第四节 条件概率与事件的相互独立性

一、条件概率

条件概率是概率论中一个既重要又应用广泛的概念．例如，在购买人寿保险时，不同年龄的投保人的保费是不同的，那是因为不同年龄的投保人在未来一年内死亡的概率是有差异的．一般地，条件概率是指在某随机事件A发生的条件下，另一随机事件B发生的概率，记为P（B|A），它与P（B）是不同的两类概率．

例1　假设抛掷一枚均匀的骰子，已知掷出的点数是偶数，求点数超过3的概率．

解　该试验的样本空间是Ω={1，2，…，6}，随机事件A=“出现偶数点”={2，4，6}，随机事件B=“出现的点数超过3”={4，5，6}．

现在的问题是：已知事件A发生了，有了这一信息后，即知试验所有可能结果所构成的集合就是A，只有三个样本点，即2点、4点和6点，在这基础上观察满足事件B的样本点只有2个，即为4点和6点，故事件B发生的概率即为

如果回到原来的样本空间，易知

这个例子启发我们：可以以P（AB）与P（A）之比作为条件概率P（B|A）的一般性定义．

定义1　设E是随机试验，Ω是样本空间，A，B是随机试验E上的两个随机事件且P（A）>0，称为在事件A发生的条件下事件B发生的概率，称为条件概率，记为P（B|A）．

可以验证，条件概率也满足概率的公理化定义的三条基本性质，即非负性、规范性和可列可加性．设P（B）＞0，则有：

（1）非负性公理　对于任意事件A，总有P（A|B）≥0；

（2）规范性公理　P（Ω|B）=1；

（3）可列可加性公理　若A1，A2，…为两两互不相容的一组事件，则有

于是，第二节中关于概率的性质1～6对条件概率依然适用，需要注意的是，使用公式计算时必须在同一条件下进行．

例2　假设一批产品中一、二、三等品各有60个、30个和10个，从中任取一件，发现不是三等品，则取到的是一等品的概率是多少？

解　记事件A=“取出的产品不是三等品”，随机事件B=“取出的产品是一等品”，因此有

例3　设A，B为两个随机事件，且已知P（A）=0.7，P（B）=0.4，P（A-B）=0.5，求

解　P（A-B）=P（A）-P（AB）=0.5，故P（AB）=P（A）-P（A-B）=0.7-0.5=0.2，所以有

如果对条件概率定义式两端同乘P（A），可得如下定理．

定理1（概率的乘法公式）　设A，B为随机试验E上的两个事件，且P（A）>0，则有

P（AB）=P（A）P（B|A）．

同理，若P（B）>0，有

P（AB）=P（B）P（A|B）．

我们还可以将乘法公式推广到多个事件的情况．例如，设A，B，C为任意的三个事件，且P（AB）>0，则

P（ABC）=P（A）P（B|A）P（C|AB）．

更一般地，有下面公式：

设A1，A2，…，An为一事件组，且P（A1A2…An-1）>0，则

P（A1A2…An）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）…P（An|A1A2…An-1）．

例4　一批零件共有100个，其中90个正品，10个次品，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率．

解　以Ai（i=1，2，3）表示事件“第i次取到次品”，故事件B=“第三次才取到正品”可以表示成则

二、事件的相互独立性

一般来说，设A，B为试验E的两个事件，且P（A）>0，则事件A的发生对事件B发生的概率是有影响的，这时条件概率P（B|A）≠P（B）；但例外的情况也不在少数，这时就会有P（B|A）=P（B），则可以推出

P（AB）=P（A）P（B|A）=P（A）P（B）．

例5　抛掷两枚均匀的硬币，记事件A表示为“第一枚硬币出现正面”，事件B表示为“第二枚硬币出现正面”，则有

可以看出P（B）=P（B|A），事实上还可以算出因此有

这说明不管事件A发生还是不发生，都对事件B发生的概率没有影响．我们可以从直观上认为事件A与事件B没有“关系”，或者称事件A与事件B相互独立．事实上，从该例的实际意义也容易看出，两枚硬币的抛掷结果是互不影响的．

