性问题调查）　对于考试作弊、赌博、偷税漏税、酒后驾车等一些涉及个人隐私或利害关系，不受被调查对象欢迎或感到尴尬的敏感问题，即使做无记名的直接调查，也很难消除被调查者的顾虑，他们极有可能拒绝应答或故意做出错误的回答，很难保证数据的真实性，使得调查的结果存在很大的误差．如何设计合理的调查方案，来提高应答率并降低不真实回答率呢？基于贝叶斯思想的调查方案设计就能解决这个问题．

调查方案设计的基本思想是，让被调查者从

问题1：你在考试中作过弊吗？

问题2：你生日的月份是奇数吗？（假设一年有365天）

中，随机地选答其中一个，同时调查者并不知道被调查者回答的是哪一个问题，从而保护被调查者的隐私，消除被调查者的顾虑，能够对自己所选的问题真实地回答．

调查者准备一套13张同一花色的扑克，在选答上述问题前，要求被调查的学生随机抽取一张，看后还原，并使调查者不能知道抽取的情况．约定如下：如果学生抽取的是不超过10的数则回答问题1；反之，则回答问题2．假定调查结果是收回400张有效答卷，其中有80个学生回答“是”，320个学生回答“否”，求被调查的学生考试作弊的概率p．

解　以A表示选答问题1，B表示回答“是”，设P（B|A）=p，

则由已知条件知

先由全概率公式得

由此可算得

习题1-5

1. 对以往数据分析结果表明，当机器运转正常时，产品的合格率为90%；而当机器发生故障时，其合格率为30%，机器开动时，机器运转正常的概率为75%．

（1）求某日首件产品是合格品的概率；

（2）已知某日首件产品是合格品，求机器运转正常的概率．

2. 某班教师发现在考试及格的学生中有80%的学生按时交作业，而在考试不及格的学生中只有30%的学生按时交作业，现在知道有85%的学生考试及格，从这个班的学生中随机地抽取一位学生．

（1）求抽到的这位学生是按时交作业的概率；

（2）若已知抽到的这位学生是按时交作业的，求他考试及格的概率．

3. 已知甲袋中装有6个红球，4个白球；乙袋中装有7个红球，3个白球；丙袋中装有5个红球，5个白球．

（1）随机地取一袋，再从该袋中随机地取一个球，求该球是红球的概率；

（2）已知取出的是红球，求该球是取自甲袋的概率．

4. 甲袋中有4个白球，6个黑球，抛掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球，求从甲袋中取到的都是黑球的概率．

5. 某厂生产的钢琴中有70%可以直接出厂，剩下的钢琴经调试后，其中80%可以出厂，20%被定为不合格品不能出厂．现该厂生产n（n≥2）架钢琴，假定各架钢琴的质量是相互独立的．试求：

（1）任意1架钢琴能出厂的概率；

（2）全部钢琴都能出厂的概率．

6. 甲、乙、丙3门高炮同时相互独立各向敌机发射1枚炮弹，它们命中敌机的概率依次为0.7，0.8，0.9，飞机被击中1弹而坠毁的概率为0.1，被击中2弹而坠毁的概率为0.5，被击中3弹必定坠毁．

（1）试求飞机坠毁的概率；

（2）已知飞机坠毁，试求它在坠毁前只被击中1弹的概率．

7. 已知甲袋中装有a个红球，b个白球；乙袋中装有c个红球，d个白球．试求下列事件的概率：

（1）合并两个口袋，从中随机地取1个球，该球是红球；

（2）随机地取一个口袋，再从该袋中随机地取1个球，该球是红球；

（3）从甲袋中随机地取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机地取出1个球，该球是红球．

8. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“*”和“—”．由于通信系统受到干扰，当发出信号“*”时，收报台未必收到信号“*”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“*”和“—”；同样，当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“*”．求：

（1）收报台收到信号“*”的概率；

（2）当收报台收到信号“*”时，发报台的确是发出信号“*”的概率．

9. 玻璃杯成箱出售，每箱20个，假设各箱含有0，1，2个次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一个顾客预购一箱玻璃杯，在购买时售货员随意取一箱，而顾客随机地查看4个，如果没有次品则买下该箱产品，否则就退回．求：

（1）顾客买下该箱的概率？

（2）在顾客买下该箱中确实没有次品的概率．

10. 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品．先从甲箱中任取3件产品放入乙箱，再从乙箱中任取2件产品，求从乙箱中取到1件合格品、1件次品的概率．

11. 甲乙两人对弈，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．一方获胜得一分．其中一人的分数超过另一人2分，则对弈结束，即为最终获胜．求甲最终获胜的概率．

12. 有三个班级：每个班级总人数分别是10人、20人、25人，其中每个班级的女生分别为4人、10人、15人．先随机抽取一个班级，从该班级中依次抽取2人，求：

（1）第一次抽到女生的概率；

（2）在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到的还是女生的概率．

13. 假设乒乓球在未使用前称为新球，使用后称为旧球．现在，袋中有10个乒乓球，其中有8个新球．第一次比赛时从袋中任取2个球作为比赛用球，比赛后把球放回袋中，第二次比赛时再从袋中任取2个球作为比赛用球．求：

（1）第二次比赛取出的球都是新球的概率；

（2）如果已知第二次比赛取出的球都是新球，求第一次比赛时取出的球也都是新球的概率．

14. 某位学生接连参加同一门课程的两次考试，第一次及格的概率为p．若第一次及格则第二次也及格的概率也为p；若第一次不及格，第二次及格的概率为p/2．求：

（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求能取得该资格的概率；

（2）已知第二次已经及格，求他第一次也及格的概率．

*15. 张亮上概率统计课，在某周结束时，他可能跟得上课程也可能跟不上课程．如果某周他跟上课程，那么，他下周跟上课程的概率为0.9；如果某周他没跟上课程，那么，他下周跟上课程的概率仅为0.3. 现在假定，在第一周上课前，他是跟上课程的，求：

（1）经过2周的学习，他仍能跟上课程的概率；

（2）经过n周的学习（n=1，2，…），他仍能跟上课程的概率．