第一节 随机事件及其运算

一、随机试验

在自然界和人类活动中，发生的现象多种多样，偶数能被2整除，函数在间断处不存在导数，课程结束时要通过考试测评，必修课程不及格要重修等．这一类现象在一定条件下必然发生，因此称这类现象为确定性现象．一个新生婴儿可能是男孩也可能是女孩，期末考试可能及格也可能不及格，一条高速公路上一天之内经过的车辆数量等，在这些现象中，事先无法预知会出现哪个结果，因此称这类结果不确定的现象为随机现象．概率论便是一门研究随机现象的统计规律性的数学学科．随机现象在一次试验中呈现不确定的结果，而在大量重复试验中结果将呈现某种规律性，例如相对比较稳定的性别比例，这种规律性称为统计规律性．为了研究随机现象的统计规律性，就要对客观事物进行观察，观察的过程叫随机试验（简称试验）．例如，为了验证骰子是否均匀，可以将这颗骰子反复地投掷并记录其结果．本小节将讨论概率论中的随机试验，随机试验有以下三个特点．

（1）在相同的条件下试验可以重复进行；

（2）每次试验的结果不止一种，但是试验之前必须明确试验的所有可能结果；

（3）每次试验将会出现什么样的结果是事先无法预知的．

例1　随机试验的例子：

（1）抛掷一枚均匀的硬币，观察其正反面出现的情形；

（2）抛掷一枚均匀的骰子，观察其出现的点数；

（3）某快餐店一天内接到的订单量；

（4）某航班起飞延误的时间；

（5）一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅．

二、样本空间

随机试验的一切可能结果组成的集合称为样本空间，记为Ω={ω}，其中ω表示试验的每一个可能结果，又称为样本点，即样本空间为全体样本点的集合．

例2　下面给出例1中随机试验的样本空间：

（1）抛掷一枚均匀硬币的样本空间为Ω1={H，T}，其中H表示正面朝上，T表示反面朝上；

（2）抛掷一枚均匀骰子的样本空间为Ω2={1，2，…，6}；

（3）某快餐店一天内接到的订单量的样本空间为Ω3={0，1，2，…，n，…}；

（4）某航班起飞延误时间的样本空间为Ω4={t：t≥0}；

（5）一支正常交易的A股股票每天涨跌幅的样本空间为Ω5={x：-10%≤x%≤10%}．

从这个例子中可以看出，样本空间中的元素可以是数，也可以不是数．从样本空间中含有样本点的个数来看，可以是有限个也可以是无限个；可以是可列个也可以是不可列个．例如，Ω1和Ω2中样本点的个数是有限个，Ω3、Ω4和Ω5中样本点的个数是无限个；Ω1、Ω2和Ω3中样本点的个数是可列个，而Ω4和Ω5中样本点的个数是不可列个．

三、随机事件

当我们通过随机试验来研究随机现象时，每一次试验都只能出现Ω中的某一个结果ω，各个可能结果ω是否在一次试验中出现是随机的．在随机试验中，常常会关心其中某一些结果是否出现．例如，抛掷一枚均匀的骰子，关心掷出的点数是否是奇数；航班起飞关心延误时间是否超过3个小时等．这些在一次试验中可能出现，也可能不出现的一类结果称为随机事件，简称为事件，随机事件通常用大写字母A，B，C，…表示．

如上述，抛掷一枚均匀的骰子，关心掷出的点数是否是奇数，定义A=“掷出的点数是奇数”即是一个可能发生也可能不发生的随机事件，可描述为A={1，3，5}，它是样本空间Ω={1，2，…，6}的一个子集．所以，从集合的角度来说，样本空间的部分样本点组成的集合称为随机事件．

在事件的定义中，注意以下几个概念．

（1）任一随机事件A是样本空间Ω的一个子集．

（2）当试验的结果ω属于该子集时，就说事件A发生了．相反地，如果试验结果ω不属于该子集，就说事件A没有发生．例如，如果掷骰子掷出了1，则事件A={1，3，5}发生，如果掷出2，则事件A不发生．