从以上讨论可知，如对试验E的两个事件A，B，当P（A）>0，有

P（B）=P（B|A），

则可认为A，B相互独立．上式两边同乘以P（A），即得P（AB）=P（A）P（B）．显然当P（A）=0时，P（AB）=0=P（A）P（B），所以这个等式也成立，故我们得如下事件相互独立性的定义．

定义2　设A，B为试验E的两个事件，如果满足等式

P（AB）=P（A）P（B），

则称事件A，B相互独立，简称A，B独立．

定理2　若事件A与事件B相互独立，则下列各对事件也相互独立：

即

证明　事件A与事件B相互独立，即P（AB）=P（A）P（B），所以因此，A与相互独立．由此即可推出与相互独立，再由又可推出与B相互独立．

这个定理告诉我们，以上四对事件中，只要有一对是相互独立的，则其余三对也相互独立．即直观理解为：事件A与B相互独立，则A的发生不会影响B发生的概率，那么A的发生也不会影响B不发生的概率，A的不发生也不会影响B发生的概率，A的不发生也不会影响B不发生的概率．

下面我们将相互独立性推广到三个事件的情况。

定义3　设A，B，C是试验E的三个事件，如果满足等式

P（AB）=P（A）P（B），

P（AC）=P（A）P（C），

P（BC）=P（B）P（C）．

则称事件A，B，C两两相互独立．

定义4　设A，B，C是试验E的三个事件，如果满足等式

P（AB）=P（A）P（B），

P（AC）=P（A）P（C），

P（BC）=P（B）P（C），

P（ABC）=P（A）P（B）P（C）．

则称事件A，B，C相互独立．

一般地，设A1，A2，…，An是试验E的n（n≥2）个事件，如果对于其中任意两个事件的积事件的概率等于各事件概率的积，则称事件A1，A2，…，An两两相互独立；如果对于其中任意两个事件，任意三个事件，……，任意n个事件的积事件的概率等于各事件概率的积，则称事件A1，A2，…，An相互独立．

例6　把一枚硬币相互独立地掷两次，事件Ai表示“掷第i次时出现正面”，i=1，2；事件A3表示“正、反面各出现一次”．试证，A1，A2，A3两两相互独立，但不相互独立．

解　容易算得而且但是P（A1A2A3）=0，因此，三个事件A1，A2，A3两两相互独立，但不相互独立．

例7　设某车间有三条相互独立工作的生产流水线，在一天内每条流水线要求工人维护的概率依次为0.9、0.8和0.7. 求一天中三条流水线中至少有一条需要工人维护的概率．

解　记A表示为“至少有一条流水线需要工人维护”，Ai={第i条流水线需要工人维护}，i=1，2，3．易知A1，A2，A3相互独立．事件A可以写成

A=A1∪A2∪A3．

由于事件的相互独立性只能用于积事件的概率等于各事件概率的积，因此我们使用对偶律，得到

我们也可以直接考虑事件A的对立事件是三条流水线都不需要工人维护（即），于是利用事件的相互独立性可得

这两种解法实际上是等价的．

例8（系统可靠性问题）　设有n个元件相互独立工作，分别按照串联、并联的方式组成两个系统A和B，如图1.10所示，已知每个元件正常工作的概率都为p，分别求系统A和B的可靠性（即为系统正常工作的概率）．

解　记Ai={第i个元件正常工作} i=1，2，…，n，可知事件A1，A2，…，An相互独立．又记A表示“串联系统A正常工作”，B表示“并联系统B正常工作”，则

A=A1∩A2∩…∩An，

B=A1∪A2∪…∪An．

所以，由相互独立的性质可知

P（A）=P（A1）P（A2）…P（An）=pn，

事实上，系统的可靠性问题一般都很复杂，很难直接分析．但通过适当的分解，将一个大系统层层分割成若干子系统，就可以简化其分析过程．而串联和关联就是所有子系统中最常见的两个基本子系统．