（3）仅含一个样本点的随机事件称为基本事件．

（4）样本空间Ω也是自己的一个子集，所以它也称为一个事件．由于Ω包含所有可能的试验结果，所以Ω在每一次试验中一定发生，又称为必然事件．

（5）空集∅也是样本空间Ω的一个子集，所以它也称为一个事件．由于∅中不包含任何元素，所以∅在每一次试验中一定不发生，又称为不可能事件．

例3　抛掷一枚均匀的骰子的样本空间为Ω={1，2，…，6}；

随机事件A=“出现6点”={6}；

随机事件B=“出现偶数点”={2，4，6}；

随机事件C=“出现的点数不超过6”={1，2，…，6}=Ω，即一定会发生的必然事件；

随机事件D=“出现的点数超过6”=∅，即一定不会发生的不可能事件．

四、随机事件间的关系与运算

众所周知，集合之间有各种关系，是可以进行运算的．因此，在随机事件之间也可以讨论相互的关系，进行相应的运算．

1. 给定一个随机试验，Ω是它的样本空间，A，B，C，…都为Ω的子集，随机事件间的关系有以下几种．

（1）如果（或），则称事件A包含在B中（或称B包含A），如图1.1所示．从概率论的角度来说：事件A发生必然导致事件B发生．

在例3中，事件A=“出现6点”的发生必然导致事件B=“出现偶数点”的发生，故

（2）如果同时成立，则称事件A与B相等，记为A=B．从概率论的角度来说：事件A发生必然导致事件B发生，且B发生必然导致A发生，即A与B是同一个事件．

（3）如果A与B没有相同的样本点，则称事件A与B互不相容（或称为互斥），如图1.2所示．从概率论的角度来说：事件A与事件B不可能同时发生．

例如，在抛掷一枚均匀骰子的试验中，“出现6点”与“出现奇数点”是两个互不相容的事件，因为它们不可能同时发生．

2. 与集合的运算一样，随机事件的运算也有并、交、差和余四种运算．

（1）事件A与B的并，记为A∪B，如图1.3所示，表示由事件A与B中所有样本点组成的新事件．从概率论的角度来说：事件A与B中至少有一个发生．

（2）事件A与B的交，记为A∩B（或AB），如图1.4所示，表示由事件A与B中公共的样本点组成的新事件．从概率论的角度来说：事件A与B同时发生．

（3）事件A与B的差，记为A-B，如图1.5所示，表示由在事件A中且不在事件B中的样本点组成的新事件．从概率论的角度来说：事件A发生且B不发生．

（4）事件A的对立事件（或称为逆事件、余事件），记为如图1.6所示，表示由Ω中且不在事件A中的所有样本点组成的新事件，即=Ω-A．从概率论的角度来说：事件A不发生．

例如，抛掷一枚均匀骰子，记事件A=“出现点数不超过3”={1，2，3}，事件B=“出现偶数点”={2，4，6}，则并事件A∪B={1，2，3，4，6}，交事件A∩B={2}，差事件A-B={1，3}，对立事件={4，5，6}．

从随机事件间的关系和运算中可以看出：

（1）对立事件一定是互不相容的事件，即但互不相容事件不一定是对立事件；

（2）根据差事件和对立事件的定义，事件A与B的差还可以表示成

（3）必然事件Ω与不可能事件∅互为对立事件，即

3. 事件的运算性质，如集合的运算性质一样满足下述定律．

（1）交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A．

（2）结合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C），（AB）C=A（BC）．

（3）分配律：（A∪B）∩C=AC∪BC，（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）．

（4）对偶律：

事件运算的对偶律是非常有用的公式，且以上的定律都可以推广到任意多个事件．

例4　用事件A，B，C的运算关系式表示下列事件，则

（1）A出现，B，C都不发生（记为E1）；

（2）所有三个事件都发生（记为E2）；

（3）三个事件都不发生（记为E3）；

（4）三个事件中至少有一个发生（记为E4）；

（5）三个事件中至少有两个发生（记为E5）；

（6）至多一个事件发生（记为E6）；

（7）至多两个事件发生（记为E7）．

解　（1）

（2）E2=ABC；

（3）

（4）E4=A∪B∪C；

（5）E5=AB∪AC∪BC；

（6）

（7）

习题1-1

1. 写出下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A：

（1）抛掷三枚均匀的硬币；事件A=“至少两枚硬币是正面朝上”；

（2）对一密码进行破译，记录破译成功时总的破译次数，事件A=“总次数不超过8次”；

（3）从一批手机中随机选取一个，测试它的电池使用时间长度；事件A=“使用时间在72到108小时之间”．

2. 抛掷两枚均匀骰子，观察它们出现的面．

（1）试写出该试验的样本空间Ω；

（2）试写出下列事件所包含的样本点：A=“两枚骰子上的点数相等”，B=“两枚骰子上的点数之和等于8”．

3. 在以原点为圆心的一单位圆内随机取一点．

（1）试描述该试验的样本空间Ω；

（2）试描述下列事件所包含的样本点：A=“所取的点与圆心的距离小于0.5”，B=“所取的点与圆心的距离小于0.5且大于0.3”．

4. 袋中有10个球，分别编有号码1～10，从中任取1球，设A＝“取得球的号码是偶数”，B＝“取得球的号码是奇数”，C=“取得球的号码小于5”，问下列运算表示什么事件：

（1）A∪B；

（2）AB；

（3）AC；

（4）

（5）

（6）

（7）A-C．

5. 在区间［0，10］上任取一数，记A={x：1<x≤5}，B={x：2≤x≤6}，求下列事件的表达式：

（1）A∪B；

（2）

（3）

（4）

6. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设事件Ai=“第i次抽到废品”，试用Ai的运算表示下列各个事件：

（1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品；

（2）只有第一次抽到废品；

（3）三次都抽到废品；

（4）至少有一次抽到合格品；

（5）只有两次抽到废品．

7. 试给出下列事件的对立事件：

（1）事件A=“三门课程的考核成绩都为优秀”；

（2）事件B=“三门课程的考核成绩至少一门为优秀”．

8. 证明下列等式：

（1）

（2）