例9　设P（A）=0.2，P（B）=0.3，事件A，B相互独立．试求P（A-B），P（A|A∪B）．

解

　

利用分配律，可继续化简为

习题1-4

1. 设A、B为两个随机事件，P（A）=0.5，P（B）=0.6，P（B|A）=0.8，求P（AB）及

2. 设A、B为两个随机事件，P（AB）=0.25，P（B）=0.3，P（A∪B）=0.6，求P（A-B）及

3. 设A、B为两个随机事件，P（A）=0.3，P（B）=0.6．试在下列两种情况：

（1）事件A，B互不相容；

（2）事件A，B有包含关系，分别求P（A|B）及

4. 一考试题库中共有100道考题，其中有60道基本题和40道难题，每次考试机器从100道题中随机选题，依次出题，求第三次才遇到难题的概率．

5. 某地一名研究人员在“夫妇看电视习惯”的研究中发现：有25%的丈夫和30%的妻子定期收看周六晚播出的某个电视栏目．研究还表明，在一对夫妇中如果丈夫定期收看这一栏目，则会有80%的妻子也会定期收看这一栏目．现从该地随机抽选一对夫妇，求：

（1）这对夫妇中丈夫和妻子都收看该栏目的概率；

（2）这对夫妇中至少有一人定期收看该栏目的概率．

6. 一袋中有4个白球和6个黑球，依次不放回一个个取出，直到4个白球都取出为止，求恰好取了6次的概率．

7. 设甲、乙、丙三人同时相互独立地向同一目标各射击一次，命中率都为现已知目标被击中，求它由乙命中且甲丙都没命中的概率．

8. 罐中有m个白球和n个黑球，从中随机抽取两个，发现它们是同色的，求同为黑色的概率．

9. 假定生男孩或生女孩是等可能的，在一个有三个孩子的家庭里，已知有一个是男孩，求至少有一个是女孩的概率．

10. 抛掷三枚均匀的骰子，已知掷出点数各不相同，求至少有一个是1点的概率．

11. 设A，B，C是任意三个事件，且P（C）>0，证明：

（1）P（A∪B|C）=P（A|C）+P（B|C）-P（AB|C）；

（2）P（A-B|C）=P（A|C）-P（AB|C）；

（3）

12. 设情报员能破译一份密码的概率为0.6，假定各情报员能否破译这份密码是相互独立的．

（1）若共有4名情报员，求密码被破译的概率；

（2）至少要使用多少名情报员才能使破译一份密码的概率大于95%？

13. 某人向同一目标重复相互独立射击，每次命中目标的概率为p（0<p<1），则此人第三次射击时恰好第二次命中目标的概率为多少？

14. （1）设事件A、B相互独立．证明：、B相互独立，相互独立；

（2）设事件P（A）=0时，证明事件A与任意事件相互独立；

（3）设A，B，C是三个相互独立的随机事件，证明A∪B与C也相互独立．

15. 设事件A与B相互独立，且P（A）=p，P（B）=q．求P（A∪B），

16. 设事件A，B，C两两相互独立，且P（A）=P（B）=P（C）=0.4，P（ABC）=0.1，求P（A∪B∪C），，P（C|AB）．

17. 设事件A，B，C相互独立，且P（A）=0.2，P（B）=P（C）=0.3，求P（A∪B∪C），P（（A-C）∩B）．

18. 有2n个元件，每个元件的可靠度都是p．试求下列两个系统的可靠度，假定每个元件是否正常工作是相互独立的：

（1）每n个元件串联成一个子系统，再把这两个子系统并联；

（2）每两个元件并联成一个子系统，再把这n个子系统串联．

19. 设A、B是两个随机事件，且0<P（A）<1，0<P（B）<1，证明事件A与B相互独立．

20. 设A、B是两个随机事件，且P（A）>0，P（B）>0，事件A与B相互独立，证明事件A与B相容．